Đồ thị phẳng và bài toán tô mầu

Đồ thị phẳng và bài toán tô mầu

CHƯƠNG 4

ĐỒ THỊ PHẲNG & BÀI TOÁN

TÔ MÀU

Đồ thị phẳng là một đồ thị có thể biểu diễn trên một mặt phẳng (hay trên hình

cầu) sao cho hai cung (hay hai cạnh) không cắt nhau

Ghi chú Hai cạnh có chung một đỉnh được gọi là không cắt nhau

Cắt nhau Không cắt nhau

Thí dụ Đồ thị G1 là đồ thị phẳng và G2 , G3 là các biểu diễn phẳng của G1

Đồ thị G1 Biểu diễn G2, G3 của G1

Cho G là đồ thị phẳng Một mặt (FACE) của G là một miền, giới hạn bởi các

cạnh, không có đỉnh lẫn cạnh ở bên trong Trong các mặt này luôn luôn có một

và chỉ một mặt vô hạn Đường biên (CONTOUR) của một mặt r là chu trình hợp thành từ các cạnh biên của r Hai mặt r và s được gọi là KỀ

(ADJACENTES) nếu đường biên của chúng có chung ít nhất một cạnh Hai mặt không có chung một đỉnh nào thì sẽ không kề

THÍ DỤ

Một bản đồ địa dư là một đồ thị phẳng (với điều kiện là không có đảo) Đồ thị này đặc biệt mỗi đỉnh có bậc ≥ 3 Mặt h là mặt vô hạn, những mặt còn lại a, b, c, d, e, f, g là những mặt hữu hạn

h

c

a b

d e

f

FIG 4.1 ĐỒ THỊ PHẲNG

Bài toán ba làng và ba nhà máy Ta có 3 làng a, b, c, mà ta muốn

đặt đường nối với 3 nhà máy : một nhà máy cung cấp nước d, một nhà máy cung cấp ga e, một nhà máy cung cấp điện f Vấn đề đặt ra là , ta có thể đặt trên một mặt phẳng sao cho các đường dẫn không giao nhau ngoài các đỉnh cực biên ? Đồ thị biểu diễn 3 làng và 3 nhà máy cho phép định nghĩa một lớp các đồ thị không phẳng

a b c

g

4.2 CÔNG THỨC EULER , HỆ QUẢ & THÍ DỤ

4.2 1 CÔNG THỨC EULER

Cho một đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, m cạnh và f mặt, ta có

n - m + f = 2

Chứng minh Truy chứng trên số cạnh :

m = 1 Ta có n= 2 đỉnh và f=1 mặt Ta có n – m + f = 2 – 1 + 1 = 2

Vậy công thức EULER đúng cho trường hợp m = 1

Giả sử công thức EULER đúng cho trường hợp đồ thị Gi-1 có mi – 1 cạnh

Ta sẽ chứng minh công thức EULER cũng đúng cho trường hợp đồ thị có mi

cạnh

Gọi cạnh u = (x,y) là cạnh vẽ thêm vào Gi-1 để có Gi

Hiễn nhiên là có it nhất một đỉnh thuộc Gi-1 và u=(x,y) thuộc một mặt K của Gi-1 Giả sử x ∈ Gi-1 Có 2 trường hợp xãy ra :

1 y ∈ K Do đó ta có : x

fi = fi-1 + 1

ni = ni-1 K

mi = mi-1 + 1

ni - mi + fi = ni – (mi-1 + 1) + (fi-1 + 1)

= ni – mi-1 + fi-1 = 2 Vậy công thức EULER đúng

2 y ∉ K Ta có :

fi = fi-1

mi = mi-1 + 1

ni - mi + fi = (ni + 1) – (mi-1 + 1) + fi-1 = ni – mi-1 + fi-1 = 2 Vậy công thức EULER đúng

Vậy công thức EULER đúng với mọi m

4.2.2 Hệ quả

Trong một đồ thị đơn giản phẳng, liên thông bất kỳ có n đỉnh, m cạnh (m > 2) và f mặt Khi ấy, ta có :

3f/2 ≤ m ≤ 3n - 6 (1)

Chứng minh.

Mỗi mặt bị bao ít nhất 3 cạnh, mỗi cạnh thuộc 2 mặt

Ba cạnh xác định tối đa 2 mặt Vậy số mặt tối đa là 2m/3

Ta có f ≤ 2m/3 Dùng công thức EULER suy ra bất đẳng thức (1)

4.2.3 Hệ quả

Trong tất cả các đồ thị phẳng đơn giản, có ít nhất một đỉnh có bậc ≤ 5

Chứng minh

Giả sử mọi đỉnh có bậc > 6 Khi ấy 2m > 6n ⇒ m > 3n > 3n – 6 Mâu thuẩn

4.2.4 THÍ DỤ

Dùng công thức EULER, ta sẽ chứng minh là tất cả đồ thị đầy đủ 5 đỉnh K5 là không phẳng

FIG 4.3 ĐỒ THỊ KHÔNG PHẲNG LOẠI 2 : K5

Chứng minh

Ta có số đỉnh n = 5, Số cạnh m = n(n-1)/2 = 10

Nếu K5 phẳng, áp dụng hệ quả 3.2.2 ta có :

10 = m ≤ 3n – 6 = 3x5 – 6 = 9

Mâu thuẩn Vậy K5 không phẳng

Nhận xét

Đồ thị những làng và những nhà máy (Loại 1 : K3,3) và đồ thị đầy đủ 5 đỉnh (loại 2 :K5) cho phép định nghĩa tất cả những đồ thị mà không phẳng

K5, K3,3 cùng là đồ thị đều

Đồ thị K5 không phẳng với số đỉnh nhỏ nhất, đồ thị K3,3 là đồ thị không phẳng có số cạnh nhỏ nhất, và cả hai là đồ thị không phẳng đơn giản nhất

4.3 BẤT ĐẲNG THỨC CẠNH- ĐỈNH

4.3.1 THÍ DỤ

Ta xét bài toán xác định xem đồ thị G cho trước có phẳng không ?

THÍ DỤ 1 Cho đồ thị K4 K4 phẳng

THÍ DỤ 2 Cho đồ thị G sau :

a b c d

h g f e

G phẳng vì ta có thể vẽ lại như sau :

g b f

h d e

THÍ DỤ 3 Đồ thị sau đây không phẳng

4.3.2 BẤT ĐẲNG THỨC CẠNH – ĐỈNH

Cho G là một đồ thị phẳng liên thông có n đỉnh, m cạnh và đường biên của các mặt có số cạnh g ≥ 3 Khi ấy, ta có :

m ≤ (n-2) g/ (g-2)

Chứng minh

Giả sử ma trận kề cạnh- mặt có dạng :

mf

trong đó :

mij = 1 nếu mI là cạnh biên của fj,

0 ngược lại

Xét hàng thứ i, ta có :

Σ mij ≤ 2 ( vì mij là cạnh biên của nhiều nhất 2 mặt)

Xét cột thứ j, ta có :

Σ mij ≥ g (vì mặt fj có it nhất g cạnh biên)

Theo công thức EULER, ta có :

n - m + f = 2 (3) Theo (2), (1), ta có :

gf = g(2 + m - n) ≤ 2m (2 + m - n) ≤ 2m/g

THÍ DỤ

Nhờ Bất đẳng thức trên, ta sẽ chứng minh được rằng đồ thị 3 làng và 3 nhà máy

K3,3 , xem hình FIG 4.2 không phẳng

Thật vậy, nhận xét rằng mọi chu trình trong K3,3 có số cạnh ít nhất là 4 Vậy nếu K3,3 phẳng mọi mặt phải có số cạnh ít nhất là 4

Theo Bất đẳng thức trên, ta có : 9 = m ≤ (6-2) 4/(4-2) = 8 Mâu thuẩn

Vậy K3,3 không phẳng

4.4 PHÉP ĐỒNG DẠNG

4.4.1 ĐỊNH NGHĨA

Hai đồ thị được gọi là đồng dạng với nhau nếu đồ thị này có được bằng cách biến đổi đồ thị kia theo cách thêm đỉnh bậc 2 hoặc bỏ đi đỉnh bậc 2

THÍ DỤ a b → a c b → a b

Thêm Bớt

Đỉnh c bậc 2 vào ab Đỉnh c bậc 2 khỏi acb

4.4.2 BỔ ĐỀ

Giả sử H là đồ thị con của G Khi ấy :

Nếu G phẳng thì H phẳng

Nếu H không phẳng thì G cũng không phẳng

4.4.3 BỔ ĐỀ

Mọi đồ thị là phẳng nếu đồng dạng của nó là phẳng

4.5 ĐỊNH LÝ KURATOWSKI

Đồ thị G là phẳng nếu và chỉ nếu G không chứa một đồ thị con đồng cấu với

K5 cũng như với K3,3.

4.6 BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ

4.6.1 ĐỊNH NGHĨA

Phép tô màu một đồ thị là phép gán màu cho các đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau có màu khác nhau

Một cách hình thức có thể định nghĩa phép tô màu như sau :

Phép tô màu là một ánh xạ γ : X → N sao cho ∀ (x, y) ∈ X, γ(x) ≠ γ (y)

THÍ DỤ

FIG 4.4

Số màu (phân biệt) ít nhất cần thiết để tô màu các đỉnh của đồ thị G được

gọi là Sắc tố (CHROMATIQUE) và ký hiệu là γ (G)

Một đồ thị G γ (G) ≤ k được gọi là k-sắc tố

Chận trên của sắc tố được cho bởi d + 1 với d bậc lớn nhất của đỉnh

γ (G) ≤ d + 1

4.6.2 CÁC ỨNG DỤNG

XẾP LỊCH THI

Giả sử ta khảo sát việc thi vấn đáp của một kỳ thi Có những ràng buộc sau :

♦ Một thầy , một lúc chỉ có thể hỏi thi một em

♦ Một thí sinh thi với một thầy vào một thời gian đã định trước

Sự phân bố thí sinh thi với thầy nào đã được ấn định trươc (Thầy Pi thí sinh

Ej) :

THÍ DỤ (P1, E1), (P1, E2), (P1, E3), (P2, E1), (P2, E2),

BẢN ĐỒ ĐỊA DƯ

Một bài toán hết sức lý thú là tô màu các bản đồ sao cho hai vùng khác nhau không cùng một màu

4.6.3 THUẬT TOÁN TÔ MÀU

DỮ LIỆU : Đồ thị G = (X, U)

KẾT QUẢ : Một phép tô màu γ : X → N

BEGIN

Cho τ = x1, x2, …,xn là một phép đánh số thứ tự các đỉnh của G

Cho C = {1 , 2, …, k} tập các màu

FOR i=1 To n Do γ(xi) = Min{k ∈ C :∀ đỉnh y kề x,, γ(y) ≠ k}

END

4.6.4 ĐỊNH LÝ

Nếu G có chứa một đồ thị con đẳng hình với Km thì γ (G) ≥ m

CHỨNG MINH Hiễn nhiên

4.6.5 ĐỊNH LÝ 5 MÀU (KEMPE-HEAWOOD)

Mọi đồ thị phẳng đều có 5-sắc tố

4.6.6 BÀI TOÁN 4 MÀU

GIẢ THIẾT BÀI TOÁN 4 MÀU

Trên một bản đồ bất kỳ, ta nói nó được tô màu nếu mỗi miền của bản đồ được tô một màu xác định sao cho 2 miền kề nhau (chung một phần biên) phải được tô bằng hai màu khác nhau Vấn đề đặt ra là cần dùng tối thiểu bao nhiêu màu để tô được một bản đồ bất kỳ Vấn đề này được đặt ra từ năm 1852 do giáo sư De Morgan đặt ra : « Mọi bản đồ đều có thể tô bằng 4 màu sao cho hai nước nằm kề nhau phải được tô bằng hai màu khác nhau » Sau đó có rất nhiều cố gắng của các nhà toán học để giải bài toán này nhưng đều không đi đến kết quả cuối cùng Cho đến năm 1976, một nhóm các nhà toán học (K Appel, W Haken, J.Koch) đã xây dựng một lời giải dựa trên kết quả do máy tính IBM cung cấp đã khẳng định được giả thiết 4 màu là đúng

LIÊN QUAN GIỮA BÀI TOÁN 4 MÀU & SẮC TỐ ĐỒ THỊ PHẲNG

Cho một đồ thị phẳng G liên thông, không có đỉnh cô lập Ta xây dựng một đồ thị đối ngẫu của nó gọi là G như sau :

Mỗi đỉnh x* của G tương ứng đúng với một mặt s của G

Mỡi cạnh u* của G nối 2 đỉnh của G tương ứng với 2 vùng kề nhau và cắt cạnh chung của hai vùng đó

G được xây dựng như trên là một đồ thị phẳng, và cũng không có đỉnh cô lập

Chú ý : Đối ngẫu của G là G

HỆ QUẢ

Trong tất cả các bản đồ địa dư, có ít nhất một mặt có đường biên có số cạnh ≤ 5

Chứng minh

Chuyển bản đồ địa dư thành đồ thị đối ngẫu Giả thiết trở thành « có it nhất một đỉnh có bậc 5 ≤ » áp dụng Hệ quả 4.2.3 suy ra kết luận của hệ quả trên

ĐỊNH LÝ 4 MÀU

Mọi đồ thị phẳng có sắc tố γ (G) ≤ 4