Toan roi rac va ly thuyet do thi chuong 3

Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)

Chương Hàm Bool mạch tổ hợp I ĐẠI SỐ BOOL CƠ BẢN TẬP HỢP BOOL VÀ CÁC PHÉP TÓAN BOOL Tập hợp Bool tập hợp B = 0,1 Trên tập B định nghĩa phép toán Bool sau: Phép bù Bool: Phép cộng Bool: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 Phép nhân Bool: 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1 Tập hợp Bool B = 0,1với phép tóan gọi đại số Bool Ký hiệu (B, +, , , 0, 1) CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC PHÉP TÓAN BOOL Tính kết hợp (x + y) + z = x + (y + z) (x y) z = x (y z) Tính giao hoán x+y=y+x x.y=y.x Tính lũy đẳng x+x=x x.x=x Tính phân phối x (y + z) = (x y) + (x z) x + (y z) = (x + y) (x + z) Phần tử trung hòa x+0=x x.1=x Tính chất phần tử bù x+ x x x =1 =0 Tính chất hấp thụ x (x + y) = x x + (x y) = x Tính chất De morgan II HÀM BOOL VÀ MẠCH CÁC CỔNG ĐỊNH NGHĨA HÀM BOOL Hàm Bool khái niệm quan trọng công cụ việc khảo sát sơ đồ mạch điện tính toán thiết kế mạch logic Trong phần nầy dùng Đại số Bool bản, xét trên: (B, +, , , 0, 1) với B = 0, 1 Một biến x gọi biến Bool x lấy giá trị thuộc B Định nghĩa: Một hàm Bool bậc n biểu thức Bool có n biến Bool tham gia Ta lập bảng giá trị hàm Bool, giống lập bảng chân trị biểu thức logic Ví dụ: Cho hàm bool bậc 3, f(x,y,z) = xy + x z Ta lập bảng giá trị f sau: x y z x xy x 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 z f 1 0 1 Chú í:  Khi cho hàm Bool dạng biểu thức ta lập bảng giá trị cho nó, giống lập bảng chân trị biểu thức logic  Khi cho hàm Bool dạng bảng giá trị ta chuyển hàm Bool thành biểu thức dạng tắc tuyển, trình bày BIỂU DIỄN HÀM BOOL Ở DẠNG CHÍNH TẮC TUYỂN Định nghĩa: Cho n số nguyên dương f hàm Bool bậc n theo biến x1, x2, …, xn Ta nói (a) biểu thức Bool (hay hàm Bool) có dạng xi i từ đơn (b) biểu thức Bool tích bậc n tích n từ đơn (c) biểu diễn hàm f dước dạng tổng tích bậc n dạng tắc tuyển f, viết tắc d.n.f (disjunctive normal form) f Ví dụ: Hàm Bool sau chưa dạng d.n.f f(x,y,z) = xy + x z Ví dụ: Hàm Bool sau dạng d.n.f f(x,y,z) = x y z+ x yz+xy z +xyz Mệnh đề: Mọi hàm Bool f khác viết cách (không kể sai khác thứ tự trước sau tích bản) dạng d.n.f Phương pháp đưa hàm Bool dạng d.n.f:  Lập bảng giá trị hàm Bool  Mỗi dòng bảng gía trị, mà dòng hàm bool 1, chuyển thành tích bản, cách: biến dòng đưa biến vào tích bản, biến dòng đưa bù biến vào tích bản,  Tổng tích dạng d.n.f hàm Bool cho Ví dụ: Tìm d.n.f hàm Bool f: B3  B với f(x,y,z) = xy + x z Ta lập bảng giá trị f sau: x y z x xy x 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 z f 1 0 1 Trên bảng có dòng giá trị f Chúng chuyển thàn tích bản, từ ta có dạng d.n.f f là: f(x,y,z) = x y z+ x yz+xy z +xyz 3.MẠCH CÁC CỔNG A CÁC CỔNG LOGIC CƠ BẢN Một sơ đồ mạch điện tử với hai đầu vào a b, đầu a.b biểu diễn sơ đồ sau đây, gọi Cổng "VÀ" Tương tự, phép toán Bool khác ta có cổng tương ứng : cổng "HAY", cổng "KHÔNG", cổng "KHÔNG-VÀ", cổng "KHÔNG-HAY" Các cổng nầy có ký hiệu sơ đồ B MẠCH CÁC CỔNG Mỗi biểu thức Boole hay hàm Bool theo n biến tương ứng với sơ đồ mạch Sơ đồ mạch nầy có n đầu vào đầu ra, hệ thống lắp ghép từ cổng logic Ví dụ: Hàm Bool f(x,y) = có sơ đồ mạch tương ứng sau: C CÁC BƯỚC THIẾT KỀ SƠ ĐỒ MẠCH CHO MỘT ỨNG DỤNG     Bước 1: Từ yêu cầu thực tế, lập bảng giá trị cho hàm Bool Bước 2: Từ bảng giá trị, rút hàm Bool dạng chuẩn tắc tuyển Bước 3: Rút gọn hàm Bool (Tìm dạng công thức đa thức tối tiểu hàm Bool) Bước 4: Vẽ sơ đồ mạch ứng với công thức đa thức tối tiểu tìm Ví dụ: Thiết kế mạch đèn công tắc  Bảng giá trị xây dựng từ yêu cầu thực tế CT1 CT2 Đèn 0 Tối(0) Sáng(1) Sáng(1) 1 Tối(0)  Từ bảng ta rút hàm Bool dạng d.n.f là: f(x,y)= x y+x y hàm Bool dạng công thức đa thức tối tiểu Có hàm Bool ta vẽ mạch tương ứng dễ dàng III TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU DÙNG BIỂU ĐỒ KARNAUGH CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU CỦA HÀM BOOL Mỗi mạch tương ứng với hàm Bool Vấn đề đặt tìm công thức đơn giản cho hàm Bool mạch tương ứng đơn giản Một dạng công thức quan tâm hàm Bool dạng tổng tích mà ta gọi công thức đa thức  Công thức đa thức công thức có dạng tổng đơn thức  Một đơn thức tích biến (x) phủ định biến ( x ) Ví dụ:  x y z đơn thức  x y z + xyzt + xy z + x y z t + y z t + x yzt + x y z đa thức Đối với dạng công thức đa thức hàm Bool ta thường quan tâm đến dạng công thức đa thức tối tiểu Một cách trực quan ta gọi công thức đa thức (D) hàm Bool f tối tiểu công thức khác f đơn giản theo nghĩa sau đây: 1) Bất kỳ biến đổi công thức (D) dẫn đến công thức công thức đa thức, 2) Nếu f viết đưới dạng công thức đa thức (D') khác số số hạng (D') lớn số số hạng (D) ta chọn số hạng u' (tức đơn thức) công thức (D') tương ứng với số hạng u công thức (D) cho số "thừa số" u' lớn số thừa số u Để tìm công thức đa thức tối tiểu hàm Bool với số biến nhỏ ta sử dụng biểu đồ Karnaugh (sẽ xét phần sau) BIỂU ĐỒ KARNAUGH CỦA HÀM BOOL Biểu đồ K cua hàm Bool bậc n hình chữ nhật chia làm n ô, ô ứng với tích bậc n, cho ô có chung đường biên (kể biên đối diện) phải ứng với hai tích có (n-1) thừa số giống nhau, thừa số lại bù Chẳng hạn với hàm Bool bậc ta vẽ bảng sau: x x x x y t y t y t y t z z z z Để xác định ô ứng với tích nào, ta việc chiếu ô xuống cạnh để lấy biến tương ứng Tế bào: Để vẽ biểu đồ K đơn thức, ta chiếu biến (hay bù biến) tham gia đơn thức, theo cạnh tương ứng với chúng biểu đồ, tìm ô phần giao, điền vào ô Đây biểu đồ K Mỗi biểu đồ K đơn thức gọi tế bào, chúng hình chữ nhật có dạng n ô, (tức 1ô, 2ô, 4ô, 8ô, 16ô) Chúng tràn qua biên đối diện) Ví dụ: x x y 1 y 1 x x t t y t y t z z z z Đây tế bào: xy Ngược lại, cho tế bào bảng K, để xác định ứng với đơn thức nào, ta chiếu xuống cạnh Nếu chiếu xuống cạnh thuộc biến (hay thuộc bù biến) đưa biến (hay bù biến) vào đơn thức Nếu chiếu xuống cạnh vừa thuộc biến vừa thuộc bù biến bỏ qua Ví dụ: Tế bào chiếu xuống cạnh x thuộc phần x, nên đưa x vào đơn thức Chiếu xuống cạnh y thuộc phần y, nên đưa y vào đơn thức Chiếu xuống cạnh z vừa thuộc z vừa thuộc z , nên bỏ qua Chiếu xuống cạnh t vừa thuộc t vừa thuộc t , nên bỏ qua Cách vẽ biểu đồ K hàm Bool: Viết hàm Bool dạng công thức đa thức, sau vẽ biểu đồ cho số hạng Ví dụ: x x x x y 1 t y 1 t y y z t z z z t Biểu đồ K hàm Bool f(x,y,z,t)=y z+x y Tế bào lớn: Tế bào lớn tế bào không nằm lọt hẳn vào tế bào khác Ví dụ: Cho bảng Karnaugh hàm Bool f(x,y,z,t) sau 1 1 Bảng Karnaugh nầy có tế bào lớn là: xy, yz, 1 1 1 1 1 x z 1 1 1 z TÌM CÔNG THỨC ĐA THỨC TỐI TIỂU BẰNG BIỂU ĐỒ K Bước 1: Vẽ biểu đồ K cho hàm Bool f Bước 2: Tìm liệt kê tế bào lớn biểu đồ K Bước 3: Tìm tập hợp gồm số tối tiểu tế bào lớn f cho tế bào nầy phủ f, tức hợp tế bào nầy biểu đồ f Để tìm phủ tối tiểu gồm tế bào lớn ta tiến hành trình chọn tế bào theo trình tự sau: Bước 3.1: Các tế bào lớn buộc phải chọn tế bào lớn nào, mà có chứa ô 1, không giao với tế bào lớn khác Bước 3.2: Nếu tế bào lớn chọn phủ kín f kết thúc ta có công thức đa thức tối tiểu tổng tế bào lớn Ngược lại tiếp tục bước 3.3 Bước 3.3: Ta chọn thêm tế bào lớn khác cho chúng phủ kín f Việc chọn thêm phải đảm bảo đơn giản nhất, tức số tế bào lớn chọn thêm tế bào chọn thêm lớn Tổng tất tế bào lớn chọn công thức đa thức tối tiểu f (chú í trường hợp có nhiều cách chọn thêm đơn giản nhau, f có nhiều công thức đa thức tối tiểu) Ví dụ: Tìm CTĐTTT hàm Bool sau f(x,y,z,t)=xyzt+xy t +xy z + x Bảng Karnaugh hàm Bool f(x,y,z,t) sau 1 1 Bảng Karnaugh nầy có tế bào lớn là: xy, yz, 1 1 1 x 1 1 z 1 1 1 z Các tế bào lớn phải chọn là: : xy, x z Các tế bào lớn phủ kín biểu đồ K nên có CTĐTTT là: f(x,y,z,t)= xy + x z BÀI TẬP Bài 1:Tìm công thức đa thức tối tiểu hàm Bool f(x,yz,t) có biểu đồ Karnaugh đây: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Bài 2: Tìm công thức đa thức tối tiểu hàm Bool sau, phương pháp biểu đồ Karnaugh F(x,y,z,t) = x y t + x y z t + xyzt + xy z t + xyz t + x z t + x y z G(x,y,z,t) = x y H(x,y,z,t) = x y z + xyzt + xy z + x yz t + xyzt + xy t + xy Bài 3: Thiết kế mạch đèn công tắc t+y z t z t+ z t + + x yzt + x y t x y z ... không giao với tế bào lớn khác Bước 3. 2: Nếu tế bào lớn chọn phủ kín f kết thúc ta có công thức đa thức tối tiểu tổng tế bào lớn Ngược lại tiếp tục bước 3. 3 Bước 3. 3: Ta chọn thêm tế bào lớn khác... Bước 3: Tìm tập hợp gồm số tối tiểu tế bào lớn f cho tế bào nầy phủ f, tức hợp tế bào nầy biểu đồ f Để tìm phủ tối tiểu gồm tế bào lớn ta tiến hành trình chọn tế bào theo trình tự sau: Bước 3. 1:... sau: C CÁC BƯỚC THI T KỀ SƠ ĐỒ MẠCH CHO MỘT ỨNG DỤNG     Bước 1: Từ yêu cầu thực tế, lập bảng giá trị cho hàm Bool Bước 2: Từ bảng giá trị, rút hàm Bool dạng chuẩn tắc tuyển Bước 3: Rút gọn hàm