ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)

ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)ĐẠI SỐ BOOLE (TOÁN RỜI RẠC, CẤU TRÚC RỜI RẠC)

BÀI THUYẾT TRÌNH

CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOLE

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

N I DUNG CHÍNH ỘI DUNG CHÍNH

 Đ i s logic ại số logic ố logic B

 Đ i s Boole ại số logic ố logic

 Công th c đa th c t i thi u ức đa thức tối thiểu ức đa thức tối thiểu ố logic ểu

 Bi u đ Karnaugh c a hàm Boole ểu ồ Karnaugh của hàm Boole ủa hàm Boole

 Ph ương pháp Quine – McCluskey ng pháp Quine – McCluskey

 Các c ng logic ổng logic

05/13/202

Đ i s logic ại số logic ố logic B

Trên t p logic ập logic B =0, 1 xét các phép

toán logic

 (tích Boole)tích Boole) x  y

 (tích Boole)t ng Boole)ổng Boole) x  y

 (tích Boole)phép bù)) x

trong đó x, y B g i là các bi n logic ọi là các biến logic ến logic

ho c bi n Boole.ặc biến Boole ến logic

05/13/202

Các h ng đ ng th c logic ằng đẳng thức logic ẳng thức logic ức đa thức tối thiểu

M t s phép toán 2 – ngôi ột số phép toán 2 – ngôi ố logic

khác trên đ i s logic ại số logic ố logic B

1) Tổng modulo 2, x + y 2) Kéo theo x  y

3) Tương đương x  y 4) Vebb (NOR) x  y 5) Sheffer (NAND) x  y

05/13/202

Đ i s Boole ại số logic ố logic

Định nghĩa:

Cho tập A có ít nhất 2 phần tử, trong đó có 2

phần tử đặc biệt được ký hiệu là 0 và 1

Trên A xét các phép toán 2 – ngôi  và , và

Giao hoánKết hợpPhân phối Phần tử trung hoàPhần tử bù

Tập A cùng với các phép toán này được gọi là một

đại số Boole nếu các phép toán này có tính chất:

Ví d : ụ:

Cho U là t p b t kỳ, trên A = ập logic ất kỳ, trên A = P(tích Boole)U)

(tích Boole)t p các t p con c a U ập các tập con của U ập các tập con của U ủa U ) xét phép 

Ví d : ụ:

Tích Descartes AB c a các đ i s Boole A, ủa hàm Boole ại số logic ố logic

B là m t đ i s Boole, trong đó: ột số phép toán 2 – ngôi ại số logic ố logic

(tích Boole)a 1 ,b 1 )  (tích Boole)a 2 ,b 2 ) = (tích Boole)a 1  b 1 , a 2  b 2 ),

(tích Boole)a 1 ,b 1 )  (tích Boole)a 2 ,b 2 ) = (tích Boole)a 1  b 1 , a 2  b 2 ),

Nếu không nói gì thêm, tất cả các tập được nói

đến trong chương này đều là tập hữu hạn

Nhắc lại: Một tập hữu hạn sắp thứ tự luôn luôn

có phần tử tối tiểu/tối đại

Trên một đại số Boole tổng quát chúng ta cũng

 

Hàm Boole

Đ nh nghĩa:ịnh nghĩa:

Ánh x f: Bại số logic nB g i là m t hàm Boole n ọi là các biến logic ột số phép toán 2 – ngôi

bi n.ến logic

Hàm đ ng nh t b ng 1 ký hi u là 1, ồ Karnaugh của hàm Boole ất kỳ, trên A = ằng đẳng thức logic ệt,

hàm đ ng nh t b ng 0 ký hi u là 0 T p ồ Karnaugh của hàm Boole ất kỳ, trên A = ằng đẳng thức logic ệt, ập logic

t t c các hàm Boole n – bi n ký hi u là ất kỳ, trên A = ả các hàm Boole n – biến ký hiệu là ến logic ệt,

Fn

05/13/202

Cho f và g là hai hàm Boole n bi n Chúng taến logic

có các đ nh nghĩa nh sau:ịnh nghĩa: ư

1) (tích Boole)f  g)(tích Boole)x1, …, xn) = f(tích Boole)x1, …, xn)  g(tích Boole)x1, …, xn)

2) (tích Boole)f  g)(tích Boole)x1, …, xn) = f(tích Boole)x1, …, xn)  g(tích Boole)x1, …, xn)

3) f/ (tích Boole)x1, …, xn) = (tích Boole)f(tích Boole)x1, …, xn))/

v i m i xới mọi x ọi là các biến logic 1, …, xn

Cách thông thường nhất để xác định một hàm

Boole là dùng bảng giá trị

Hàm Boole 2 biến

Xét kết quả f trong việc thông qua một

quyết định dựa vào 3 phiếu bầu x, y, z

05/13/202

Khi đó f là hàm Bool theo 3 biến x,y,x có bảng

chân trị như sau:

Chúng ta cũng có thể xác định hàm Boole

bằng một biểu thức Boole Đó là một biểu

thức gồm các biến Boole và các phép toán 

(hội),  (tuyển), / (phép lấy bù)

Mỗi biểu thức Boole cũng được xem như một

hàm Boole

05/13/202

Tích s c p ơng pháp Quine – McCluskey ất kỳ, trên A =

Biến x gọi là biến Boole nếu x chỉ

nhận một trong hai giá trị 0/1.

Giả sử x là một biến Boole Khi đó ký

hiệu x1 = x, x0 = x

Các phép toán trên hàm Boole:

• Phép cộng Boole :

Với f, g Fn, ta định nghĩa tổng Boole của f và g:

,

 

 (f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)f  g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x))(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)) = f(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)) + g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)) – f(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x))g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)) 

05/13/202

• Phép nhân Boole :

Với f,g Fn, ta định nghĩa tích Boole của f và g:

,

 

 (f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)fg)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x))(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)) = f(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x))g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)) 

• Phép lấy phần bù:

 

Biểu thức Boole:

Là một biểu thức được tạo bởi các biến và các

phép toán Boole

VD: E= (xy z (z

Để dễ đọc hơn, người ta có thể viết:

E = xyz + z 

05/13/202

Dạng nối rời chính tắc của hàm Boole:

Xét tập hợp các hàm Boole n biến Fn theo n biến x1, x2, …,xn.

• Mỗi hàm Boole xi hay i được gọi là một từ đơn.

• Đơn thức là tích khác không của một số hữu hạn từ đơn.

• Từ tối tiểu (đơn thức tối tiểu) là tích khác không của đúng

n từ đơn.

• Công thức đa thức là công thức biểu diễn hàm Boole

thành tổng của các đơn thức.

• Dạng nối rời chính tắc là công thức biểu diễn hàm Boole

thành tổng của các từ tối tiểu.

 

VD: Xét hàm boole, với 3 biến: x, y, z

Cho , có thể viết dưới dạng sau:

(*)

Với là các đơn thức tối tiểu bậc

(*) được gọi là dạng nối rời chính tắc của

Ví dụ: Trong có dạng biểu diễn sau đây:

có dạng nối rời chính tắc của hàm Bool

 

…

 

Có 2 cách để xác định dạng nối rời chính tắc một hàm Bool:

Cách 1 : Bổ sung từ đơn còn thiếu vào các đơn thức.

Bước 1: Khai triển hàm Bool thành tổng của các đơn thức Bước 2: Với mỗi đơn thức thu được ở bước 1, ta nhân đơn thức đó với các tổng dạng với x i là những từ đơn bị thiếu trong đơn thức đó.

Bước 3: Tiếp tục khai triển hàm thu được ở bước 2 và loại

bỏ những đơn thức bị trùng Công thức đa thức thu được chính là dạng nối rời chính tắc của hàm Bool ban đầu.

Vídụ: Trongtìm dạng nối rời chính tắc

 có dạng nối rời chính tắc của hàm Bool.

 

05/13/202

Cách2: Dùng bảng chân trị Để ý đến các vector boole trong bảng chân trị mà tại đó

Tại đó Vector bool thứ là,…,và,…,

Ví dụ: Cho

Tìm biểu thức dạng nối rời chính tắc của

Lập bảng chân trị của

Các thể hiện làm cho là

 lập được các từ tối tiểu tương ứng.

Vậy dạng nối rời chính tắc của là

Công thức đa thức tối tiểu:

1 Đơn giản hơn:

Cho hai công thức đa thức của một hàm Boole:

F = m123 mk

G = M123 Ml

Ta nói rằng công thức F đơn giản hơn công thức G

nếu tồn tại đơn ánh h:

sao cho với mọi thì số từ đơn của không nhiều hơn

số từ đơn của

 

05/13/202

2 Đơn giản như nhau

Nếu F đơn giản hơn G và G đơn giản hơn F thì ta nói

F và G đơn giản như nhau.

Ví dụ:

f F ∈ F 4 có 3 dạng đa thức f(x,y,z,t): f1 = x V yz V x V xyz (1)

  

3 Công thức đa thức tối tiểu:

Công thức F của hàm Boole f được gọi là

Công thức đa thức tối tiểu

nếu với bất kỳ công thức G của f mà đơn giản hơn F

thì F và G đơn giản như nhau

05/13/202

B n đ Karnaugh ả các hàm Boole n – biến ký hiệu là ồ Karnaugh của hàm Boole

• Sử dụng bảng Karnaugh là phương pháp xác định

công thức đa thức tối tiểu.

• Quy tắc gom nhóm:

- Gom các tiểu hạng mang biểu diễn là số 1.

- Khi gom Ô kế cận sẽ loại được n biến Những

biến bị loại là những biến khi ta đi vòng qua các ô kế

cận mà giá trị của chúng thay đổi.

- Các vòng phải được gom sao cho số ô có thể vào

trong vòng là lớn nhất và để đạt được điều đó, thường

ta phải gom cả những ô đã gom vào trong các vòng

khác.

- Vòng gom phải là 1 hình chữ nhật.

 

Karnaugh 2 bi n ến logic

• Đối với hàm Boole 2 biến x, y :

• Bảng karnaugh 2 biến có 4 ô vuông, trong đó:

Ô được đánh số 1 để biểu diễn tiểu hạng có

mặt trong hàm

Các ô được cho là liền nhau nếu các tiểu hạng

mà chúng biểu diễn chỉ khác nhau 1 biến

Gom nhóm:

Ví dụ: F =  

Ví dụ: B =  

05/13/202

VD: Dùng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) bảng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) Karnaug)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)h 4 biến để rút g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)ọn hàm sau:

Ph t i ti u c a m t t p ủa hàm Boole ố logic ểu ủa hàm Boole ột số phép toán 2 – ngôi ập logic

 Việc tìm tất cả các tổng chuẩn tắc

không dư thừa của hàm Boole f, từ

các tsc tối đại của f, là một vấn đề khá phức tạp

 Trước hết, chúng ta xét bài toán tìm

phủ tối tiểu của một tập như sau.

Phủ của tập X

Cho S = X1, …, Xn là họ các tập con của

X S gọi là phủ của X nếu X = Xi

Phủ tối tiểu của X

Giả sử S là một phủ của X S gọi là phủ tối

tiểu của X nếu với mọi i, S\Xi không phủ X

05/13/202

Ví dụ:

X = a, b, c, d

A = a,b B = c,d

C = a,d D = b,c

A, B, C, D phủ không tối tiểu

A, B, C, D là các phủ tối tiểu

A, C, D phủ không tối tiểu

B, D không phủ

Bước 4:  Xác định các phủ tối tiểu g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)ồm các tế bào lớn :

o Loại bỏ các phủ không)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) tối tiểu, ta tìm được 

tất cả các phủ tối tiểu g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)ồm các tế bào lớn 

Bước 5:  Xác định các công)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) thức đa thức tối tiểu 

của f.

• Từ các phủ tối tiểu g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)ồm các tế bào lớn của 

kar(f g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)f) tìm được ở bước 4 ta x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)ác định được các 

công)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) thức đa thức tương)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) ứng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) của f.

Ví dụ 1

Tìm các công thức đa thức tối tiểu của hàm :

(x,y,z,t) = xyzt x x yz xy xy  

B3: Chọn tế bào lớn nhất thiết phải chọn:

(Vì chúng chứa các các ô không nằm trong

tế bào nào khác – minh hoạ với ô vàng)

B4: Xác định họ phủ của các tế bào lớn:

Ta thấy các tế bào chọn ở bước 3 đã phủ hết bảng

đây là họ phủ tối thiểu gồm các tế bào

Kar(): x yz B5: Ứng với họ phủ tối thiểu của tế bào lớn tìm

được ta được duy nhất 1 công thức đa thức tối tiểu

05/13/202

B4: Xác định họ phủ tối thiểu của các tế bào lớn:

B5: Xác định công thức đa thức cực tiểu:

Ta thấy 2 công thức đơn giản như nhau cho nên

công thức đa thức tối thiểu của hàm là:

xzt z xzt zt 

05/13/202

Về cơ bản, phương pháp Quine-McCluskey

có hai phần Phần đầu là tìm các số hạng là ứng

viên để đưa vào khai triển cực tiểu của hàm

Boole như dưới dạng chuẩn tắc tuyển Phần thứ

hai là xác định xem trong số các ứng viên đó,

các số hạng nào là thực sự dùng được

Phương pháp Quine-McCluskey

Phương pháp Quine-McCluskey tìm dạng tổng

chuẩn tắc thu gọn:

Bước 1: Viết vào cột thứ nhất các biểu diễn của

các nguyên nhân hạng n của hàm Boole F Các

biểu diễn được chia thành từng nhóm, các biểu

diễn trong mỗi nhóm có số các ký hiệu 1 bằng

nhau và các nhóm xếp theo thứ tự số các ký hiệu 1

tăng dần

05/13/202

Bước 2: Lần lượt thực hiện tất cả các phép dán

các biểu diễn trong nhóm i với các biểu diễn

trong nhóm i+1 (i=1, 2, …) Biểu diễn nào tham

gia ít nhất một phép dán sẽ được ghi nhận một

dấu * bên cạnh Kết quả dán được ghi vào cột

tiếp theo

Bước 3: Lặp lại Bước 2 cho cột kế tiếp cho đến

khi không thu thêm được cột nào mới Khi đó

tất cả các biểu diễn không có dấu * sẽ cho ta tất

cả các nguyên nhân nguyên tố của F

05/13/202

Ph ương pháp Quine-McCluskey tìm dạng ng pháp Quine-McCluskey tìm d ng ạng

t ng chu n t c t i thi u: ổng chuẩn tắc tối thiểu: ẩn tắc tối thiểu: ắc tối thiểu: ối thiểu: ểu:

B ước 1: c 1: Phát hi n t t c các nguyên ệt, ất kỳ, trên A = ả các hàm Boole n – biến ký hiệu là

nhân nguyên t c t y u ố logic ố logic ến logic

B ước 1: c 2: Xoá t t c các c t đất kỳ, trên A = ả các hàm Boole n – biến ký hiệu là ột số phép toán 2 – ngôi ược phủ bởi c ph b i ủa hàm Boole ởi

các nguyên nhân nguyên t c t y u ố logic ố logic ến logic

B ước 1: c 3: Trong b ng còn l i, xoá n t ả các hàm Boole n – biến ký hiệu là ại số logic ố logic

nh ng dòng không còn d u + và sau đó n u ững dòng không còn dấu + và sau đó nếu ất kỳ, trên A = ến logic

có hai c t gi ng nhau thì xoá b t m t c t ột số phép toán 2 – ngôi ố logic ới mọi x ột số phép toán 2 – ngôi ột số phép toán 2 – ngôi

B ước 1: c 4: Sau các bưới mọi xc trên, tìm m t h S ột số phép toán 2 – ngôi ệt,

các nguyên nhân nguyên t v i s bi n ít ố logic ới mọi x ố logic ến logic

nh t ph các c t còn l iất kỳ, trên A = ủa hàm Boole ột số phép toán 2 – ngôi ại số logic

Các cổng logic

1 Các phép toán ở đại số boole

 Phép cộng thể hiện qua hàm OR

 Phép nhân thể hiện qua hàm AND

 Phép phủ định thể hiện qua hàm NOT

Các phép tính trên khi áp dụng cho logic 0 và 1

Cổng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) NAND

Cổng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) NOR

Cổng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) XOR

Chỉ = 0 khi tất cả  ng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)õ vào =1

Chỉ = 1 khi tất cả  ng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)õ vào =0

2 ng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)õ khác nhau thì =1

Cổng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) X-NOR 2 ng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)õ g)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)iống)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) nhau thì =1

Sự chuyển đổi giữa các cổng cơ bản sang cổng NAND

05/13/202

Sự chuyển đổi giữa các cổng cơ bản sang cổng NOR

VD: Viết lại biểu thức logic sau từ mạch logic:

Các bước thiết kế logic tổng hợp:

 Bước 1: Đặt các biến cho ngõ vào và các hàm

 Bước 4: Tìm công thức đa thức tối tiểu của biểu

thức logic vừa tìm được

 Bước 5: Từ biểu thức logic rút gọn chuyển sang

mạch logic tương ứng

Ví dụ:

Một ngôi nhà có 3 công tắc, người chủ nhà muốn

bóng đèn sáng khi cả 3 công tắc đều hở, hoặc khi

công tắc 1 và 2 đóng còn công tắc thứ 3 hở Hãy

thiết kế mạch logic thực hiện sao cho số cổng là

 Bước 2:

Từ yêu cầu bài toán ta có bảng chân trị:

A B C

Y

 Bước 3: Từ bảng chân trị ta có biểu thức logic ngõ ra

 Bước 4: Rút gọn biểu thức logic:𝑌 = ´𝐴 ´𝐵 ´𝐶+ 𝐴𝐵 ´𝐶 

 Bước 5: Mạch logic tương ứng của biểu thức

05/13/202

 Ng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x)oài ra, ta cũng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) có thể sử dụng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) cổng)(x) = f(x) + g(x) – f(x)g(x) XOR cho bài toán như 

sau:

CHÂN THÀNH CẢM ƠN CÔ

VÀ CÁC BẠN

ĐÃ LẮNG NGHE VÀ THEO DÕI