Giáo trình lý thuyết đồ thị đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị

Giáo trình lý thuyết đồ thị về đồ thị phẳng và bài toán tô màu đồ thị Xây dựng đồ thị đối ngẫu và tô màu các bản đồ Tìm sắc của các đồ thị Tìm số đỉnh, cạnh và miền của các đồ thị Vẽ đồ thị phẳng liên thông Tô màu đồ thị

TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC

ĐỒ THỊ PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN

VỀ TÔ MÀU ĐỒ THỊ

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Bài toán

 Tìm cách làm cho các con

đường đi dẫn từ 3 ngôi nhà

tới 3 cái giếng sao cho

không có 2 con đường nào

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Đồ thị phẳng

được trên một mặt phẳng mà không có các cạnh nào cắt nhau ở điểm không phải là điểm mút của mỗi cạnh

của đồ thị.

 Nếu an+1, bn+1 đều thuộc Gn

 an+1, bn+1 nằm trên miền biên của miền chung

 Nếu bn+1 (hoặc an+1) không thuộc Gn

 Chỉ có an+1 nằm trên miền biên của miền chung

 Mỗi miền được bao ít nhất 3 cạnh

 Mỗi cạnh nằm trên nhiều nhất 2 miền

 3r r  2e (*)

 Theo định lý Euler: r = e – v + 2

 Thay vào (*) ta có: e  3r v  6 (đpcm)

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Công thức Euler

 Hệ quả 2

 Cho G là một đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh

và v đỉnh; v  3 và không có chu trình độ dài 3 Khi đó: e  2v  4

 Chứng minh:

 Trong một đồ thị phẳng không có chu trình độ dài 3

 Mỗi miền được bao ít nhất 4 cạnh

 Mỗi cạnh nằm trên nhiều nhất 2 miền

 4r  2e (*)

 Theo định lý Euler: r = e – v + 2

 Thay vào (*) ta có: e  2v  4 (đpcm)

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Công thức Euler

 Ví dụ: Chứng minh K3,3 không phẳng.

 Cho G là một đơn đồ thị phẳng với e cạnh, v đỉnh và

có k thành phần liên thông Gọi r là số miền (regions)

trong biểu diễn phẳng của G Khi đó:

v  e + r = k + 1.

ĐỒ THỊ PHẲNG

 Định lý Kuratowski

a b

c d e f g h

Tô màu đồ thị

 Tô màu một bản đồ

 2 miền có chung biên

giới được tô bằng 2 màu tùy ý, miễn là khác nhau

 Xác định số màu tối

thiểu cần có để tô màu một bản đồ sao cho hai miền kề nhau có màu khác nhau.

 Cạnh: nối hai đỉnh nếu

các miền được biểu diễn bằng hai đỉnh này có biên giới chung

 Yêu cầu: Gắn các màu

cho các đỉnh của đồ thị sao cho không tồn tại 2 đỉnh kề nhau có cùng

Tô màu đồ thị

 Định nghĩa

đỉnh của nó sao cho hai đỉnh liền kề có màu khác nhau.

 Số màu tối thiểu cần thiết để tô màu G.

 Ký hiệu: (G).

Tô màu đồ thị

 Một số định lý về tô màu đồ thị

 Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 4

 Định lý được chứng minh bởi Appel và Haken

 Đây là định lý đầu tiên được chứng minh với sự trợ giúp của máy tính

 Ta có thể chứng minh định lý yếu hơn:

 Mọi đồ thị phẳng đều có sắc số không lớn hơn 5

Tô màu đồ thị

màu này để tô màu các đỉnh liên tiếp trong danh sách mà không kề với đỉnh đầu tiên.

đỉnh chưa được tô và lập lại quá trình trên cho đến khi tất cả các đỉnh đều được tô màu

Tô màu đồ thị

 Kết quả của thuật toán có thể không là sắc số

 Thuật toán chỉ cho ta kết quả chấp nhận được

 Bài toán tìm sắc số là một bài toán khó!

Tô màu đồ thị

Tô màu đồ thị

có thể được

Tô màu đồ thị

trường đại học sao cho không có sinh viên nào phải thi 02 môn trong cùng một buổi thi Cho biết các môn thi có chung sinh viên dự thi đối với từng môn thi.