Ứng dụng của đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm của phương trình đại số lớp 10

SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN I Lời giới thiệu Hàm số bậc hai nội dung quen thuộc, học sinh lớp 10 học đại số, nhiên việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số đặc biệt việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận phương trình đại số phạm vi kiến thức lớp 10 với đa số học sinh lúng túng từ mức độ thông hiểu vận dụng thấp gây nhiều khó khăn hầu hết học sinh lớp tập vận dụng cao Trong việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận đặc biệt biện luận số nghiệm phương trình đại số lại nội dung hay sử dụng đề thi khảo sát chất lượng xuất đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 10 Đặc biệt năm gần dạng toán đọc đồ thị, khai thác đồ thị dạng toán chiếm tỉ lệ lớn đề thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên sách tham khảo, sách bồi dưỡng việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số phạm vi kiến thức lớp 10 chưa nhiều, ví dụ tập dạng chưa có nhiều tốn mở rộng, tốn địi hỏi khai thác đồ thị mức vận dụng cao Với mong muốn đem đến thêm cho giáo viên học sinh tài liệu “Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10”, giúp cho học sinh có nhìn tồn diện hơn, dễ dàng giải lớp toán tạo điều kiện để học sinh tiếp cận dần với dạng toán đọc khai thác đồ thị đề thi THPT Quốc Gia nên kinh nghiệm giảng dạy thân với nguồn tập phong phú sáng tạo tập thể giáo viên nhóm, diễn đàn mà tơi tham gia, nghiên cứu, sưu tầm, tập hợp viết sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải biện luận phương trình đại số lớp 10” Sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải biện luận phương trình đại số lớp 10” tơi viết cập nhật mới, tính thực tế áp dụng giai đoạn Có nhiều ví dụ tập chưa công khai chia sẻ có tập lần đầu giới thiệu thân khai thác, phát triển từ toán gốc thành toán Do thời gian khả có hạn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi viết cịn nhiều tồn Kính mong đồng nghiệp học sinh góp ý để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện tài liệu tham khảo hữu ích thú vị cho giáo viên học sinh II Tên sáng kiến: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 III Tác giả sáng kiến: |1 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 - Họ tên:Vũ Thị Thanh Nga - Địa tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Tường - Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0982843827 E_mail: vuthithanhnga.gvnguyenvietxuan@vinhphuc.edu.n IV Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Vũ Thị Thanh Nga V Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy cho học sinh lớp 10 VI Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Tháng 11 năm 2019 VII Mô tả chất sáng kiến: A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hàm số bậc hai 1.1 Định nghĩa Hàm số bậc hai hàm số có dạng y ax bx c với a Chú ý : + Hàm số bậc hai có tập xác định D + Khi a , b , hàm số trở thành hàm số bậc y bx c + Khi a b , hàm số trở thành hàm y c 1.2 Bảng biến thiên a a + Khi a + Khi a 2.3 Đồ thị Đồ thị hàm số y ax bx c, a parabol có: |2 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 + Trục đối xứng đường thẳng x2ba + Bề lõm hướng lên a , hướng xuống a + Giao điểm với trục tung M 0;c a Đồ thị hàm số bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.1 Đặt f x ax2 Đồ thị hàm số y ax2 bx c bx c , a y Ta có y f x Từ suy cách vẽ đồ thị hàm số C Lấy đối xứng phần đồ thị y f x phía trục hồnh qua trục hồnh ( bỏ phần ) Kết hợp hai phần ta đồ thị hàm số y Đồ thị y f x f x Đồ thị y f x |3 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 2.2 Đồ thị hàm số yax b x c, a Đặt f x ax2 bx c y ax2 b Do hàm số y f Mặt khác, với x y f x f x Từ suy cách vẽ đồ thị hàm số C Giữ nguyên đồ thị y f x từ đồ thị hàm số y f x sau: phía bên phải trục tung ( bỏ phần đồ thị bên trái trục tung ) Lấy đối xứng phần đồ thị y f x phía bên phải trục tung qua trục tung Kết hợp hai phần ta đồ thị hàm số y f x Đồ thị y f x Phép tịnh tiến đồ thị Định lí: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đồ thị G hàm số y f x ; p q hai số dương Khi đó: 1) Tịnh tiến G lên q đơn vị ta đồ thị hàm số y f x q 2) Tịnh tiến G xuống q đơn vị ta đồ thị hàm số y f x q 3) Tịnh tiến đồ thị hàm số y G sang trái p đơn vị ta f x p 4) Tịnh tiến đồ thị hàm số y G sang phải p đơn vị ta f x p |4 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 B PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Dựa vào đồ thị hàm số y f x biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình f x g m Phương pháp: - Vẽ đồ thịC hàm số f x ( phải sử dụng phép biến đổi đồ thị trình bày mục phần A ) - Tùy vào giá trị g m đường thẳng d : y gm - Số giao điểm d C nghiệm phương trình f x để số giao điểm C số gm *Lưu ý: Đường thẳng d : y g m đường thẳng có phương ngang cắt trục tung điểm có tung độ g m C CÁC VÍ DỤ Ví dụ Cho hàm số y x2 4x có đồ thị hình vẽ bên Dựa vào đồ thị tìm giá trị tham số m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt Phân tích: Đây toán cho dạng toán gốc nêu nên học sinh dễ dàng vận dụng để tìm lời giải Lời giải Phương trình x2 4x m (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số P hàm số y x2 4x đường thẳng d : y m Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm P d Dựa vào đồ thị ta thấy, yêu cầu toán m Vậy m Ví dụ Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: x2 4x m |5 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Lời giải Xét phương trình: x 4x Đặt y m f (x ) x 4x 3, (P) y x 4x m (1) g ( m ) m , (d ) Khi số nghiệm phương trình (1) số giao điểm Parabol (P) đường thẳng (d ) Dựa vào đồ thị ta có: +) Nếu m +) Nếu m Phân tích: Bài tốn chưa có dạng tốn gốc nên ta chuyển toán gốc cách chuyển tham số sang vế phải ( cô lập tham số ) Ví dụ Cho hàm số y x2 6x có đồ thị ( P) nhình vẽ bên Dựa vào đồ thị, tìm giá trị tham số m để phương trình: x 12 x 6m có nghiệm phân biệt dương Phân tích: Ở Ví dụ giống Ví dụ yêu cầu thêm điều kiện nghiệm hai nghiệm phân biệt dương nên phải lưu ý số giao điểm parabol đường thẳng hai điểm có hồnh độ dương ( hai điểm nằm bên phải trục tung ) |6 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Lời giải Phương trình: 2x 12x 6m1 x2 x 11 3m (1) Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số P y x 6x đường thẳng d y 3m Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm P Dựa vào đồ thị ta thấy, u cầu tốn4 3m Ví dụ Biện luận theo m số nghiệm phương trình x2 3; 2x 2m đoạn Phân tích: Tương tự Ví dụ 3, tốn đưa việc biện luận theo m số giao điểm parabol đường thẳng ứng với hoành độ thuộc đoạn 3; Lưu ý nghiệm đầu mút Lời giải Ta có x 2x 2m Xét parabol (P ) : y x 2x 2m (2) f (x ) x2 2x với x3; có Có đỉnh I 1;3 parabol có bề lõm quay xuống f 1, f Xét đường thẳng d : y 2m Số nghiệm phương trình (1) đoạn P Từ đồ thị ta có 3; số giao điểm d | 13 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Khi đó, phương trình trở thành u 2u m * Để phương trình có bốn nghiệm phân biệt phương trình * phải có hai nghiệm dương phân biệt Ta vẽ đồ thị hàm số y u 2u u , số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị với đường thằng y m Từ đồ thị suy ra, phương trình có nghiệm phân biệt m Vậy với m phương trình có nghiệm phân biệt Ví dụ 10 Cho phương trình: x2 x 2 x2 x m Tìm m để phương trình có nghiệm Phân tích: Bài tốn dễ để tìm ý tưởng giải đặt ẩn phụ t x 2x , t phương trình trở thành phương trình bậc hai lập tham số t 2t 2m Lời giải x2 x Xét hàm số P : y x2 2x 2 x 2x Đặt t Khi hàm số: g t t 2 2t 3, t | 14 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm số g t t 2t 3, t , ta thấy phương trình có nghiệm 2 m m Ví dụ 11 Tìm tất giá trị tham số m x x2 x Phân tích: Về ý tưởng tìm lời giải rõ ràng: đặt t thành phương trình bậc hai Điều quan trọng phải tìm miền giá trị t cách xác với điều kiện xác định x Lời giải Điều kiện x Đặt t x x Với x3;6 3 Với t x Suy t3;3 x2 Ta có 3x 18 Phương trình cho trở thành t2 m t2 t Số nghiệm phương trình t ) đường thẳng y 2m Xét hàm số f t t 2t với t có đồ thị sau 2t 2m ; t x Phương trình cho có nghiệm phương trình * thỏa Dựa vào đồ thị ta có 10 2m m có nghiệm t t 3 | 15 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Vậy m giá trị tham số m cần tìm Ví dụ 12 Cho hàm số y f x có đồ thị C hình sau Tìm m để phương trình: f đoạn 5;1 x f ( x 1) 2 m có nghiệm phân biệt thuộc Phân tích: Về ý tưởng: Đặt t f x phương trình đưa phương trình bậc hai: 2 t 2t m Tìm xác miền giá trị t với x Xác định với giá trị t thỏa mãn điều kiện cho tương ứng với giá trị x 5;1 Lời giải Từ đồ thị hàm số y f x C ta vẽ đồ thị hàm số y f Tịnh tiến đồ thị C sang trái đơn vị ta đồ thị hàm số y f x Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x xuống đơn vị ta đồ thị hàm số y f x Lấy đối xứng phần phía Ox đồ thị hàm số y f đồ thị x | 16 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Từ đồ thịC Đặt t f x g( 5) 2,t f g(1) f 2 0;3 phương trình biểu thị theo t là: Qua phần đồ thị C ' ứng với x 5;1 t ta giá trị t t 2t m (1) 0;3 phương trình f x Do phương trình cho có nghiệm phân biệt thuộc 5;1 phương trình (1) có nghiệm phân biệt thuộc 3; Xét hàm số y t t 2t , ta có bảng biến thiên: Qua bảng biến thiên ta D BÀI TẬP VẬN DỤNG BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Cho hàm số y x 4x có đồ thị hình vẽ bên Dựa vào đồ thị tìm giá trị tham số m để phương trình x x m có nghiệm phân biệt Bài Biện luận theo tham số Bài Tìm tất giá trị tham số m để phương trình | 17 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Bài Tìm m để phương Bài Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: x Bài Tìm m Bài Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x4 để phương x 4x có đồ thị hình vẽ bên Tìm tất giá trị tham số Bài Cho hàm số y m để phương trình Bài ( Đề chọn HSG trường THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa ) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x x m Bài 10 Cho phương trình x 4 x x 12 x x 2 x m 3m 10 Tìm m để phương trình có nghiệm x thuộc 2;3 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu Cho hàm số yax bx c có đồ thị đường cong hình vẽ Tập hợp T gái trị m để phương trình ax2 A T bx c m có nghiệm 1; 2x2 | 18 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Câu Hàm số y x 2x có đồ thị hình bên Tìm giá trị m để phương trình x2 2x m vô nghiệm A m Câu Cho hàm số f x xác định có đồ thị hình vẽ Phương trình f x có nghiệm? A Câu Cho hàm số nguyên tham số m 1; 2020 phân biệt A 2019 Câu Cho parabol P : y ax bx c a có đồ thị hình bên Số giá trị nguyên m để phương trình ax2 bx c m có bốn nghiệm phân biệt | 19 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 2 A Câu Cho hàm số thực m phương trình f A m Câu Cho hàm số để đồ thị hàm số y phân biệt là? A m Câu Cho phương trình phương trình có nghiệm thực? | 20 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 A Câu Cho hàm số y f x B C D có đồ thị hình vẽ Phương trình A Bài 10 Cho hàm số y f x ax bx c có đồ thị C hình vẽ sau Số giá trị nguyên m để phương trình nghiệm phân biệt A | 21 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 BẢNG ĐÁP ÁN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN A D VIII Những thông tin cần bảo mật: Không IX Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 10 học Đại số chương II chương III X Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: Học sinh học theo nội dung trình bày sáng kiến tự tin đối mặt với việc đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số đặc biệt việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số phạm vi kiến thức lớp 10 bước đầu trang bị cho học sinh kỹ phương pháp giải dạng toán khai thác đồ thị hàm số sau học lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia Bản thân giáo viên viết đề tài phần rèn luyện cho khả nghiên cứu khoa học, tìm tịi phân tích tổng hợp tài liệu, tăng cường khả sáng tác tốn nói riêng khả sáng tạo nói chung, tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo “Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải biện luận phương trình đại số lớp 10” để trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp truyền đạt cho học sinh Mặc dù cố gắng nhiều trình viết sáng kiến kinh nghiệm chắn không tránh khỏi sai sót Kính mong q thầy cơ, đồng nghiệp học sinh chân thành góp ý để sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10” hồn thiện trở thành tài liệu hay, hữu ích việc dạy học | 22 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 XI Danh sách tổ chức/cá nhân tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu: STT biện luận phương trình đại số lớp 10 Vĩnh Tường, ngày 12 tháng 02 năm 2020 Thủ trưởng đơn vị/ Chính quyền địa phươn (Ký tên, đóng dấu) Phạm Thị Hòa Vũ Thị Thanh Nga | 23 ... trị tham số m để phương trình | 17 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Bài Tìm m để phương Bài Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình. .. phía Ox đồ thị hàm số y f đồ thị x | 16 SKKN: Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số lớp 10 Từ đồ thịC Đặt t f x g( 5) 2,t f g(1) f 2 0;3 phương trình biểu thị. .. đọc đồ thị hàm số, khai thác đồ thị hàm số đặc biệt việc ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai để biện luận số nghiệm phương trình đại số phạm vi kiến thức lớp 10 bước đầu trang bị cho học sinh kỹ phương