Bài giảng toán rời rạc phần biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu

Ñoà thò 7.3. Bieåu dieãn ñoà thò vaø söï ñaúng caáu Taøi lieäu naøy ñöôïc soaïn theo saùch Toaùn hoïc rôøi raïc öùng duïng trong tin hoïc , K. H. Rosen, ngöôøi dòch: Phaïm Vaên Thieàu vaø Ñaëng Höõu Thònh, Nhaø xuaát baûn Khoa hoïc vaø kyõ thuaät, 1998. Taøi lieäu löu haønh noäi boä 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 1 Bieåu dieãn ñoà thò – Ví duï 1. Duøng danh saùch lieàn keà ñeå moâ taû ñoà thò ñôn: lieät keâ taát caû caùc ñænh lieàn keà vôùi moãi ñænh cuûa ñoà thò. b a c e 10/01/15 d Ñænh a b c d e 7.3. Bieåu dieãn ñoà Ñænh lieàn keà b, c, e a a, d, e c, e a, c, d 2 Bieåu dieãn ñoà thò – Ví duï 2. Bieåu dieãn ñoà thò coù höôùng: lieät keâ taát caû caùc ñænh cuoái cuûa caùc cung xuaát phaùt töø moãi ñænh cuûa ñoà thò. b c a e 10/01/15 d Ñænh ñaàu a b c d e 7.3. Bieåu dieãn ñoà Ñænh cuoái b, c, d, e b, d a, c, e b, c, d 3 Ma traän lieàn keà • • Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän: Ma traän lieàn keà. Cho G = (V, E) laø ñoà thò ñôn coù n ñænh, caùc ñænh cuûa G laø v1, v2,…, vn . Ma traän lieàn keà A hay AG cuûa G laø ma traän khoâng-moät (0-1) caáp n × n coù phaàn töû haøng i coät j laø aij baèng ° 1 neáu vi vaø vj lieàn keà nhau, 0 neáu chuùng khoâng ñöôïc noái vôùi nhau. Nhaän xeùt: – Ma traän lieàn keà cuûa moät ñoà thò tuyø thuoäc vaøo thöù töï lieät keâ caùc ñænh. – Ma traän lieàn keà cuûa moät ñoà thò ñôn laø ñoái xöùng. Ñoà thò ñôn khoâng coù khuyeân neân aii = 0 vôùi i = 1, 2,…, n. ° • 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 4 Ma traän lieàn keà • Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän: Ma traän lieàn keà. – Ví duï 3. Caùc ñænh ñöôïc saép xeáp theo thöù töï: a, b, c, d. a 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 c 10/01/15 b 7.3. Bieåu dieãn ñoà d 5 Ma traän lieàn keà – Ví duï 4. Cho ma traän lieàn keà vôùi thöù töï caùc ñænh laø a, b, c, d. Veõ ñoà thò töông öùng. a 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 d 10/01/15 b 7.3. Bieåu dieãn ñoà c 6 Ma traän lieàn keà • • Ma traän lieàn keà coù theå duøng ñeå bieåu dieãn ñoà thò voâ höôùng coù khuyeân vaø (hay) coù caïnh boäi. – Khuyeân taïi ñænh ai ñöôïc bieåu dieãn baèng 1 taïi vò trí (i, i) cuûa ma traän lieàn keà. – Khi coù caïnh boäi, phaàn töû ôû vò trí (i, j) cuûa ma traän baèng soá caùc caïnh noái caùc ñænh ai vaø aj . Nhaän xeùt: Taát caû caùc ñoà thò voâ höôùng (ñôn ñoà thò, ña ñoà thò, giaû ñoà thò) ñeàu coù ma traän lieàn keà ñoái xöùng. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 7 Ma traän lieàn keà – Ví duï 5. Duøng ma traän lieàn keà ñeå bieåu dieãn giaû ñoà thò . ° Thöù töï caùc ñænh laø a, b, c, d. a 0 3 0 2 3 0 1 1 0 2 1 1 1 2 2 0 d 10/01/15 b 7.3. Bieåu dieãn ñoà c 8 Ma traän lieàn keà • • Cho G = (V, E) laø ñoà thò coù höôùng coù n ñænh, caùc ñænh cuûa G laø v1, v2, …, vn . Ma traän lieàn keà A hay AG cuûa G laø ma traän khoâng-moät (0-1) caáp n × n coù phaàn töû haøng i coät j laø aij baèng ° 1 neáu coù caïnh ñi töø vi tôùi vj , 0 trong caùc tröôøng hôïp khaùc. Nhaän xeùt: – Ma traän lieàn keà cuûa moät ñoà thò tuyø thuoäc vaøo thöù töï lieät keâ caùc ñænh. – Ma traän lieàn keà cuûa ñoà thò coù höôùng khoâng coù tính ñoái xöùng. – Cuõng coù theå duøng ma traän lieàn keà ñeå bieåu dieãn ña ñoà thò coù höôùng. Khi ñoù aij baèng soá caùc cung ñi töø ñænh vi tôùi ñænh vj . ° • 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 9 Ma traän lieân thuoäc • Bieåu dieãn ñoà thò baèng ma traän lieân thuoäc. Cho G = (V, E) laø ñoà thò voâ höôùng coù n ñænh vaø m caïnh: ° caùc ñænh cuûa G laø v , v ,…, v , 1 2 n ° • Ma traän lieân thuoäc M hay MG cuûa G laø ma traän M = [mij ] trong ñoù mij baèng ° 1 neáu caïnh e noái vôùi ñænh v , j i ° • caùc caïnh cuûa G laø e1, e2,…, em . 0 neáu caïnh ej khoâng noái vôùi ñænh vi . Nhaän xeùt: – Ma traän lieàn thuoäc cuûa moät ñoà thò tuyø thuoäc vaøo thöù töï lieät keâ caùc ñænh vaø caùc caïnh. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 10 Ma traän lieân thuoäc • Ma traän lieân thuoäc – Ví duï 6. Xaùc ñònh ma traän lieân thuoäc. v1 v2 v3 v4 v5 e1 1 0 0 1 0 e2 1 0 0 0 1 10/01/15 e3 0 1 0 1 0 e4 0 1 0 0 1 e5 0 0 1 0 1 e6 0 1 1 0 0 v2 v1 e6 v3 e3 e4 e1 e5 e2 v4 7.3. Bieåu dieãn ñoà v5 11 Ma traän lieân thuoäc – Ví duï 7. Bieåu dieãn caïnh boäi vaø khuyeân baèng ma traän lieân thuoäc. e2 v1 e1 v2 e4 v3 e3 e7 v4 v1 v2 v3 v4 v5 e1 1 0 0 0 0 e2 1 1 0 0 0 e3 1 1 0 0 0 10/01/15 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 1 0 1 e6 0 1 0 0 1 e7 0 1 0 1 0 e8 0 0 0 1 0 e8 7.3. Bieåu dieãn ñoà e6 e5 v5 12 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ñònh nghóa 1. Caùc ñoà thò ñôn G1 = (V1, E1) vaø G2 = (V2, E2) laø ñaúng caáu neáu coù haøm song aùnh f töø V1 leân V2 sao cho caùc ñænh a vaø b laø lieàn keà trong G1 neáu vaø chæ neáu f(a) vaø f(b) laø lieàn keà trong G2 vôùi moïi a vaø b trong V1. Haøm f nhö theá ñöôïc goïi laø moät ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 13 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 8. Caùc ñoà thò G = (V, E) vaø H = (W, F) laø ñaúng caáu u1 u3 u2 G u4 v1 v2 v3 v4 H Ñinh nghóa haøm f nhö sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2 . Haøm f laø 1-1 giöõa V vaø W. Haøm f baûo toaøn quan heä lieàn keà vì: ° trong G caùc ñænh lieàn keà laø u vaø u , u vaø u , u vaø u , u vaø u 1 2 1 3 2 4 3 4 ° moãi caëp f(u ) = v vaø f(u ) = v , f(u ) = v vaø f(u ) = v , f(u ) = v vaø 1 1 2 4 1 1 3 3 2 4 f(u4) = v2 , f(u3) = v3 vaø f(u4) = v2 laø lieàn keà trong H. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 14 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 9. Caùc ñoà thò G vaø H laø khoâng ñaúng caáu. b b c a e G d c a e H d Caû G vaø H ñeàu coù 5 ñænh vaø 6 caïnh. Tuy nhieân H coù ñænh e baäc 1 coøn G thì khoâng coù ñænh naøo baäc 1 caû. Vaäy G vaø H laø khoâng ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 15 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò • Nhaän xeùt: – Soá ñænh, soá caïnh, baäc cuûa ñænh laø caùc baát bieán ñoái vôùi pheùp ñaúng caáu: neáu hai ñoà thò laø ñaúng caáu thì ° chuùng coù cuøng soá ñænh, soá caïnh ° hai ñænh töông öùng nhau trong pheùp ñaúng caáu coù cuøng baäc. – Neáu caùc baát bieán cuûa hai ñoà thò laø khaùc nhau thì chuùng laø khoâng ñaúng caáu. – Tuy nhieân, neáu caùc baát bieán cuûa hai ñoà thò laø nhö nhau thì chöa chaéc raèng chuùng laø ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 16 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 10. Caùc ñoà thò G vaø H coù ñaúng caáu hay khoâng? a b e f g h d s G c t w x z y v H u Xeùt caùc baát bieán: Caû hai ñoà thò ñeàu coù 8 ñænh, 10 caïnh, 4 ñænh baäc 2, vaø 4 ñænh baäc 3. Tuy nhieân G vaø H laø khoâng ñaúng caáu: vì deg(a) = 2 neân a phaûi öùng vôùi moät trong caùc ñænh baäc 2 cuûa H laø t, u, x, y; nhöng caû 4 ñænh naøy ñeàu coù noái vôùi moät ñænh baäc 2 khaùc cuûa H, trong khi a chæ noái vôùi ñænh baäc 3 cuûa G maø thoâi. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 17 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 10. (tieáp theo) Caùch khaùc: G vaø H laø khoâng ñaúng caáu vì caùc ñoà thò con cuûa G vaø H taïo neân töø caùc ñænh baäc 3 vaø caùc caïnh noái chuùng laø khoâng ñaúng caáu. b s f w z h d 10/01/15 v 7.3. Bieåu dieãn ñoà 18 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Duøng ma traän lieàn keà ñeå chöùng toû haøm f laø baûo toàn caùc caïnh: ° Ma traän lieàn keà cuûa G, (vôùi moät thöù töï caùc ñænh) ° Ma traän lieàn keà cuûa H, vôùi haøng vaø coät ñöôïc gaùn nhaõn töông öùng vôùi aûnh qua f cuûa caùc ñænh trong G. ° Neáu caùc ma traän lieàn keà treân gioáng nhau thì G vaø H laø ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 19 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 11. Ñoà thò G vaø H coù ñaúng caáu khoâng? u1 u2 v1 u5 v2 u6 u4 G v3 u3 v5 v6 H v4 Caû hai ñoà thò ñeàu coù 6 ñænh, 7 caïnh, 4 ñænh baäc 2, 2 ñænh baäc 3. ° Ñònh nghóa f nhö sau: f(u1) = v6 , f(u2) = v3 , f(u3) = v4 , f(u4) = v5 , f(u5) = v1 , f(u6) = v2 ° 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 20 Söï ñaúng caáu cuûa caùc ñoà thò – Ví duï 11. (tieáp theo) ° Caùc ma traän lieàn keà cuûa G vaø H laø u1 u2 AG = u3 u4 u5 u6 ° u1 0 1 0 1 0 0 u2 1 0 1 0 0 1 u3 0 1 0 1 0 0 u4 1 0 1 0 1 0 u5 0 0 0 1 0 1 u6 0 1 0 0 1 0 v6 v3 AH = v4 v5 v1 v2 v6 0 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 0 0 1 v4 0 1 0 1 0 0 v5 v1 v2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Vì AG = AH neân f baûo toàn caùc caïnh. Vaäy f laø moät pheùp ñaúng caáu. 10/01/15 7.3. Bieåu dieãn ñoà 21 [...]... của H, trong khi a chỉ nối với đỉnh bậc 3 của G mà thôi 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 17 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 10 (tiếp theo) Cách khác: G và H là không đẳng cấu vì các đồ thò con của G và H tạo nên từ các đỉnh bậc 3 và các cạnh nối chúng là không đẳng cấu b s f w z h d 10/01/15 v 7.3 Biểu diễn đồ 18 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Dùng ma trận liền kề để chứng tỏ hàm f là bảo tồn các cạnh: °... G và H là không đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 15 Sự đẳng cấu của các đồ thò • Nhận xét: – Số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh là các bất biến đối với phép đẳng cấu: nếu hai đồ thò là đẳng cấu thì ° chúng có cùng số đỉnh, số cạnh ° hai đỉnh tương ứng nhau trong phép đẳng cấu có cùng bậc – Nếu các bất biến của hai đồ thò là khác nhau thì chúng là không đẳng cấu – Tuy nhiên, nếu các bất biến của hai đồ. .. trong G các đỉnh liền kề là u và u , u và u , u và u , u và u 1 2 1 3 2 4 3 4 ° mỗi cặp f(u ) = v và f(u ) = v , f(u ) = v và f(u ) = v , f(u ) = v và 1 1 2 4 1 1 3 3 2 4 f(u4) = v2 , f(u3) = v3 và f(u4) = v2 là liền kề trong H 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 14 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 9 Các đồ thò G và H là không đẳng cấu b b c a e G d c a e H d Cả G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh Tuy nhiên H có đỉnh... các bất biến của hai đồ thò là như nhau thì chưa chắc rằng chúng là đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 16 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 10 Các đồ thò G và H có đẳng cấu hay không? a b e f g h d s G c t w x z y v H u Xét các bất biến: Cả hai đồ thò đều có 8 đỉnh, 10 cạnh, 4 đỉnh bậc 2, và 4 đỉnh bậc 3 Tuy nhiên G và H là không đẳng cấu: vì deg(a) = 2 nên a phải ứng với một trong các đỉnh bậc 2 của... cho các đỉnh a và b là liền kề trong G1 nếu và chỉ nếu f(a) và f(b) là liền kề trong G2 với mọi a và b trong V1 Hàm f như thế được gọi là một đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 13 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 8 Các đồ thò G = (V, E) và H = (W, F) là đẳng cấu u1 u3 u2 G u4 v1 v2 v3 v4 H Đinh nghóa hàm f như sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2 Hàm f là 1-1 giữa V và W Hàm f bảo... e2 v4 7.3 Biểu diễn đồ v5 11 Ma trận liên thuộc – Ví dụ 7 Biểu diễn cạnh bội và khuyên bằng ma trận liên thuộc e2 v1 e1 v2 e4 v3 e3 e7 v4 v1 v2 v3 v4 v5 e1 1 0 0 0 0 e2 1 1 0 0 0 e3 1 1 0 0 0 10/01/15 e4 0 1 1 0 0 e5 0 0 1 0 1 e6 0 1 0 0 1 e7 0 1 0 1 0 e8 0 0 0 1 0 e8 7.3 Biểu diễn đồ e6 e5 v5 12 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Đònh nghóa 1 Các đồ thò đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là đẳng cấu nếu có... G, (với một thứ tự các đỉnh) ° Ma trận liền kề của H, với hàng và cột được gán nhãn tương ứng với ảnh qua f của các đỉnh trong G ° Nếu các ma trận liền kề trên giống nhau thì G và H là đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 19 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 11 Đồ thò G và H có đẳng cấu không? u1 u2 v1 u5 v2 u6 u4 G v3 u3 v5 v6 H v4 Cả hai đồ thò đều có 6 đỉnh, 7 cạnh, 4 đỉnh bậc 2, 2 đỉnh bậc 3 ° Đònh... 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 20 Sự đẳng cấu của các đồ thò – Ví dụ 11 (tiếp theo) ° Các ma trận liền kề của G và H là u1 u2 AG = u3 u4 u5 u6 ° u1 0 1 0 1 0 0 u2 1 0 1 0 0 1 u3 0 1 0 1 0 0 u4 1 0 1 0 1 0 u5 0 0 0 1 0 1 u6 0 1 0 0 1 0 v6 v3 AH = v4 v5 v1 v2 v6 0 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 0 0 1 v4 0 1 0 1 0 0 v5 v1 v2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Vì AG = AH nên f bảo tồn các cạnh Vậy f là một phép đẳng cấu 10/01/15... 0 0 1 0 v6 v3 AH = v4 v5 v1 v2 v6 0 1 0 1 0 0 v3 1 0 1 0 0 1 v4 0 1 0 1 0 0 v5 v1 v2 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Vì AG = AH nên f bảo tồn các cạnh Vậy f là một phép đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 21 ... bất biến hai đồ thò khác chúng không đẳng cấu – Tuy nhiên, bất biến hai đồ thò chưa chúng đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu diễn đồ 16 Sự đẳng cấu đồ thò – Ví dụ 10 Các đồ thò G H có đẳng cấu hay không?... 7.3 Biểu diễn đồ 17 Sự đẳng cấu đồ thò – Ví dụ 10 (tiếp theo) Cách khác: G H không đẳng cấu đồ thò G H tạo nên từ đỉnh bậc cạnh nối chúng không đẳng cấu b s f w z h d 10/01/15 v 7.3 Biểu diễn đồ. .. Biểu diễn đồ 14 Sự đẳng cấu đồ thò – Ví dụ Các đồ thò G H không đẳng cấu b b c a e G d c a e H d Cả G H có đỉnh cạnh Tuy nhiên H có đỉnh e bậc G đỉnh bậc Vậy G H không đẳng cấu 10/01/15 7.3 Biểu