giáo trình lý thuyết đồ thị đại cương về đồ thị Tìm số đỉnh, số cạnh, số bậc của đỉnh, đỉnh treo, đỉnh cô lập Đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng Đồ thị lưỡng phân, đầy đủ, vòng, bánh xe..... Biểu diễn đồ thị Đồ thị đẳng cấu. Đồ thị bù, đồ thị tự bù Đồ thị liên thông.....
TOÁN RỜI RẠC ỨNG DỤNG TRONG TIN HỌC Giảng viên: Cao Thanh Tình (Email: tinhct@uit.edu.vn) Bộ mơn Tốn Lý – ĐHCNTT – ĐHQGTPHCM Nội dung mơn học Phần 1: Lý thuyết đồ thị Đại cương đồ thị Các toán đường Đồ thị phẳng toán tô màu đồ thị Cây Phần 2: Đại số Boole Đại số Boole Cổng logic Cực tiểu hóa hàm Boole Chương Đại cương đồ thị Các khái niệm Đồ thị (Graph) G = (V, E) với V≠∅ V: tập đỉnh E: tập cạnh Cạnh e∈E ứng với đỉnh u, v∈V v, w đỉnh kề (hay liên kết) với nhau, e liên thuộc với v w Ký hiệu: e = vw (…) u ≡ v: e gọi vòng (khuyên) u Chương Đại cương đồ thị Các khái niệm Đồ thị (Graph) Cạnh bội (song song) Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh A Đơn đồ thị Đồ thị khơng có vòng cạnh song song Đa đồ thị Các đồ thị đơn đồ thị Chương Đại cương đồ thị B x C D y z Các khái niệm Đồ thị (Graph) Đồ thị đầy đủ Đồ thị mà cặp đỉnh kề Kn: đơn đồ thị đầy đủ Đồ thị Đồ thị G’ = (V’, E’) V’ ⊆ V, E’ ⊆ E Đồ thị hữu hạn E V hữu hạn Đồ thị vô hạn Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị Biểu diễn hình học Mỗi đỉnh ≡ điểm Mỗi cạnh ≡ đường (cong thẳng) nối đỉnh liên thuộc với Biểu diễn ma trận Thường dùng để biểu diễn máy tính cách biểu diễn thường dùng Ma trận kề Ma trận liên thuộc Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị Biểu diễn ma trận Ma trận kề Ma trận vuông cấp n (số đỉnh đồ thị) Các phần tử aij xác định aij = 1: Nếu vivj cạnh G aij = 0: Nếu vivj không cạnh G Tính chất Phụ thuộc vào thứ tự liệt kê đỉnh Ma trận đối xứng Một vịng tính cạnh (akk = 1) Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị Biểu diễn ma trận Ma trận kề Ví dụ Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị Biểu diễn ma trận Ma trận kề Ví dụ A B C D E A 1 0 B 1 1 C 1 Chương Đại cương đồ thị D 1 E 2 B A C D E Biểu diễn đồ thị Biểu diễn ma trận Ma trận liên thuộc Ma trận M = (mij)nxm Các phần tử mij xác định mij = 1: Nếu cạnh ej liên thuộc với vi G mij = 0: Nếu cạnh ej không liên thuộc với vi G Tính chất Các cột tương ứng với cạnh bội giống ma trân liên thuộc Các vịng ứng với cột có phần tử ứng với đỉnh nối với Chương Đại cương đồ thị 10 Đồ thị có hướng Định nghĩa G = (V, E) Tập đỉnh V Tập cạnh (cung) E = { (a, b) | a,b ∈ V } e = (a, b) ∈ E Ký hiệu: e = e có hướng từ a đến b a: đỉnh đầu; e khuyên ⇔ a≡b Chương Đại cương đồ thị ab b: đỉnh cuối 30 Đồ thị có hướng Bậc đỉnh Bậc vào deg - (v) = | { u | (u, v) ∈ E } | Bậc deg + (v) = | { u | (v, u) ∈ E } | Chương Đại cương đồ thị 31 Đồ thị có hướng Bậc đỉnh Định lý 1.5 Tổng bậc vào đỉnh tổng bậc số cạnh đồ thị |v | |v | deg + (v) =∑ deg − (v) = | E | ∑ i =1 Đồ thị cân i =1 |v| |v| i =1 i =1 deg + (v) =∑ deg − (v) ∀v ∈ V ∑ Chương Đại cương đồ thị 32 Đồ thị có hướng Bậc đỉnh Ví dụ Có nhóm gồm đội bóng bàn thi đấu vịng trịn lượt Hỏi sau có kết thi đấu tất đội có trường hợp đội 09 đội thắng 05 đội khác nhóm khơng? Chương Đại cương đồ thị 33 Đường chu trình Đường Định nghĩa Đường dãy cạnh liên tiếp Ký hiệu v0v1, v1v2, …, vn-1vn v0v1v2 … vn-1vn v0: đỉnh đầu; Chương Đại cương đồ thị vn: đỉnh cuối 34 Đường chu trình Đường Định nghĩa Đường đơn (giản) Đường không qua cạnh lần Đường sơ cấp Đường không qua đỉnh lần Đường sơ cấp ⇒ Đường đi đơn Chương Đại cương đồ thị 35 Đường chu trình Chu trình Định nghĩa Chu trình Chu trình đơn giản đường khép kín (v0v1v2 … vn-1vnv0) độ dài Chu trình khơng chứa cạnh lần Chu trình sơ cấp Chu trình khơng chứa đỉnh q lần Chương Đại cương đồ thị 36 Đường chu trình Chu trình Định lý 1.6 G = (V, E) đồ thị vô hướng Số đỉnh lớn Bậc đỉnh lớn G ln tồn chu trình sơ cấp Định lý 1.7 G = (V, E) đồ thị vô hướng Số đỉnh lớn Bậc đỉnh lớn G ln tồn chu trình sơ cấp có độ dài chẵn Chương Đại cương đồ thị 37 Tính liên thơng Tính liên thơng đồ thị vơ hướng Định nghĩa Một đồ thị liên thông hai đỉnh phân biệt có đường Thành phần liên thông Đồ thị G’ = (V’, E’) G’ liên thông Định lý 1.8 Đồ thị G=(V, E) liên thông G có thành phần liên thông Chương Đại cương đồ thị 38 Tính liên thơng Tính liên thơng đồ thị vô hướng Đỉnh cắt cầu u đỉnh cắt ⇔ số thành phần liên thông tăng lên bỏ u cạnh liên thuộc với e cầu ⇔ số thành phần liên thông tăng lên bỏ cạnh e Chương Đại cương đồ thị 39 Tính liên thơng Tính liên thơng đồ thị vơ hướng Định lý 1.9 G = (V , E) |V| = n ≥ deg(u) + deg(v) ≥ n ∀ u,v ∈ V G đồ thị liên thông Hệ G = (V , E) |V| = n ≥ deg(v) ≥ n/2 ∀ u,v ∈ V G đồ thị liên thơng Chương Đại cương đồ thị 40 Tính liên thơng Tính liên thơng đồ thị có hướng Liên thơng mạnh Đồ thị có hướng G gọi liên thông mạnh tìm đường hai đỉnh Liên thơng yếu Đồ thị có hướng G gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với vơ hướng liên thơng Chương Đại cương đồ thị 41 Tính liên thơng Tính liên thơng đồ thị có hướng Định lý 1.10 Nếu đồ thị G có đỉnh bậc lẻ đỉnh phải liên thông với Định lý 1.11 Đồ thị G đồ thị lưỡng phân chu trình có độ dài chẵn Chương Đại cương đồ thị 42 Một số phép biến đổi đồ thị Hợp đồ thị G = (V, E) G’ = (V’, E’) G’’ = G ∪ G’ = (V’’, E’’) V’’ = V ∪ V’ E’’ = E ∪ E’ Chương Đại cương đồ thị 43 Một số phép biến đổi đồ thị Phép phân chia sơ cấp Phép thay cạnh e = uv đỉnh với cạnh uw vw Đồng phôi G đồng phơi với G’ chúng nhận từ đồ thị dãy phép phân chia sơ cấp Hai đồ thị đồng phôi chưa đẳng cấu với Chương Đại cương đồ thị 44 ... đồ thị Chương Đại cương đồ thị B x C D y z Các khái niệm Đồ thị (Graph) Đồ thị đầy đủ Đồ thị mà cặp đỉnh kề Kn: đơn đồ thị đầy đủ Đồ thị Đồ thị G’ = (V’, E’) V’ ⊆ V, E’ ⊆ E Đồ thị. .. 1: Lý thuyết đồ thị Đại cương đồ thị Các toán đường Đồ thị phẳng tốn tơ màu đồ thị Cây Phần 2: Đại số Boole Đại số Boole Cổng logic Cực tiểu hóa hàm Boole Chương Đại cương đồ thị. .. Chương Đại cương đồ thị H = (W,F) 27 Sự đẳng cấu đồ thị Định nghĩa Chứng minh đồ thị đẳng cấu Ví dụ Chương Đại cương đồ thị 28 Sự đẳng cấu đồ thị Đồ thị tự bù Định nghĩa Đồ thị G