bài tập lớn lý thuyết đồ thị

bài tập lớn lý thuyết đồ thị

Câu 1: Trình bày đầy đủ định nghĩa và các ví dụ về đường chu trình, chú trọng đặc biệt về đường chu trình Euler và Hamilton?

- Định nghĩa đường đi: Cho V0 và Vn là hai đỉnh của đồ thị Một đường đi

từ V0 đến Vn có chiều dài n là một dãy có (n+1) đỉnh và n cạnh bắt đầu từ đỉnh V0

và kết thúc tại Vn

( v0,e1,v1,e2,…,vn-1,en,vn )

ei nối vi-1 với vi Có thể vi = vj (i#j)

+ Đường đi từ v0 đến vn có thể được định hướng nhất định được gọi là đường định hướng

+ Một đường đi từ v0 được gọi là sơ cấp nếu như vi # vj với ∀i # j

+ Đường định hướng được gọi là định hướng sơ cấp nếu một đỉnh chỉ đi qua một lần

- Định nghĩa chu trình :Chu trình (mạch) là đường có định hướng có độ dài

khác không và không đi qua một cạnh quá một lần

+ Chu trình (mạch) được gọi là sơ cấp từ v0 đến vn không đi quá 1 lần

ngoại trừ v

- Định nghĩa đường Euler : Một đường được gọi là đường Euler đi từ v đến w

nếu như đường đó chứa tất cả các đỉnh và các cạnh của đồ thị

- Định nghĩa chu trình Euler :Một chu trình được gọi là chu trình Euler là

một chu trình chứa tất cả các đỉnh của đồ thị

- Định lý 1:Đồ thị G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G có tất cả các bậc là

chẵn khác không

- Định lý 2:Đồ thị G có đường Euler từ v đến w (v≠w) nếu và chỉ nếu G liên

thông và có đúng hai đỉnh bậc lẻ

- Định nghĩa chu trình Hamilton : Là một chu trình sơ cấp và chứa tất cả

các đỉnh của đồ thị

+ Đồ thị n đỉnh có chu trình Hamilton thì phải có n cạnh

* Lưu ý: Nếu đồ thị có chu trình Hamilton thì các đỉnh nằm trong chu trình

đó điều là bậc hai

- Đường Halminton : nếu ta hủy đi một cạnh trong chu trình Halmiton thì sẽ

nhận dược một đường Halmiton

Ví dụ :

Cho quân mã đi trên bàn cờ vua sao cho nó đi qua mỗi ô đúng một lần (bài toán mã đi tuần)

- Các Ví dụ về đường chu trình Euler và Hamilton:

Đồ thị trên vừa không có chu trình Euler vừa không có chu trình Halminton

Đồ thị trên vừa có chu trình Euler vừa có chu trình Halminton.

Đồ thị này có chu trình Halminton nhưng không có chu trình Euler

- Định lý 3: Cho một đồ thị đầy đủ Kn vớin lẻ và n ≥ 3 thì đồ thị G có

(n-1)/2 chu trình Hamilton từng đôi một không giao nhau

- Định lý 4: Cho G là một đồ thị đơn giản có đỉnh n lớn hơn bậc 3 nếu

δ(v) ≥ n/2 với mọi đỉnh v ∈ G thì G có chu trình Hamilton

Một số nhận xét:

1 Đồ thị có đỉnh có bậc ≤ 1 thì không có chu trình Hamilton

2 Đồ thị có các đỉnh đều có bậc ≥ 2 Nếu có đỉnh nào có bậc bằng 2 thì mọi

chu trình Hamilton (nếu có) phải đi qua hai cạnh kề với đỉnh này

3 Nếu trong đồ thị có đỉnh có ba đỉnh bậc 2 kề với nó thì đồ thị không có chu trình Hamilton

4 Nếu đỉnh a có hai đỉnh kề bậc 2 là b và c thì mọi cạnh (a, x), x ∉{b, c} sẽ

không thuộc bất kỳ chu trình Hamilton nào

5 Đồ thị có đường đi vô hướng < a1 , a2 , , ak > Với chỉ số k < n và các đỉnh trên đường đi (trừ a1 và ak) đều có bậc 2 thì cạnh (a1, ak) sẽ không thuộc

bất kỳ chu trình Hamilton nào

6 Đồ thị hai phần G = (V1,V2, F) với | V1 | ≠ | V2 | sẽ không có một chu trình Hamilton nào

lại?

- Ma trận liên kết :

Cho đồ thị G có n đỉnh v1 1, v2,…vn Ma trận liên kết của G với thứ tự các đỉnh

v1, v2,…vnlà ma trận vuông nxn

[mij]n X n ; mij là số cạnh nối vi với vj

Ví dụ: Cho đồ thị G:

C

E

Từ đồ thị G có ma trận liên kết là

A B C D E

A 0 1 1 0 0

B 1 0 1 1 1

C 1 1 0 1 1

D 0 1 1 0 1

E 0 1 1 1 0

- Ma trận kề của đồ thị : cho G là đồ thị n đỉnh, không có cạnh song song

Ma trận vuông cấp n Anxn = [Aij] có n dòng n cột ứng với i, j.thì Aijđược xác định như sau :

1 Nếu có cạnh giữa đỉnh i và đỉnh j

Aij=

0 Ngược lại

Ví dụ:

A B C D E

A 0 1 0 1 0

B 1 0 1 0 1

C 0 1 0 1 1

D 1 0 1 0 0

E 0 1 1 0 0

<*> Chú ý: Chỉ có đồ thị đơn giản nhìn vào ma trận kề ta tính được bậc các đỉnh.

Khi đồ thị có cạnh song song thì ta không tính được ma trận kề

Cho A là ma trận kề của đồ thị đơn giản thì phần tử hàng thứ i và cột thứ j của ma trận An (tích của ma trận ) là số các đường đi có chiều dài n từ điểm i đến j

- Ma trận tới : cho G là đồ thị có n đỉnh v1, v2, vn và có m cạnh e1,e2,e3 …em

Ma trận An xm có n hàng ứng với n đỉnh , m cột ứng với m cạnh có giá trị như sau :

1 Nếu cạnh ei tới vj

Aij=

0 Ngược lại

Ví dụ:

E1 E2 E3 E4 E5 E6

V1 1 1 0 0 0 0

V2 0 0 1 1 0 1

V3 0 0 0 0 1 1

V4 1 0 1 0 0 0

V5 0 1 0 1 1 0

V3

V5 V4

E1

E2

E3

E4

E5 E6

- Tìm đường chu trình khi biết ma trận liên kết,ma trận kề,ma trận tới.

• Ma trận kề :

a b c d e a b c d e

a 0 1 0 1 0 a 9 3 11 1 6

b 1 0 1 0 1 b 3 15 7 11 8

A= c 0 1 0 1 1 A4

= c 11 7 15 3 8

d 1 0 1 0 0 d 1 11 3 9 6

e 0 1 1 0 0 e 6 8 8 6 8

[A4] de = 6

Vậy có 6 đường đi có độ dài 4 từ d → e

(d,a,b,c,e) ; (d,a,d,c,e) ; (d,c,d,c,e) ;(d,c,b,c,e) ;(d,c,e,c,c,e) ;(d,a,b,a,d,c,e)

- Ma trận tới : Tìm đường đi ngắn nhất qua 2 đỉnh của một đồ thị có trọng số

- Tìm đường đi từ a đến f: a , b , c , f ; f không thuộc T

L(f) = 7

- Định nghĩa:Đồ thị được gọi là đồ thị phẳng nếu ta có thể vẽ nó trên mặt

phẳng sao cho các cạnh của nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh

Ví dụ đồ thị K4 là phẳng, vì có thể vẽ nó trên mặt phẳng sao cho các cạnh của

nó không cắt nhau ngoài ở đỉnh

Một điều đáng lưu ý nếu đồ thị là phẳng thì luôn có thể vẽ nó trên mặt phẳng với các cạnh nối là các đoạn thẳng không cắt nhau ngoài ở đỉnh

* Cách nhận biết đồ thị phẳng : Để nhận biết xem một đồ thị có phải là đồ

thị phẳng có thể sử dụng định lý Kuratovski : Ta gọi một phép chia cạnh (u,v) của

đồ thị là việc loại bỏ cạnh này khỏi đồ thị và thêm vào đồ thị một đỉnh mới w cùng với hai cạnh (u,w), (w, u) Hai đồ thị G(V,E) và H=(W,F) được gọi là đồng cấu nếu chúng có thể thu được từ cùng một đồ thị nào đó nhờ phép chia cạnh

- Định lý 2 (Kuratovski) Đồ thị là phẳng khi và chỉ khi nó không chứa đồ thị con

đồng cấu với K3,3 hoặc K5

Ví dụ :

phân đẳng cấu?

1 Đồ thị đẳng cấu :

Hai đồ thị G1 và G2 được gọi là đẳng cấu với nhau nếu có một song ánh f :

từ tập đỉnh của G1 đến tập đỉnh của G2 1 song ánh f : từ tập các đỉnh cua G1 đến tập các đỉnh của G2.1 song ánh G: từ tập các cạnh của G1→tập các cạnh của G2 Sao cho e tới 2 đỉnh v, w trong G1 nếu cạnh g(e) tới f(v), f(w) trong G2

Hai đồ thị G1 , G2 là đẳng cấu, nếu và chỉ nếu hai ma trận kề tương ứng bằng nhau xếp lại theo thứ tự của ảnh

* Cách nhận biết : Hai đồ thị đẳng cấu với nhau thì phải có cùng số cạnh, số

đỉnh Số đỉnh bậc k bằng hay số chu trình sơ cấp có đỉnh bậc k

Ta xây dựng một song ánh tập đỉnh của đồ thị G1 và tập đỉnh của đồ thị G2 Kiểm tra xem mọi cặp cạnh của G1 có ảnh là cạnh của G2, nếu có thì đẳng cấu, nếu không thì không đẳng cấu

Ví dụ :

f(a) = A , f(b) = B , f(c) = C , f(d) = D, f(e) = E

(a , e ) = x1 ∈ G1 (A , E) = y1 ∈ G2

(b , c ) = x3 ∈G1 (B , C) = y3 ∈ G2

(c , d ) = x4 ∈ G1 (C , D) = y4 ∈ G2

(a , b ) = x2 ∈ G1 (A , B) = y2 ∈ G2

(d , e ) = x5 ∈ G1 (D , E) = y5 ∈ G2

2 Cây tự do và cây có gốc :

- Cây tự do là một đồ thị đơn giản thỏa mãn mọi cặp đỉnh trong T có duy nhất một đường nối

gốc đi đến đỉnh đó.

Cho T là một cây có rễ v0 , giả sử x , y, z là các đỉnh trong T và v0 , v1 vn là lối đi đơn giản trong T ( đi qua các đỉnh)

a vn – 1 là cha vn

b v0 vn -1 là tiền bối của vn

c vn là con của vn – 1

d Nếu x là tiền bối của y thì y là hậu thế của x

e Nếu x và y là con của z , ta bảo x ,y là anh em

f Nếu x không có con ta gọi x là đỉnh treo (lá)

g Nếu x không là đỉnh treo, ta gọi x là đỉnh phân

h.Cây con của T lấy gốc tại x là một đồ thị với tập các đỉnh V , tập các cạnh E với các hậu thế của x và E={ e│e} là một cạnh của đường đi đơn giản từ x đến một đỉnh trong V

* Nhận xét : Cho T là một cây , ta có :

- T liên thông

- T không có chu trình ( vì có duy nhất một đường nối)

T1 T2 Với cây tự do T trên, chọn đỉnh a làm gốc thành cây có gốc

3 Cây nhị phân đẳng cấu :

Nếu T là cây tự do thì định nghĩa 2 cây đẳng cấu như định nghĩa về đồ thị đẳng cấu

Nếu cây có rễ thì thêm điều kiện : ảnh của rễ cây T1 là rễ cây T2

phân ?

1/ Cây :

Cây tự do là một đồ thị đơn giản thỏa mãn mọi cặp đỉnh đến T có duy nhất một đường nối

Cho T là một cây có rễ v0 , giả sử x , y, z là các đỉnh trong T và v0 , v1 vn là lối đi đơn giản trong T ( đi qua các đỉnh)

a vn – 1 là cha vn

b v0 vn -1 là tiền bối của vn

c vn là con của vn – 1

d Nếu x là tiền bối của y thì y là hậu thế của x

e Nếu x và y là con của z , ta bảo x ,y là anh em

Ví dụ :

2/ Cây m- phân :

- Định nghĩa :Cho một cây có gốc T Nếu số con tối đa của một đỉnh tring T là

m và có ít nhất một đỉnh có đúng m con thì T gọi là một cây m phân

Nếu mọi đỉnh trong T đều có đúng m con thì T gọi là một cây m-phân đầy đủ

Ví dụ :

- Định lý :

1.Một cây m- phân đầy đủ có i đỉnh trong thì có mi +1 đỉnh

2.Một cây m- phân có chiều cao là h thì có nhiều nhất là mh lá

3 Một cây m - phân có l lá thì có chiều cao h >=[logml]

3/ Cây nhị phân :

- Định nghĩa : Cây nhị phân là một dạng quan trọng nhất của cây có rễ.Một

đỉnh trong cây nhị phân nhiều nhất là hai con và mỗi con được chỉ định là con bên trái hay con bên phải

Cây nhị phân đầy là cây nhị phân mà trong đó mọi đỉnh phải có hai con hoặc không có con nào

Ví dụ :

- Định lý 1 : Nếu T là cây nhị phân đầy có i đỉnh phân thì T có i+1 đỉnh treo và

2i+1 đỉnh tất cả

- Định lý 2 : Nếu cây nhị phân có chiều cao h và có t đỉnh treo thì ta có :

lgt ≤ h

Câu 6 : Cây bao trùm ?

- Định nghĩa : Cho một đồ thị vô hướng G.Một cây T gọi là một cây bao trùm

của G nếu T là một đồ thị con chứa mọi đỉnh của G

- Định lý :Đồ thị G có cây bao trùm nếu và chỉ nếu G liên thông

Ví dụ : Cho đồ thị liên thông G , G’ là cây bao trùm của G

G G’