Đang tải... (xem toàn văn)
Toán học rời rạc (tiếng Anh: discrete mathematics) là tên chung của nhiều ngành toán học có đối tượng nghiên cứu là các tập hợp cấu trúc, đối tượng rời rạc, các ngành này được tập hợp lại từ khi xuất hiện khoa học máy tính làm thành cơ sở toán học của khoa học máy tính. Nó còn được gọi là toán học dành cho máy tính. Người ta thường kể đến trong toán học rời rạc lý thuyết tổ hợp, lý thuyết đồ thị, lý thuyết độ phức tạp, đại số Boole. Một quan điểm rộng rãi hơn, gộp tất cả các ngành toán học làm việc với các tập hữu hạn hoặc đếm được vào toán học rời rạc như số học modulo m, lý thuyết nhóm hữu hạn, lý thuyết mật mã, ... Trong các cấu trúc, đối tường rời rạc không có một cấu trúc nào là cơ bản thực sự, bởi vì hầu hết cấu trúc có thể được định nghĩa thông qua hầu như bất kỳ các kiểu khác. Do vậy, trong modul này, nội dung sẽ trình bày những cấu trúc cơ bản và quan trọng nhất. Điều này cũng đúng với vị trí của modul (vì người học sẽ tiếp cận modul Toán rời rạc 2 nói về lý thuyết đồ thị cũng như về ngôn ngữ hình thức)
Chương Các khái niệm đồ thị 1.ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hình Sơ đồ mạng máy tính Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e e2 gọi cạnh lặp chúng tương ứng với cặp đỉnh Hình Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hình Mạng máy tính với kênh thoại chiều CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN Định nghĩa Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G Nếu e = (u, v) cạnh đồ thị ta nói cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, nói nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u, v) Định nghĩa Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với ký hiệu deg(v) deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ví dụ đỉnh g đỉnh cô lập, a d đỉnh treo Bậc đỉnh có tính chất sau: Định lý Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng với |E| cạnh Khi tổng bậc tất đỉnh hai lần số cạnh 2| E | deg( v) v Hệ Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa có bậc số lẻ) số chẵn Định nghĩa Nếu e = (u, v) cung đồ thị có hướng G ta nói hai đỉnh u v kề nhau, nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v Đỉnh u(v) gọi đỉnh đầu (cuối) cung (u,v) Định nghĩa Ta gọi bán bậc (bán bậc vào) đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) ký hiệu deg+(v) (deg-(v)) deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e) = deg+(a)=3, deg+(b)=1, deg+(c)=1, deg+(d)=2, deg+(e)=2 Định lý Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Khi 2|E| = deg+(v) + deg-(v) ĐƯỜNG ĐI CHU TRÌNH ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G = (V, E) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0 , v = xn , (xi , xi+1) E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cạnh: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cạnh bị lặp lại Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, đó, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, A) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0, v = xn, (xi, xi+1) E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cung: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cung bị lặp lại Định nghĩa Đồ thị G = (V, E) gọi liên thông tìm đường hai đỉnh Ví dụ Đồ thị gồm đỉnh a,b,c,d,e,f,g liên thông Còn đồ thị H tạo từ H1,H2,H3 không liên thông Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G = (V, E) đồ thị H = (W, F), W V F E Trong trường hợp đồ thị không liên thông, rã thành số đồ thị liên thông đôi đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị Ví dụ Đồ thị H hình gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị vô hướng mà hai đỉnh có cạnh nối Các đồ thị K3, K4, K5 cho hình Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n-1)/2 cạnh, đơn đồ thị có nhiều cạnh Đồ thị hai phía Đơn đồ thị G=(V,E) gọi hai phía tập đỉnh V phân hoạch thành hai tập X Y cho cạnh đồ thị nối đỉnh X với đỉnh Y Khi ta sử dụng ký hiệu G=(X Y, E) để đồ thị hai phía với tập đỉnh X Y Đồ thị hai phía đầy đủ Đồ thị hai phía G=(X Y, E) với X= m,Y = n gọi đồ thị hai phía đầy đủ ký hiệu K2,3, K3,3, K3,4 cho hình Đồ thị phẳng Đồ thị gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh không cắt ngọai trừ đỉnh Cách vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Thí dụ đồ thị K4 phẳng, vẽ mặt phẳng cho cạnh không cắt Đồ thị phẳng tìm ứng dụng quan trọng công nghệ chế tạo mạch in Biểu diễn phẳng đồ thị chia mặt phẳng thành miền, có miền không bị chặn (miền vô hạn) Thí dụ, biểu diễn phẳng đồ thị cho hình chia mặt phẳng thành miền R1, R2, .R6 (miền R6 miền vô hạn) Euler chứng minh cách biểu diễn phẳng khác đồ thị chia mặt phẳng thành số miền Để chứng minh điều đó, Euler tìm mối liên hệ số miền, số đỉnh số cạnh đồ thị phẳng sau Định lý (Công thức Euler) Giả sử G=(V,E) đồ thị phẳng liên thông với |V| đỉnh, |E| cạnh Gọi |R| số miền mặt phẳng bị chia biểu diễn phẳng G Khi |R| = |E|-|V| + Có thể chứng minh định lý qui nạp Xét thí dụ minh hoạ cho áp dụng công thức Euler Thí dụ Cho G đồ thị phẳng liên thông với 20 đỉnh, đỉnh có bậc Hỏi mặt phẳng bị chia làm phần biểu diễn phẳng đồ thị G? Giải Do đỉnh đồ thị có bậc 3, nên tổng bậc đỉnh 3x20=60 Từ suy số cạnh đồ thị |E|=60/2=30 Vì vậy, theo công thức Euler, số miền cần tìm |R|=30-20+2=12 Định lý (Công thức Euler tổng quát) Giả sử G=(V,E) đồ thị phẳng với |V| đỉnh, |E| cạnh Gọi |R| số miền mặt phẳng bị chia biểu diễn phẳng G Khi |R| = |E|-|V| + Số thành phần liên thông + MA TRẬN KỀ MA TRẬN TRỌNG SỐ CỦA ĐỒ THỊ Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E), với tập đỉnh V= 1, 2, ,n , tập cạnh E= e1, e2, .,em Ta gọi ma trận kề đồ thị G ma trận vuông A= ai,j : i,j=1, 2, ,n Với phần tử xác định theo qui tắc sau đây: ai, j = 0, (i,j) E ai,j = , (i,j) E, i, j=1, 2, .,n Ví dụ Ma trận trận kề đồ thị vô hướng cho hình là: 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 Hình Đồ thị vô hướng G Đồ thị có hướng G1 Các tính chất ma trận kề: 1) Rõ ràng ma trận kề đồ thị vô hướng ma trận đối xứng, tức a[i,j]=a[j,i], i,j=1,2, .,n ngược lại, (0,1)-ma trận đối xứng cấp n tương ứng, xác đến cách đánh số đỉnh (còn nói là: xác đến đẳng cấu), với đơn đồ thị vô hướng n đỉnh 2) Tổng phần từ dòng i (cột j) ma trận kề bậc đỉnh i (đỉnh j) Ma trận kề đồ thị có hướng định nghĩa cách hoàn toàn tương tự Thí dụ Đồ thị có hướng G1 cho hình có ma trận kề ma trận sau: 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 Lưu ý ma trận kề đồ thị có hướng ma trận đối xứng Chú ý: Trên xét đơn đồ thị Ma trận kề đa đồ thị xây dựng hoàn toàn tương tự, khác thay ghi vào vị trí a[i,j] (i,j) cạnh đồ thị, ghi k số cạnh nối hai đỉnh i, j Trong nhiều vấn đề ứng dụng lý thuyết đồ thị, cạnh e=(u,v) đồ thị gán với số c(e) [còn viết c(u,v)] gọi trọng số cạnh e Đồ thị trường hợp gọi đồ thị có trọng số Trong trường hợp đồ thị có trọng số, thay mà trận kề, để biểu diễn đồ thị ta sử dụng ma trận trọng số C= {c[i,j], i,j=1, 2, .,n} với c[i,j]=c(i,j) (i,j) E c[i,j]= (i,j) E c[i,i]=0 số , tuỳ trường hợp cụ thể, đặt giá trị sau: 0, + , - Ví dụ: Hình 2: Đồ thị ma trận trọng số tương ứng Ưu điểm lớn phương pháp biểu diễn đồ thị ma trận kề (hoặc ma trận trọng số) để trả lời câu hỏi: Hai đỉnh u,v có kề đồ thị hay không, phải thực phép kiểm tra phần tử A[u,v] ma trận có khác hay không BÀI TẬP Bài 1: Vẽ đồ thị có đỉnh a) đỉnh bậc đỉnh bậc b) Bậc đỉnh là: 1,2,2,3,4,5 c) Bậc đỉnh là: 2,2,4,4,4,4 Bài 2: Tìm số cạnh vẽ đồ thị mà đỉnh có bậc có a) đỉnh b) đỉnh c) đỉnh d) đỉnh Bài 3: Tìm số đỉnh vẽ đồ thị mà có a) 12 cạnh đỉnh có bậc b) 15 cạnh, đỉnh bậc đỉnh lại bậc c) cạnh đỉnh có bậc Bài 4: Một đồ thị có 19 cạnh, đỉnh có bậc >=3 Đồ thị có tối đa đỉnh? Bài 5: Biết đỉnh đồ thị có bậc số lẻ p CMR số cạnh cua bội số p Bài 6: Có thể tồn nhóm có người, người tuổi với người khác nhóm hay không? Bài 7: Một đơn đồ thị phẳng liên thông có 10 mặt, tất đỉnh có bậc Tìm số đỉnh, số cạnh vẽ đồ thị Bài 8: Đơn đồ thị phẳng liên thông có đỉnh, bậc đỉnh 2,2,2,3,3,3,4,4,5 Tìm số cạnh, số mặt vẽ đồ thị ... không BÀI TẬP Bài 1: Vẽ đồ thị có đỉnh a) đỉnh bậc đỉnh bậc b) Bậc đỉnh là: 1,2,2,3 ,4, 5 c) Bậc đỉnh là: 2,2 ,4, 4 ,4, 4 Bài 2: Tìm số cạnh vẽ đồ thị mà đỉnh có bậc có a) đỉnh b) đỉnh c) đỉnh d) đỉnh... ký hiệu K2,3, K3,3, K3 ,4 cho hình Đồ thị phẳng Đồ thị gọi đồ thị phẳng ta vẽ mặt phẳng cho cạnh không cắt ngọai trừ đỉnh Cách vẽ gọi biểu diễn phẳng đồ thị Thí dụ đồ thị K4 phẳng, vẽ mặt phẳng... gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với ký hiệu deg(v) deg(a) = 1, deg(b) = 4, deg(c) = 4, deg(f) = 3, deg(d) = 1, deg(e) = 3, deg(g) = Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh
