Toan roi rac va ly thuyet do thi chuong 1

MÔN TÓAN RỜI RẠC & LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ NỘI DUNG HỌC 45 TIẾT LÝ THUYẾT Chương 1: Cơ sở logic (6T) Chương 2: Phép đếm (8T) Chương 3: Hàm Boole mạch tổ hợp (8T) Chương 4: Đại cương đồ thị (8T) Chương 5: Bài tóan đường (8T) Chương 6: Cây (7T) Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Nhơn – Giáo trình Tóan rời rạc – ĐHQG TpHCM Kenneth HH Rosen – Tóan học rời rạc ứng dụng tin học (bản dịch tiếng Việt) – NXB Khoa học Kỹ thuật 1997 Nguyễn Đức Nghĩa – Lý thuyết đồ thị - NXB Giáo dục 1998 Chương Cơ sở Logic I LOGIC MỆNH ĐỀ 1.KHÁI NIỆM MỆNH ĐỀ VÀ CHÂN TRỊ  Mệnh đề tóan học phát biểu xác định rõ tính hay sai phát biểu  Tính hay sai gọi chân trị mệnh đề: o Đúng ký hiệu o Sai ký hiệu Ví dụ: Các phát biểu sau mệnh đề (toán học) a= “6 số nguyên tố.” (0) b= “5 số nguyên tố.” (1) c= “1 < 2” (1) Ví dụ: Các phát biểu sau mệnh đề (toán học) tính sai chúng không xác định a= “Ai đọc sách?” (một câu hỏi) b= “Cho x số nguyên dương.” c= “x + y >z” CÁC PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ A PHÉP PHỦ ĐỊNH Cho p mệnh đề, "Phép phủ định p" định nghĩa sau đây:  Kí hiệu tóan học là:  p (hoặc ~p )  Kí hiệu ngôn ngữ lập trình C là: !p  Trong tiếng Việt là: không p  Trong tiếng Anh là: not p  Bảng chân trị p p 0 Ví dụ: Cho mệnh đề a= số nguyên tố (0) b= số nguyên tố (1) c= < (1) phủ định chúng a= không số nguyên tố (1) b= không số nguyên tố (0) c= ≥ (0) B PHÉP HỘI Cho p q hai mệnh đề “Phép hội p với q” định nghĩa sau đây:  Kí hiệu tóan học là: p  q  Kí hiệu ngôn ngữ lập trình C là: p && q  Trong tiếng Việt là: p q  Trong tiếng Anh là: p and q  Bảng chân trị p q pq 0 1 1 0 Ví dụ: Cho mệnh đề p = An học giỏi Tuấn học giỏi Thì p sai trường hợp  Cả An, Tuấn không học giỏi  Chỉ An học giỏi, Tuấn không học giỏi  Chỉ Tuấn học giỏi, An không học giỏi p trường hợp  Cả An, Tuấn học giỏi Ví dụ: Cho số thực a,b,c điều kiện để chúng độ dài cạnh tam giác sau Viết theo tiếng Việt (a=a+b)) printf(“3 số a,b,c không tạo tam giác”); D PHÉP KÉO THEO Cho p q hai mệnh đề “Phép p kéo theo q” định nghĩa sau đây:  Kí hiệu tóan học là: p  q  Trong tiếng Việt là: p kéo theo q (nếu p q)  Trong tiếng Anh là: if p then q  Bảng chân trị p q pq 0 1 1 0 1 Ví dụ: Cho mệnh đề p = Nếu An chăm học An thi đậu Thì p trường hợp  An chăm học, An thi đậu (Cả giả thiết kết luận xẩy ra)  An không chăm học, An thi đậu (Giả thiết không xẩy ra, kết luận xẩy ra)  An không chăm học, An thi không đậu (Giả thiết không xẩy ra, kết luận không xẩy ra) p sai trường hợp  An chăm học, An thi không đậu (Giả thiết xẩy ra, kết luận không xẩy ra) E PHÉP KÉO THEO CHIỀU Cho p q hai mệnh đề Phép kéo theo chiều hay phép tương đương, đưa để mô hình cho loại phát biểu điều kiện hai chiều có dạng : "p q" định nghĩa sau đây:  Kí hiệu tóan học là: p q  Trong tiếng Việt là: p q  Trong tiếng Anh là: if p then q and else  Bảng chân trị p q p q 0 1 0 1 Mệnh đề p q, đọc "p q", phát biểu dạng khác sau đây:  "p q"  "p điều kiện cần đủ cho q" Mệnh đề p q có chân trị (1) trường hợp p q có chân trị Ðộ ưu tiên phép tóan logic Tương tự phép toán số học, để tránh phải dùng nhiều dấu ngoặc biểu thức logic, ta đưa thứ tự ưu tiên việc tính toán Ở ta có toán tử logic:(không) , (và), (hay), (kéo theo), ( tương đương) có độ ưu tiên sau:  Ưu tiên 1:   Ưu tiên 2:   Ưu tiên 3:  Trong đó, toán tử liệt kê dòng có độ ưu tiên Trường hợp biểu thức có dấu ngoặc làm ngoặc trước, có nhiều dấu ngoặc lồng làm từ ngòai Trường hợp phép tóan độ ưu tiên làm từ trái sang phải Ví dụ:  p q có nghĩa (( p)  q)  p q r  p có nghĩa ((( p)  q) (r  p))  p q r có nghĩa ((( p) q) r) BIỂU THỨC LOGIC A.ÐỊNH NGHĨA  Có hai logic là: ,  Các biến logic (hay biến mệnh đề) biến nhận trị 0,  Một biểu thức logic tập hợp logic, biến logic, phép toán logic, dấu ngoặc "( )" để rõ thứ tự thực phép toán  Giả sử E, F biểu thức logic,  E, E  F, E  F ,E  F, E  F biểu thức logic Ví dụ: E(p,q,r) = ((( p)  q) (r  p)) biểu thức logic p, q, r biến logic (biến mệnh đề) B.BẢNG CHÂN TRỊ Bảng chân trị biểu thức logic: bảng tính tóan chân trị biểu thức logic đó, theo giá trị biến tham gia biểu thức Mỗi giá trị biến viết dòng bảng chân trị Với biến mệnh đề, ta có trường hợp (sai) (đúng) Với biến mệnh đề p, q ta có giá trị biến (p,q) giá trị (0,0), (0,1), (1,0), (1,1) Trong trường hợp tổng quát, với n biến mệnh đề ta có 2n giá trị cho n biến Cách lập bảng chân trị  Các cột bên trái, cột ứng với biến biểu thức Các cột bên phải, cột ứng với phép tóan biểu thức (thứ tự cột theo thứ tự thực phép tóan biểu thức)  Các dòng: dòng giá trị biến (ứng với cột bên trái chứa biến) kết tính tóan phép tóan (ứng với cột bên phải chứa phép tóan) Để viết giá trị biến dòng xác, ta làm sau: dòng viết (0,0,…,0), dòng tiếp sau dòng cộng (cộng nhị phân), dòng cuối (1,1,…,1) Cách cộng nhị phân: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0 (nhớ qua bên trái) Ví dụ: Bảng chân trị biểu thức logic p  ( q r) theo biến mệnh đề p, q, r sau: p q r qr p  ( q r) 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 C.SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG LOGIC  Hai biểu thức logic E F theo biến mệnh đề gọi tương đương logic E F luôn có chân trị trường hợp chân trị biến mệnh đề  Khi ta viết: E  F đọc "E tương đương với F" Như vậy, theo định nghĩa ta kiểm tra xem biểu thức logic có tương đương hay không cách lập bảng chân trị biểu thức logic Ví dụ: CMR p  q   p q Ta CM cách lập bảng chân trị biểu thức logic p q p  q sau: p q pq p p  q 0 1 1 1 1 0 0 1 1 D.BIỂU THỨC HẰNG ĐÚNG, BIỂU THỨC HẰNG SAI  Biểu thức logic E gọi chân trị E luôn (đúng) trường hợp chân trị biến mệnh đề biểu thức E Nói cách khác, E ta có: E 1  Biểu thức logic E gọi sai chân trị E luôn (sai) trường hợp chân trị biến mệnh đề biểu thức E Nói cách khác, E sai ta có: E0 Như vậy, ta kiểm tra xem biểu thức logic có phải (hằng sai) hay không cách lập bảng chân trị biểu thức logic Ví dụ: CMR biểu thức p p p p p p 1 1 Ví dụ: CMR biểu thức p p sai p p p p 1 0 Lưu ý:  Giả sử E F biểu thức logic Khi đó, E tương đương logic với F (tức ta có EF) biểu thức logic EF (tức EF1)  Nếu EF FG EG 4.CAC LUẬT LOGIC Các luật phép phủ định   p p (luật phủ định phủ định) 10 01 Luật giao hoán pqqp pqqp Luật kết hợp p  (q  r)  (p  q)  r p  (q  r)  (p  q)  r Luật phân bố p  (q  r)  (p  q)  (p  r) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) Luật De Morgan  (p  q)   p   q  (p  q)   p   q Luật phần tử bù pp1 pp0 Luật kéo theo pqpq Luật tương đương p  q  (p  q)  (q  p) Các luật đơn giản phép tuyển p  p  p (tính lũy đẳng phép tuyển) p   (luật gọi luật thống trị) p   p (luật gọi luật trung hòa) p  (p  q)  p (luật gọi luật hấp thụ) Các luật đơn giản phép hội p  p  p (tính lũy đẳng phép hội) p   p (luật gọi luật trung hòa) p   (luật gọi luật thống trị) p  (p  q)  p (luật gọi luật hấp thụ) Ví dụ 1: Chứng minh (p  q)  ( q   p) Ta có (p  q) pq qp  q)   p qp (luật kéo theo) (luật giao hoán) (luật phủ định) (luật kéo theo) Ví dụ 2: Chứng minh biểu thức ((p  q)  p)  q Ta có ((p  q)  p)  q   ((p  q)  p)  q (luật kéo theo)  ( (p  q)   p)  q (luật De Morgan)   (p  q)  ( p  q) (luật kết hợp)   (p  q)  (p  q) (luật kéo theo) 1 (luật phần tử bù) Vậy biểu thức ((p  q)  p)  q Ví dụ 3: Chứng minh biểu thức pqp Ta có pqp   ( p  q)  p (luật kéo theo)  ( p   q)  p (luật De Morgan)  ( q   p)  p (luật giao hoán)   q  ( p  p) (luật kết hợp) q1 (luật phần tử bù) 1 (luật đơn giản) Vậy mệnh đề p  q  p Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức p  pq mệnh đề Ta có p  pq   p  (p q) (luật kéo theo)  ( p  p)  q (luật kết hợp) 1q (luật phần tử bù) 1 (luật đơn giản) Vậy mệnh đề p  pq Luật logic có nhiều áp dụng ngôn ngữ hàng ngày Chẳng hạn xem số áp dụng sau: Áp dụng luật De morgan  (p  q)   p   q Để lấy phủ định mệnh đề hội Ví dụ: a= An học giỏi Tuấn học giỏi a= An không học giỏi hay Tuấn không học giỏi Áp dụng luật De morgan  (p  q)   p   q Để lấy phủ định mệnh đề tuyển Ví dụ: b= An học giỏi hay Tuấn học giỏi b= An không học giỏi Tuấn không học giỏi Ta có công thức phủ định mệnh đề điều kiện sau: p  q)   p  q) (Luật kéo theo)  p  q (Luật De Morgan) Như phủ định câu điều kiện câu điều kiện, mà câu hội với giả thiết xẩy kết luận không xẩy Ví dụ: c= Nếu An chăm học An thi đậu c= An chăm học An thi không đậu Cũng dùng từ đồng nghĩa với từ “và” “mà”, “nhưng”,… để câu phủ định hay c= An chăm học mà An thi không đậu c= An chăm học An thi không đậu II LOGIC VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ VỊ TỪ Ðịnh nghĩa: Một vị từ phát biểu p(x, y, …) phụ thuộc theo biến x, y, … lấy giá trị miền xác định X, Y, … Bản thân vị từ chưa có chân trị sai Tuy nhiên thay biến vị từ giá trị cụ thể, thuộc miền xác định nó, có chân trị sai, tức trở thành mệnh đề Số biến có vị từ gọi bậc vị từ (mệnh đề không chứa biến nên xem vị từ bậc 0) Ví dụ: Vị từ bậc p(n)  "n số nguyên tố", với n biến số tự nhiên (chưa biết hay sai) Nó tạo mệnh đề như: p(1) = "1 số nguyên tố" (0) p(2) = "2 số nguyên tố" (1) p(12) = "12 số nguyên tố" (0) p(17) = "17 số nguyên tố" (1) Ví dụ: Vị từ bậc p(m,n)  "m ước số n", với m n biến số tự nhiên (chưa biết hay sai) Nó tạo mệnh đề như: p(2,4) = "2 ước số 4" (1) p(3,4) = "3 ước số 4" (0) CÁC LƯỢNG TỪ VÀ CÁC MỆNH ĐỀ CÓ LƯỢNG TỪ Ngoài việc thay giá trị cụ thể cho biến vị từ để mệnh đề ta có cách quan trọng khác để chuyển từ vị từ sang mệnh đề Ðó cách sử dụng lượng từ "với mọi" "tồn tại" (hay "có một") Lượng từ sử dụng để nói lên vị từ giá trị thuộc miền xác định hay với phần giá trị thuộc miền xác định Giả sử P(x) vị từ theo biến x (biến x lấy giá trị thuộc miền xác định biết miền xác định nầy hiểu ngầm, không cần ghi rõ ra) Các phát biểu sau đây:  x : P(x) (1)  x : P(x) (2) Có chân trị hoàn toàn xác định Nói cách khác chúng mệnh đề Chân trị mệnh đề nầy xác định cách tự nhiên theo ngữ nghĩa thông thường lượng từ Mệnh đề (1) ứng với giá trị tùy ý x thuộc miền xác định ta có mệnh đề P(x) có chân trị Mệnh đề (2) có giá trị x thuộc miền xác định, ta có P(x) có chân trị Ghi chú: Phát biểu " x : P(x)" phát biểu " x : P(x)" vị từ theo biến x mà mệnh đề có chân trị xác định sai Trong phát biểu biến x lượng từ hóa chân trị phát biểu không phụ thuộc theo biến x Ta nói biến x bị buộc lượng từ Ðối với vị từ theo nhiều biến ta lượng từ hóa số biến vị từ để có vị từ theo biến lại Chẳng hạn, p(x, y, …) vị từ theo biến x, y, … ta có biểu thức q(y, …)   x : p(x, y, …) vị từ theo biến y, … Nếu tất biến vị từ lượng từ hóa ta có mệnh đề.Chẳng hạn, p(x, y) làmột vị từ theo biến x, y biểu thức  x,  y : p(x, y) mệnh đề, tức có chân trị xác định không phụ thuộc vào biến x, y Trong nhiều phát biểu người ta cò dùng cụm từ "tồn nhất", ký hiệu  !, lượng từ hóa đặc biệt Ví dụ: Mệnh đề "Với số nguyên n ta có 2n-1 số lẻ" viết dạng ký hiệu sau:  n Z : 2n-1 lẻ Mệnh đề nầy có chân trị (đúng) Mệnh đề "Ta có x2 > 0, với số thực x khác 0" viết  x R -  0 : x2 > Mệnh đề nầy có chân trị (đúng) 3.QUI TẮC PHỦ ĐỊNH MỆNH ĐỀ CÓ LƯỢNG TỪ Dựa vào cách xác định chân trị mệnh đề có lượng từ theo ngữ nghĩa tự nhiên phát biểu, ta có qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ sau đây:  ( x : P(x))   x :  P(x) (1)  ( x : P(x))   x :  P(x) (2) Ví dụ: Tìm phủ định mệnh đề sau a=Tồn số thực x, thỏa x2 < b=Mọi sinh viên chăm học c=Có sinh viên chăm học Giải a=Với số thực x, thỏa x2   b=Có sinh viên không chăm học.  c=Mọi sinh viên không chăm học Ghi chú: Từ qui tắc ta nói chung qui tắc phủ định mệnh đề có lượng từ sau: Nếu mệnh đề có lượng từ ta thay lượng từ  lượng từ  , lượng từ  lượng từ  , biểu thức vị từ thay phủ định ta mệnh đề phủ định mệnh đề có lượng từ ban đầu Qui tắc nầy áp dụng cho mệnh đề với nhiều lượng từ Ví dụ: p=  x,  y: x = y Thì p= x,  y: x # y BÀI TẬP Bài Chứng minh biểu thức logic sau đúng, hai cách: bảng chân trị dùng luật a/ (p  q)  ( p  q)  q b/ (p  q)  (p  q) c/ (p q  r)  ((p q)  (p r)) d/  (p  q)  p   q e/ ((p  q) p)  (p  q) Bài Hãy cho biết chân trị mệnh đề viết mệnh đề phủ định mệnh đề a/  x : x+3 = b/  x : x+3 = c/  x,  y : x+y = d/  x,  y : x+y = e/  x,  y : x+y = f/  x,  y : x+y = Trong mệnh đề biến x y biến số thực Bài Hãy sử dụng ký hiệu toán học logic để viết lại mệnh đề sau đây: Với số thực dương x, có số tự nhiên n cho x n x nằm 2n 2n+1 Viết mệnh đề phủ định Bài Trong tập nầy ký hiệu n biến nguyên Cho vị từ : P(n)  "0 < n2  4" R(n)  "0 < n3  8" S(n)  "0 < n  2" a/ Ứng với vị từ cho biết tập hợp giá trị n làm cho vị từ có chân trị b/ Trong vị từ trên, vị từ tương đương với c/ Mệnh đề " n : R(n)  P(n)" hay sai? Bài Viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a/ Nếu sinh viên lớp chăm học lớp thi đậu b/ Kết tốt đẹp có sư cố gắng c/ Nếu có sinh viên nói chuyện lớp người khó tập trung d/ Nếu tăng lương thí An mua xe máy tính e/ Mọi người mệt mỏi buồn ngủ f/ Có người vui hay có người buồn Bài Cho vị từ P(x,y) = “x yêu y”, với x,y thuộc tập nhân lọai: NHANLOAI Hãy dùng lượng từ diễn đạt câu nói sau: a/ Mọi người yêu An b/ Mọi người yêu c/ Có người mà tất người yêu d/ Có người mà An không yêu e/ Có người mà không yêu f/ Mọi người yêu  ... (1, 1,… ,1) Cách cộng nhị phân: 0+0=0 0 +1= 1 1+ 0 =1 1 +1= 0 (nhớ qua bên trái) Ví dụ: Bảng chân trị biểu thức logic p  ( q r) theo biến mệnh đề p, q, r sau: p q r qr p  ( q r) 0 0 0 0 0 0 1. .. trị p q pq 0 1 1 0 1 Ví dụ: Cho mệnh đề p = Nếu An chăm học An thi đậu Thì p trường hợp  An chăm học, An thi đậu (Cả giả thi t kết luận xẩy ra)  An không chăm học, An thi đậu (Giả thi t không... (chưa biết hay sai) Nó tạo mệnh đề như: p (1) = "1 số nguyên tố" (0) p(2) = "2 số nguyên tố" (1) p (12 ) = "12 số nguyên tố" (0) p (17 ) = "17 số nguyên tố" (1) Ví dụ: Vị từ bậc p(m,n)  "m ước số n",