Toan roi rac va ly thuyet do thi chuong 5

Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)

Chương 5 Đường đi trên đồ thị

I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER

Định nghĩa 1 Chu trình đơn trong đồ thị G đi qua mọi cạnh của nó, mỗi cạnh chỉ đi qua một lần

được gọi là chu trình Euler Đường đi đơn trong G đi qua mọi cạnh của nó, mỗi cạnh chỉ đi qua một

lần được gọi là đường đi Euler Đồ thị được gọi là đồ thị Euler nếu nó có chu trình Euler, và gọi là đồ

thị nửa Euler nếu nó có đường đi Euler

Rõ ràng mọi đồ thị Euler luôn là nửa Euler, nhưng điều ngược lại không luôn đúng

Thí dụ 1 Đồ thị G1 trong hình 1 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, e, c, d, e, b, a Đồ thị G3

không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler a, c, d, e, b, d, a, b, vì thế G3 là đồ thị cửa

Euler Đồ thị G2 không có chu trình cũng như đường đi Euler

Hình 1 Đồ thị G 1 , G 2 , G 3

Thí dụ 2 Đồ thị H2 trong hình 2 là đồ thị Euler vì nó có chu trình Euler a, b, c, d, e, a Đồ thị H3

không có chu trình Euler nhưng nó có đường đi Euler c, a, b, c, d, b vì thế H3 là đồ thị nửa Euler Đồ

thị H1 không có chu trình cũng như đường đi Euler

Hình 2 Đồ thị H 1 , H 2 , H 3

Điều kiện cần và đủ để một đồ thị là một đồ thị Euler được Euler tìm ra vào năm 1736 khi ông giải quyết bài toán hóc búa nổi tiếng thế giới thời đó về bảy cái cầu ở thành phố Konigsberg và đây là định lý đầu tiên của lý thuyết đồ thị

Định lý 1 (Euler) Đồ thị vô hướng liên thông G là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của G đều

có bậc chẵn

Hệ quả Đồ thị vô hướng liên thông G là nửa Euler khi và chỉ khi nó có không quá 2 đỉnh bậc lẻ Định lý 2 (Euler tổng quát) Đồ thị vô hướng liên thông G có k đỉnh bậc lẻ (k luôn là số chẵn) thì

cần ít nhất k/2 con đường để đi qua tất cả các cạnh của đồ thị, mỗi cạnh chỉ đi qua đúng 1 lần Hơn nữa để đi được như vậy mỗi con đường cần xuất phát từ một đỉnh bậc lẻ và kết thúc ở một đỉnh bậc

lẻ khác

Giả sử G là đồ thị Euler, thuật toán đơn giản sau đây cho phép xác định chu trình Euler khi làm bằng tay

Thuật toán Flor

Xuất phát từ một đỉnh u nào đó của G ta đi theo các cạnh của nó một cách tuỳ ý chỉ cần tuân thủ 2 qui tắc sau:

(1) Xoá bỏ cạnh đã đi qua đồng thời xoá bỏ cả những đỉnh cô lập tạo thành

(2) Ở mỗi bước ta chỉ đi qua cầu khi không còn cách lựa chon nào khác

Định lý 2 Đồ thị có hướng liên thông mạnh là đồ thị Euler khi và chỉ khi

Deg+(v)=deg- (v),  v  V

II ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HAMILTON

Trong mục này chúng ta xét bài toán tương tự như trong mục trước chỉ khác là ta quan tâm đến đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, mỗi đỉnh đúng một lần Sự thay đổi tưởng chừng như là không đáng kể này trên thực tế đã dẫn đến sự phức tạp hoá vấn đề cần giải quyết

Định nghĩa 2 Đường đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mỗi đỉnh đúng một lần được gọi là đường đi

Hamilton Chu trình bắt đầu từ một đỉnh v nào đó qua tất cả các đỉnh còn lại mỗi đỉnh đúng một lần rồi quay trở về v được gọi là chu trình Hamilton Đồ thị G được gọi là đồ thị Hamilton nếu nó chứa chu trình Hamilton và gọi là đồ thị nữa Hamilton nếu nó có đường đi Hamilton

Rõ ràng đồ thị Hamilton là nửa Hamilton, nhưng điều ngược lại không còn đúng

Thí dụ 3 Trong hình 4: G3 là Hamilton, G2 là nửa Hamilton còn G1 không là nửa Hamilton

Hình 4 Đồ thị Hamilton G 3 , nửa Hamilton G 2 , và G 1

Cho đến nay việc tìm một tiêu chuẩn nhận biết đồ thị Hamilton vẫn còn là mở, mặc dù đây là một vấn đề trung tâm của lý thuyết đồ thị Hơn thế nứa, cho đến nay cũng chưa có thuật toán hiệu quả để kiểm tra một đồ thị có là Hamilton hay không Các kết quả thu được phần lớn là điều kiện đủ để một

đồ thị là đồ thị Hamilton Phần lớn chúng điều có dạng "nếu G có số cạnh đủ lớn thì G là Hamilton" Một kết quả như vậy được phát biểu trong định lý sau đây

Định lý 3 (Dirak) Đơn đồ thị vô hướng G với n>2 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn n/2 là đồ

thị Hamilton

Định lý sau là tổng quát hoá của định lý Dirak cho đồ thị có hướng:

Định lý 4 Giả sử G là đồ có hướng liên thông với n đỉnh Nếu deg+

(v)≥n/2, deg – (v) ≥ n/2,  v thì G là Hamilton

III.BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI TỐT NHẤT

Trong các ứng dụng thực tế, bài toán tìm đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh của một đồ thị liên thông

có một ý nghĩa to lớn Có thể dẫn về bài toán như vậy nhiều bài toán thực tế quan trọng Ví dụ, bài toán chọn một hành trình tiết kiệm nhất (theo tiêu chuẩn hoặc khoảng cách hoặc thời gian hoặc chi phí) trên một mạng giao thông đường bộ, đường thủy hoặc đường không; bài toán chọn một phương pháp tiết kiệm nhất để đưa ra một hệ thống động lực từ trạng thái xuất phát đến trạng một trạng thái đích, bài toán lập lịch thi công các công các công đoạn trong một công trình thi công lớn, bài toán lựa chọn đường truyền tin với chi phí nhỏ nhất trong mạng thông tin, v.v… Hiện nay có rất nhiều phương pháp để giải các bài toán như vậy Thế nhưng, thông thường, các thuật toán được xây dựng dựa trên cơ sở lý thuyết đồ thị tỏ ra là các thuật toán có hiệu quả cao nhất Trong phần này chúng ta

sẽ xét một số thuật toán như vậy

1 KHÁI NIỆM

Trong phần này chúng ta xét đồ thị G =(V,E) có trọng số dương, nghĩa là, mỗi cạnh (u,v)  E của nó được đặt tương ứng với một số thực dương a[u,v] gọi là trọng số của nó Chúng ta sẽ đặt a[u,v] =  , nếu không có cạnh (u,v)

Nếu dãy v0, v1, , vp là một đường đi trên G, thì độ dài của nó được định nghĩa là tổng sau

p 

a[vi-1, vi]

i=1

tức là, độ dài của đường đi chính là tổng của các trọng số trên các cung của nó (Chú ý rằng nếu chúng ta gán trọng số cho tất cả cung đều bằng 1, thì ta thu được định nghĩa độ dài của đường đi như

là số cung của đường đi phải đi qua)

2 ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT XUẤT PHÁT TỪ MỘT ĐỈNH - THUẬT TOÁN DIJKSTRA

Thuật toán Dijkstra tìm ra các đường đi tốt nhất xuất phát từ đỉnh s đến mỗi đỉnh v còn lại trên đồ thị G=(V,E), có ma trận trọng số với a[u,v] là trọng số cạnh (u,v) Việc tìm mỗi đường đi tốt nhất có hai vấn đề:

 Tìm ra độ dài tốt nhất của đường đi

 Tìm ra lộ trình của đường đi

Ta sẽ dùng hai mảng để giải quyết hai vấn đề này

 Mảng d[v] để lưu trữ độ dài đường đi từ s đến v

 Mảng p[v] để lưu trữ đỉnh kế ngay trước đỉnh v trên con đường tốt nhất đi từ s đến v (mảng này

là cơ sở để xác định lộ trình tốt nhất đi từ s đến v)

Bước khởi đầu: Với mỗi đỉnh v  V, ta tạm xem đường đi từ s đến v là đi trực tiếp (tức không qua đỉnh trung gian nào) Các việc của bước khởi đầu gồm:

 Đặt d[v] = a[s,v]

 Đặt p[v] = s

 Đánh dấu đã tìm ra đường đi tốt nhất cho đỉnh xuất phát s

Bước lặp: Mỗi bước lặp tìm ra một đường đi tốt nhất từ đỉnh s đến đỉnh vmin (bước lặp kết thúc khi

đã tìm ra đường đi tốt nhất tới mọi đỉnh) Các công việc của bước lặp gồm:

 Tìm ra đỉnh vmin là đỉnh có d[vmin] nhỏ nhất trong các đỉnh chưa được đánh dấu đã tìm ra đường đi tốt nhất

 Đánh dấu đã tìm ra đường đi tốt nhất cho đỉnh vmin

 Với mỗi đỉnh v chưa được đánh dấu đã tìm ra đường đi tốt nhất, và kề với vmin , thực hiện: Nếu d[v] > d[vmin] + a[vmin,v] thì

o d[v]= d[vmin] + a[vmin,v]

o p[v] = vmin

Chú í: khi kết thúc thuật tóan thì với mỗi đỉnh v  V

1 Độ dài con đường tốt nhất từ s đến v là: d[v]

2 Lộ trình từ s đế v được xác định như sau: v <- p[v] <- p[p[v]] <- … <- s

Ví dụ: Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến các đỉnh còn lại của đồ thị sau

5 6

Hình : Đồ thị và ma trận trọng số tương ứng của nó

Kết quả tính toán theo thuật toán được trình bày theo bảng dưới đây Qui ước viết hai thành phần trong cột theo thứ tự là: d[v],p[v] của đỉnh ứng với cột đó Ở mỗi bước đỉnh được đánh dấu * là đỉnh vmin ở bước lặp đang xét Ta đánh dấu - ở cột ứng với đỉnh đã tìm ra đường đi tốt nhất

Bước lặp

Đỉnh

1

Đỉnh

2

Đỉnh

3

Đỉnh

4

Đỉnh

5

Đỉnh

6 Khởi

tạo

0,1 1,1*  ,1  ,1  ,1  ,1

Từ bảng trên rút ra kết quả như sau:

o Đường đi tốt nhất từ 1 đến 2 dài: 1 Lộ trình: 2 <- 1

1 0

o Đường đi tốt nhất từ 1 đến 3 dài: 4 Lộ trình: 3 <- 4 <- 2 <- 1

o Đường đi tốt nhất từ 1 đến 4 dài: 3 Lộ trình: 4 <- 2 <- 1

o Đường đi tốt nhất từ 1 đến 5 dài: 6 Lộ trình: 5 <- 6 <- 3 <- 4 <- 2 <- 1

o Đường đi tốt nhất từ 1 đến 6 dài: 5 Lộ trình: 6 <- 3 <- 4 <- 2 <- 1

Chú ý: Nếu chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất từ s đến một đỉnh t nào đó thì có thể kết thúc thuật toán

khi đỉnh t đã đuợc đánh dấu tìm ra đường đi ngắn nhất

BÀI TẬP

Bài 1: Một nét vẽ là một lần đặt bút xuống vẽ cho đến khi nhấc bút lên Để vẽ hình sau phải cần ít

nhất bao nhiêu nét vẽ, giải thích, chỉ ra cách vẽ

7

4

5

8

6

10

9

13

17

16

14

15

Bài 2:

Cho đơn đồ thị có trọng số G=(V,E) có ma trận trọng số như sau (dấu - là giữa 2 đỉnh không có cạnh):

1 2 3 4 5 6

1 0 - 2 7 1 -

2 - 0 1 4 - 2

3 2 1 0 - 6 5

4 7 4 - 0 3 5

5 1 - 6 3 0 -

6 - 2 5 5 - 0

Vẽ đồ thi Thể hiện sự hoạt động của thuật toán Dijkstra với đồ thị trên, để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 5 đến các đỉnh còn lại Liệt kê các lộ trình này

Bài 3:

Cho đơn đồ thị có hướng G=(V,E) có ma trận trọng số như sau (dấu - là giữa 2 đỉnh không có cung):

1 0 - 4 - - - 3 0

2 5 0 1 0 - 1 6 - -

3 - - 0 6 - - 2 7

4 - - - 0 7 - 2 0

5 - - - - 0 3 1 1

Vẽ đồ thị Thể hiện sự hoạt động của thuật toán Dijkstra với đồ thị trên, để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 2 đến các đỉnh còn lại Liệt kê các lộ trình này

Bài 4:

Cho đơn đồ thị có hướng G=(V,E) có ma trận trọng số như sau (dấu - là giữa 2 đỉnh không có cung):

1 2 3 4 5 6

1 0 8 5 6 - -

2 - 0 - - - 9

3 - - 0 1 5 3 -

4 - 1 - 0 - -

5 4 - - - 0 4

6 - 7 - 2 - 0

Vẽ đồ thị Thể hiện sự hoạt động của thuật toán Dijkstra với đồ thị trên, để tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến các đỉnh còn lại Liệt kê các lộ trình này

Bài 5:

Cho đơn đồ thị có trọng số G=(V,E) như sau:

Viết ma trận trọng số của nó Thể hiện sự hoạt động của thuật toán Dijkstra với đồ thị trên, để tìm đường đi ngắn nhất từ E đến các đỉnh còn lại Liệt kê các lộ trình này

4

5

2

3

2

6

1

1

B

D

E

A

C

F