LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)

CHƯƠNG 5: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ PHẦN 1: Các khái niệm - Biểu diễn đồ thị - Một số đồ thị đặc biệt - Sự đẳng cấu đồ thị - Đồ thị có hướng - Đường chu trình - Sự liên thông - Các khái niệm  Đồ thị (Graph)  G = (V, E) với V≠∅  V: tập đỉnh  E: tập cạnh  Cạnh e∈E  ứng với đỉnh v, w∈V  v, w đỉnh kề (hay liên kết) với nhau, e liên thuộc với v w  Ký hiệu: e = vw (…)  v ≡ w : e gọi vòng (khuyên) v Chương Đại cương đồ thị Các khái niệm  Đồ thị (Graph)  Cạnh bội (song song)  Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh  Đơn đồ thị  Đồ thị khơng có vòng cạnh song song  Đa đồ thị  Các đồ thị đơn đồ thị Chương Đại cương đồ thị B A x C D y z Các khái niệm  Đồ thị (Graph)  Đồ thị đầy đủ  Đồ thị mà cặp đỉnh kề  Kn: đơn đồ thị đầy đủ  Đồ thị  Đồ thị G’ = (V’, E’)  V’ ⊆ V, E’ ⊆ E  Đồ thị hữu hạn  E V hữu hạn  Đồ thị vô hạn Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị  Biểu   Mỗi đỉnh ≡ điểm Mỗi cạnh ≡ đường (cong thẳng) nối đỉnh liên thuộc với  Biểu   diễn hình học diễn ma trận Thường dùng để biểu diễn máy tính cách biểu diễn thường dùng  Ma trận kề  Ma trận liên thuộc Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị  Biểu  diễn ma trận Ma trận kề  Ma trận vuông cấp n (số đỉnh đồ thị)  Các phần tử xác định   : Nếu aij = 1: Nếu aij cạnh G vi vkhông j cạnh G vi v j aijchất=  Tính  Phụ thuộc vào thứ tự liệt kê đỉnh   Ma trận đối xứng Một vòng tính cạnh (akk = 1) Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị  Biểu diễn ma trận  Ma trận kề  Ví dụ Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị  Biểu diễn ma trận  Ma trận kề  Ví dụ A B C D E A B C D E 1 1 1 1 1 1 2 Chương Đại cương đồ thị B 2 D A C E Biểu diễn đồ thị  Biểu  diễn ma trận Ma trận liên thuộc  Ma trận M = ( )nxm aij  Các phần tử xác định aij  : Nếu cạnh liên thuộc với vi G a = 1: Nếu cạnh ekhông j : ij liên thuộc với vi G aijchất= ej  Tính    Các cột tương ứng với cạnh bội giống ma trân liên thuộc Các vòng ứng với cột có phần tử ứng với đỉnh nối với vòng Chương Đại cương đồ thị Biểu diễn đồ thị  Biểu diễn ma trận  Ma liên thuộc  Ví dụ v1 v2 v3 v4 v5 e1 e2 1 0 0 0 e3 1 0 e4 1 0 Chương Đại cương đồ thị e5 0 1 e6 0 e7 1 e8 0 10 Đồ thị có hướng  Bậc  đỉnh Định lý 1.5  Tổng bậc vào đỉnh tổng bậc số cạnh đồ thị |V |  ∑ + Đồ thị cân bằngdeg (v) = i =1 |V | − deg ∑ (v ) = | E | i =1 deg + (v) = deg − (v), ∀v ∈ V Chương Đại cương đồ thị 31 Đồ thị có hướng  Bậc  đỉnh Ví dụ  Có nhóm gồm đội bóng bàn thi đấu vòng tròn lượt  Hỏi sau có kết thi đấu tất đội có trường hợp đội 09 đội thắng 05 đội khác nhóm khơng? (Lưu ý thi bóng bàn khơng có trận hòa) Chương Đại cương đồ thị 32 Đường chu trình  Đường  Định nghĩa  Đường có độ dài n từ v0 đến với n số nguyên dương dãy cạnh liên tiếp v0v1, v1v2, …, vn-1vn  v0: đỉnh đầu; vn: đỉnh cuối  Ký hiệu: v0v1v2 … vn-1vn đường v0 - Chương Đại cương đồ thị 33 Đường chu trình  Đường  Định nghĩa  Đường đơn giản (đường đơn)  Đường không qua cạnh lần  Đường sơ cấp  Đường không qua đỉnh lần  Đường sơ cấp ⇒ Đường đơn giản Chương Đại cương đồ thị 34 Đường chu trình  Chu  trình Định nghĩa  Chu trình  đường khép kín (v0v1v2 … vn-1vnv0)  độ dài  Chu trình đơn giản  Chu trình không qua cạnh lần  Chu trình sơ cấp  Chu trình khơng qua đỉnh lần (trừ đỉnh đầu, cuối) Chương Đại cương đồ thị đỉnh 35 Đường chu trình  Chu trình  Định lý 1.6  G = (V, E) đồ thị vô hướng   Số đỉnh lớn Bậc đỉnh lớn G ln tồn chu trình sơ cấp  Định lý 1.7  G = (V, E) đồ thị vô hướng   Số đỉnh lớn Bậc đỉnh lớn G ln tồn chu trình sơ cấp có độ dài chẵn Chương Đại cương đồ thị 36 Tính liên thơng  Tính liên thơng đồ thị vơ hướng  Định nghĩa  Hai đỉnh v, u đồ thị G gọi liên thông tồn đường nối chúng với  Đồ thị G gọi liên thông hai đỉnh phân biệt đồ thị liên thơng Ngược lại ta gọi đồ thị không liên thông Chương Đại cương đồ thị 37 Tính liên thơng  Tính liên thơng đồ thị vơ hướng  Định nghĩa  Cho G = (V,E), v ∈ V  V’ tập V gồm đỉnh v tất đỉnh liên thông với v G  E’ tập E gồm tất cạnh nối đỉnh thuộc V’ Khi G’ = (V’, E’) gọi thành phần liên thông G chứa v Chú ý: Nếu v u liên thơng G thành phần liên thơng G chứa v thành phần liên thông G chứa u Chương Đại cương đồ thị 38 Tính liên thơng  Tính liên thơng đồ thị vô hướng  Định lý 1.8  Đồ thị G=(V, E) liên thông G có thành phần liên thơng (Sv tự chứng minh) Chương Đại cương đồ thị 39 Tính liên thơng  Tính  liên thơng đồ thị vô hướng Đỉnh cắt cầu  u đỉnh cắt (điểm khớp) ⇔ số thành phần liên thông tăng lên bỏ u cạnh liên thuộc với  e cầu ⇔ số thành phần liên thông tăng lên bỏ cạnh e Chương Đại cương đồ thị 40 Tính liên thơng  Tính  liên thơng đồ thị vơ hướng Định lý 1.9:  Đơn đồ thị G = (V , E) có   |V| = n ≥ deg(u) + deg(v) ≥ n, ∀ u,v ∈ V G đồ thị liên thông  Hệ quả:  Đơn đồ thị G = (V , E), |V| = n có deg(v) ≥ n/2, ∀v ∈ V G đồ thị liên thông Chương Đại cương đồ thị 41 Tính liên thơng  Tính liên thơng đồ thị có hướng  Liên thơng mạnh  Đồ thị có hướng G gọi liên thơng mạnh đỉnh u,v G có đường từ v đến u từ u đến v  Liên thơng yếu  Đồ thị có hướng G gọi liên thông yếu đồ thị vơ hướng tương ứng liên thơng Chương Đại cương đồ thị 42 Tính liên thơng  Tính  liên thơng đồ thị có hướng Định lý 1.10  Nếu đồ thị G có đỉnh bậc lẻ đỉnh phải liên thông với  Định lý 1.11  Đồ thị G đồ thị lưỡng phân chu trình có độ dài chẵn Chương Đại cương đồ thị 43 Một số phép biến đổi đồ thị  Hợp đồ thị    G = (V, E) G’ = (V’, E’) G’’ = G ∪ G’ = (V’’, E’’)  V’’ = V ∪ V’  E’’ = E ∪ E’ Chương Đại cương đồ thị 44 Một số phép biến đổi đồ thị  Phép phân chia sơ cấp  Phép thay cạnh e = uv G đỉnh w với cạnh uw vw  Đồng phôi  G G’ gọi đồng phôi chúng nhận từ đồ thị dãy phép phân chia sơ cấp Hai đồ thị đồng phôi chưa đẳng cấu với  Chương Đại cương đồ thị 45 ... cương đồ thị H = (W,F) 26 Sự đẳng cấu đồ thị  Định nghĩa  Chứng minh đồ thị đẳng cấu  Ví dụ Chương Đại cương đồ thị 27 Sự đẳng cấu đồ thị  Đồ  thị tự bù Định nghĩa  Đồ thị G tự bù G đẳng cấu. .. Đại cương đồ thị B A x C D y z Các khái niệm  Đồ thị (Graph)  Đồ thị đầy đủ  Đồ thị mà cặp đỉnh kề  Kn: đơn đồ thị đầy đủ  Đồ thị  Đồ thị G’ = (V’, E’)  V’ ⊆ V, E’ ⊆ E  Đồ thị hữu hạn... cương đồ thị Các khái niệm  Đồ thị (Graph)  Cạnh bội (song song)  Hai cạnh phân biệt tương ứng với cặp đỉnh  Đơn đồ thị  Đồ thị khơng có vòng cạnh song song  Đa đồ thị  Các đồ thị đơn đồ thị