Bài giảng toán rời rạc chương 5 đại số boole

Nguyên lý qui nạp toán họcCông thức truy hồi ĐẠI SỐ BOOLE I II... Thứ tự thực hiện các phép toán trên đại số Boole:1... 5.1 HÀM BOOLE VÀ BIỂU THỨC BOOLE a... Chú ý:+ Các hàm Boole còn đư

Chương 5

ĐẠI SỐ BOOLE

George Boole (1815 - 1864)

Nguyên lý qui nạp toán học

Công thức truy hồi

ĐẠI SỐ BOOLE

I

II

5.1 MỞ ĐẦU

Đại số Boole được xây dựng trên tập hợp {0; 1} Các phép toán giữa các phần tử 0 và 1:

+ Phép phủ định: 0  1 ; 1  0

+ Phép cộng: ký hiệu là + hoặc OR

0 0

0

; 1 1

0 0

1

; 1 1

+ Phép nhân: ký hiệu là hoặc AND

0 0

0

; 0 1

0 0

1

; 1 1

.

Thứ tự thực hiện các phép toán trên đại số Boole:

1 Phép phủ định

2 Phép nhân

3 Phép cộng

Ví dụ

Tìm giá trị của các biểu thức sau:

) 1 1 ( 0 )

1 1

( 1

0 0

1 1

0 1

5.1 HÀM BOOLE VÀ BIỂU THỨC BOOLE

a Hàm Boole

Cho B = {0; 1}

Một hàm Boole n biến số là một ánh xạ:

) x

; ;

x

; f(x )

x

; ;

x

; (x

B B

: f

n 2

1 n

2 1

n





Với xi (i = 1 n)  B

Chú ý:

+ Các hàm Boole còn được gọi là hàm lôgic hay hàm nhị phân

+ Biến chỉ nhận các giá trị trong B còn được gọi là

biến Boole

+ Một bảng liệt kê hết các giá trị của một hàm Boole được gọi là bảng giá trị của hàm Boole

Ví dụ

Xét hàm boole: f: B2  B

Với





 0

0 y

, 1 x

khi

1 )

y , x (

f

Các trường hợp còn lại của x, y

Có bảng giá trị:

0 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

f(x,y) y

x

Định lý:

Số hàm Boole bậc n là

n

2

2

b Biểu thức Boole

Một biểu thức Boole gồm các số 0, 1 và các biến Boole liên kết với nhau bằng các phép toán trong đại

số Boole

Các hàm Boole có thể biểu diễn bởi các biểu thức Boole

Ví dụ

z y xy

z y x z

y x

1 Cho biểu thức Boole:

Giá trị của f(1, 0, 1) là:

2 Cho hàm Boole f(x,y) có bảng giá trị như sau:

0 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 1

f(x,y) y

thức là:

y x

xy

5.3 DẠNG CHUẨN CỦA HÀM BOOLE

Một biến Boole hoặc phủ định của nó gọi là một tục biến

Cho n biến Boole x1, x2,…, xn Ta gọi tích:

y1.y2…yn với yi bằng xi hoặc bằng xi

là một tiểu hạng.

Một hàm Boole gọi là ở dạng chuẩn nếu biểu thức Boole biểu diễn nó là tổng các tiểu hạng

Các hàm Boole sau đây là có dạng chuẩn tắc

y x y

x y

x

f ( , )  

z y x z

y x xyz

z y x

Ví dụ

5.4 TỐI THIỂU HÓA HÀM BOOLE

Phương pháp biến đổi đại số:

y x y x y x xy

.

Ví dụ

Tối thiểu hóa các hàm Boole sau:

z y x z

xy xyz

.