Mot so ung dung cua phuong trinh bac hai mot an

ÖÙng duïng cuûa phöông trình baäc hai vaøo vieäc giaûi toaùn laø moät söï lieân keát cuï theå nhaát .Trong quaù trình giaûng daïy phaàn naøy toâi nhaän thaáy ña soá hoïc sinh coøn raát y[r]

TRƯỜNG THCS ĐÀO DUY TỪ - -

Kinh nghiệm :

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ

Người thực hiện : Nguyễn Thị Thuý Tổ : Toán – Lí

A-Phần Mở Đầu

Đảng và nhà nước ta rất quan tâm đến đội ngũ tri thức trẻ Họ là những người lao động có kiếnthức cơ bản làm chủ kĩ năng nghề nghiệp , quan tâm và nhạy cảm với cái mới Có thể nói rằng độingũ tri thức trẻ là những người nắm trong tay vận mệnh của đất nước ta

Muốn có được kiến thức cơ bản làm chủ kĩ năng nghề nghiệp thì chúng ta phải phát huy đượctính tích cực tự giác sáng tạo của người học , chúng ta phải bồi dưỡng phương pháp tự học , rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm , đem lại niềm vui hứng thúhọc tập cho học sinh Để đáp ứng được tinh thần trên đòi hỏi người giáo viên phải tìm ra phươngpháp dạy học hiệu quả nhất Đặc biệt là đối với môn toán môn học có vị trí quan trọng nhất trongtrường học Nó là cầu nối là mối liên hệ cho tất cả các môn học khác phát triển Qua toán học conngười sẽ tiếp thu được những tinh hoa của nhân loại , hiểu biết thêm được nhiều cái mới Môn toánlà chìa khoá của sự phát triển , là chìa khoá mở cửa kho tàng tri thức nhân loại và những tri thức đólà hành trang vững vàng nhất để bước vào tương lai

Phương trình bậc hai một ẩn số là một phần rất quan trọng trong toán học , nó là cầu nối , là sựliên kết chặt chẽ và logic giữa các phần của toán học Ứng dụng của phương trình bậc hai vào việcgiải toán là một sự liên kết cụ thể nhất Trong quá trình giảng dạy phần này tôi nhận thấy đa số họcsinh còn rất yếu về nhận biết và giải phương trình bậc hai , phân biệt các hệ số tính biệt số đen ta ,công thức nghiệm tổng quát để giải loại bài tập này Đối với các em khá giỏi phần này giúp các emvề mặt phương pháp để nhằm kích thích tìm tòi sáng tạo của các em biến đổi để đưa những phươngtrình về phương trình bậc hai rồi giải Biết đưa những bài toán khó về dạng quen thuộc để giải Dođó tôi mạnh dạn viết kinh nghiệm này nhằm góp một phần nhỏ vào việc giúp các em học sinh ứngdụng phương trình bậc hai để giải quyết những vấn đề khó khăn mà các em thường lúng túng vềphương pháp Mặt khác nó cũng giúp các em những kỹ năng cần thiết để giải bài toán và các vấnđề lâu dài về sau

Trong quá trình viết kinh nghiệm này mặc dù đã rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian ngắn vàkiến thức bản thân còn hạn chế nên khó tránh khỏi những sai sót Vì vậy tôi rất mong sự góp ý chânthành của quý bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn



B - PHẦN NỘI DUNG

Để giúp học sinh học tốt phần phương trình bậc hai một ẩn số khắc phục những hạn chế trên Giáoviên cần cho học sinh nắm chắc các định nghĩa cách giải phương trình bậc hai chú ý khi tính nghiệmx1 ; x2 và các trường hợp đặc biệt

I / VÀI NÉT SƠ LỰƠC VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ 1 / Định nghĩa :

Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số đã cho , a0

2 / Cách giaiû :

a / Công thức nghiệm tổng quát

Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a0) ( 1 ) Để giải phương trình ( 1 ) ta biến đổi như sau :

Đăït f ( x ) = ax2 + bx + c = 0 = a(x2

– Nếu  > 0 ⇒ Phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm thực là: x1= −b+√Δ

2 a ; x2 = −b −√Δ

2 a– Nếu  = 0 ⇒ Phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm kép là: x1= x2 = −2 ab

– Nếu  < 0 ⇒ Phương trình ( 1 ) vô nghiệm trên R

b / Công thức nghiệm thu gọn

Với phương trình ax2 + bx + c = 0

Giả sử có hệ số b = 2b'

⇒ = b2 – 4ac

= (2b')2 – 4ac = 4 (

– Nếu Δ' < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm trên R

c/ Các cách giải khác

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì :

Đảo lại , nếu hai số x1, x2 thoả mãn x1+ x2 = S , x1x2 = P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 , x2 =ca Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = –1 , x2 = –ca * Phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c ra thừa số :

ax2 + bx + c = a(x − x1) (x − x2)

Phương trình bậc hai một ẩn số có những ứng dụng rất quan trọng trong việc giải các phươngtrình trong đại số của THCS trong quá trình giải bài tập ta gặp những phương trình chưa có thể thấyngay ở dạng tổng quát mà phải biến đổi nó để đưa về phương trình bậc hai rồi giải

II / MỘT SỐ ỨNG DỤNG CUẢ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 / Dùng để giải phương trình bậc cao 1.1 Phương trình bậc ba

a Phương trình có dạng ax3+ bx2 + cx + d = 0 ( a0) (1)

Cách giải : nhẩm nghiệm x0 sau đó đưa (1) về dạng :

(1) ⇔ ( x – x0 )( ax2 + bx + c ) = 0 (với x0 là nghiệm của (1) )

Chú ý : nếu a+b+c+d=0 thì phương trình có nghiệm là x0 = 1

nếu a− b+c −d=0 thì phương trình có nghiệm là x0 = –1 b Ví dụ : Giải phương trình :

2x3- 7x2 - 3x + 18 = 0 (2)

Giải : ta thấy x0 = 2 là một nghiệm của phương trình (2) vậy ta được :

(2) ⇔ ( x− 2)(2 x2− 3 x − 9)= 0

⇔ ¿¿

Giải phươngtrình (3) ta có : = 32 + 4.2.9 = 81 ⇒ √Δ= 9

⇒¿¿

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là : x1 = 2 ; x2 = 3 và x3 = −32

⇔ 8y2 + 7y -1 = 0

Giải phương trình bậc hai theo y ta thấy

y1 = -1 là một nghiệm ⇒ y2 = 18 y1 = -1 ⇔ x1

3 = - 1 ⇔ x1 = - 1 y2 = 18 ⇔ x23 = 18 ⇔ x2 = 12

– Chú ý: Nếu n = 2 ta có phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0

nghiệm

X 0 của (1) ( nếu có ) thì phương trình trùng phương có nghiệm là x = ±√X

Ví dụ : Giải phương trình

x4 – 13x2 + 36 = 0 (2) Giải : Đặt X = x2 với X 0

Phương trình (2) ⇔ X2 – 13X + 36 = 0 Ta có : = (-13)2 - 4.8.6 = 196 – 114 ⇒ √Δ= 5

⇒ ¿¿

⇔

x ≠ ± 1x ≠ −1

Vậy: Nghiệm của (2) là : ⇒ ¿

¿ ( thoả mãn điều kiện ) Vậy: Nghiệm của (1) là x1 = 1 + √2 ; x2 = 1 - √2 3/ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

3.1 Phương trình vô tỷ dạng √A = B

a / Cách giải : Để giải phương trình vô tỷ dạng √A = B ta giải hệ phương trình tương (1) và (2) b/

Ví dụ : Giải phương trình √x+1 = x – 1 (1)

Giải : (1) ⇔ x − 1≥ 0x +1=¿¿

x ≥ 1x1=0 , x2=3

x1 = 0 ( loại )

Vâïy: Nghiệm của phương trình đã cho là x = 34/ PHƯƠNG TRÌNH CÓ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI a/ Giải phương trình |A| = B (1)

Cách giải : + Điều kiện : B 0 (2)

+ Bình phương hai vế : A2 = B2 (3)

Giải (3) chọn nghiệm thoả (2) suy ra nghiệm của (1) sơ đồ cách giải

|A| = B ⇔

B ≥ 0

giải : (1) ⇔2 x+1 ≥ 0¿¿ ⇔

⇔x = 13

Vậy: Nghiệm của hệ (1) là x= 13

5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ :

a/ Dùng phương pháp thế sau đó suy ra phương trình bậc hai theo x hoặc y

b/ Ví dụ : Giải hệ :

+ y1 = –1 thay vào (3) suy ra x1 = – 1

+ y2 = 15 thay vào (3) suy ra x2 = 75

Vậy nghiệm của hệ là :

x=−1y=− 1

MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ 1 Giải phương trình :

a, x3 – 6x2 + 3x+ 10 = 0 b,2x3 + 3x2 – 9x + 4 = 0 2 Giải phương trình :

a , x6 – 19x3 – 216 = 0 b, x4 – 8x2 – 9 = 0 c, 3x4 – 11x2 – 14 = 0 2 Giải phương trình

Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn đạt được chất lượng cao trong việc học toán thìkhông thể sao nhãng vai trò của người thầy Người thầy phải nắm vững kiến thức Bên cạnh đóphải đổi mới phương pháp giảng dạy để truyền tải lượng thông tin tới học sinh một cách khoa họcnhất Để đạt được diều đó đòi hỏi người giáo viên không ngừng học tập để tự hoàn thiện mình Đối với trò cần có ý thức học tập tốt , tính cần cù , chịu khó ham học hỏi yêu thích môn học Trên đây là những kinh nghiện nhỏ mà bản thân trong quá trình giảng dạy đã vận dụng và có hiệuquả Rất mong bạn bè và đồng nghiệp góp ý để chất lương giảng dạy môn đại số bậc trung học cơsở kết quả học tập ngày càng tốt hơn

Người viết

Nguyễn Thị Thuý