Bài giảng Toán rời rạc: Chương 5 - TS. Đặng Xuân Thọ

Bài giảng Toán rời rạc: Chương 5 Đại số Boole và cấu trúc mạch logic cung cấp cho người học những kiến thức như: Giúp tính toán các biểu thứ logic trên bảng giá trị chân lý 0 và 1 cho ra đời một ngành toán học mới là đại số Boole; Biểu thức Boole và hàm Boole; Xác định biểu thức Boole của hàm Boole; Sơ đồ mạch logic.

TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE MATHEMATICS) Bùi Thị Thủy Đặng Xuân Thọ Support     TS Đặng Xuân Thọ Mobile: 091.2629.383 Email: thodx@hnue.edu.vn Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/ Toán rời rạc - ĐHSPHN NỘI DUNG  Chương Logic mệnh đề  Chương Lý thuyết tập hợp  Chương Một số công thức tổ hợp  Chương Suy luận kiểm chứng chương trình  Chương Đại số Boole cấu trúc mạch logic  Chương Thuật toán  Chương Lý thuyết đồ thị Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Chương Đại Số Boole & Cấu Trúc Mạch Logic     Giúp tính tốn biểu thứ logic bảng giá trị chân lý cho đời ngành toán học đại số Boole Biểu thức Boole hàm Boole Xác định biểu thức Boole hàm Boole Sơ đồ mạch logic Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu thức Boole hàm Boole Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu thức Boole & hàm Boole  Định nghĩa Đại số Boole tập hợp B với phép toán: phép lấy phần bù (-), phép lấy tổng Boole (+), phép nhân () Tập hợp B có phần tử đặc biệt cho đẳng thức sau thỏa mãn:  b.1 = b + = b, bB (luật đồng nhất)  b + 𝑏 = 1; b.𝑏 = 0, bB (luật bù)  (x + y) + z = x + (y + z); (x.y).z = x.(y.z) (kết hợp)  x + y = y + x; x.y = y.x (giao hoán)  x.(y + z) = x.y + x.z; (x.y) + z = (x + z) (y + z) (phân phối) Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu thức Boole & hàm Boole  Thứ tự thực phép tính đại số Boole sau: Lấy phần bù > Phép lấy tích > Phép lấy tổng   Khi có dấu ngoặc, thực theo thứ tự thông thường ngoặc thực trước Phép lấy phần bù, phép nhân, phép tổng đại số Boole tương ứng với toán tử logic: phần bù, ⋀, ⋁ Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Các đẳng thức đại số Boole Các đẳng thức đại số Boole  Ví dụ: Tính giá trị x  x(1  y ) Ta có: x  x(1  y)  x  ( x.1  x y )  x  ( x  x y )  ( x  x)  x y   x y 1 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu thức Boole & hàm Boole 10    Một hàm số Boole F với n biến x1, x2, …, xn kí hiệu F(x1, x2, …, xn) ánh xạ f : {0, 1}n  {0, 1} Hàm Boole mơ tả lời dùng bảng tương tự bảng logic tốn Ví dụ: hàm F(x,y) sau x y F(x,y) Toán Rời Rạc - ĐHSPHN 1 1 0 0 0 Biểu thức boole & hàm boole 11  Hai hàm boole F(x1,x2,…,xn) G(x1,x2,…,xn) hai hàm Boole F(x1, x2, …, xn) = G(x1, x2, …, xn) cho giá trị biến Toán Rời Rạc - ĐHSPHN 12 Xác định biểu thức Boole hàm Boole Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Xác định biểu thức Boole hàm Boole 13  Quy tắc 1: Khai triển bảng thành x1 x2 F1(x1,x2) bảng sơ cấp 1 x1 x2 F(x1,x2) 0 1 1 0 0 0 x1 x2 F2(x1,x2) 0 1 1 0 0  𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐹1 𝑥1, 𝑥2 + 𝐹2(𝑥1, 𝑥2) Xác định biểu thức Boole hàm Boole 14  Quy tắc  Nếu hàm F(x1, x2, …, xn) nhận giá trị (a1,a2, …,an) giá trị khác (x1,x2, …, xn) ta có: F(x1, x2, …, xn) = y1y2…yn quy ước: yi = xi = yi = 𝑥𝑖 = Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Xác định biểu thức Boole hàm Boole 15  Quy tắc  Ví dụ: 𝐹1 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥2 𝐹2 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1𝑥2 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN x1 x2 F1(x1,x2) 1 1 0 0 0 x1 x2 F2(x1,x2) 1 0 0 Xác định biểu thức Boole hàm Boole 16  Quy tắc 2: Khai triển bảng thành x1 x2 G1(x1,x2) bảng sơ cấp 1 x1 x2 F(x1,x2) 0 1 1 1 0 0 1 x1 x2 G2(x1,x2) 0 1 1 1 0 =× 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = 𝐺1 𝑥1 , 𝑥2 × 𝐺2(𝑥1, 𝑥2) Xác định biểu thức Boole hàm Boole 17  Quy tắc  Nếu hàm F(x1, x2, …, xn) nhận giá trị (a1,a2, …,an) giá trị khác (x1,x2, …, xn) ta có: F(x1, x2, …, xn) = y1 + y2 + …+ yn quy ước: yi = 𝑥𝑖 = yi = xi = Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Xác định biểu thức Boole hàm Boole 18  Quy tắc  Ví dụ: 𝐺1 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2 𝐹 𝑥1, 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥2)(𝑥1 + 𝑥2) 𝐺2 𝑥1, 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑥2 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN x1 x2 G1(x1,x2) 1 1 0 1 0 x1 x2 G2(x1,x2) 1 1 1 0 Luyện tập 19  Tìm hàm nhận giá trị giá trị sau: a) b) c)  (x, y, z) = (0, 0, 1) (x, y, z) = (0, 1, 1) (x, y, z) = (0, 1, 0) Tìm hàm nhận giá trị giá trị sau: a) b) c) (x, y, z) = (0, 0, 1) (x, y, z) = (0, 1, 1) (x, y, z) = (0, 0, 0) Toán Rời Rạc - ĐHSPHN 20 Sơ đồ mạch logic Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Các cổng logic 21    Các mạch nghiên cứu khơng có khả nhớ, nghĩa giá trị phụ thuộc vào giá trị đầu vào mà khơng phụ thuộc vào trạng thái mạch lúc Các mạch gọi mạch tổ hợp Các phần tử mạch gọi cổng Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Các cổng logic 22  Cổng NOT x x   Cổng OR Cổng AND x x y y x y Toán Rời Rạc - ĐHSPHN xy Tổ hợp cổng thiết kế mạch 23    Khi lập tổ hợp mạch phức hợp, ta sử dụng cổng Có thể dùng chung đầu vào cho cổng Ví dụ: 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 xy x y xy  xy x xy y Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Luyện tập 24  Dựng mạch có đầu hàm Boole sau: a) b) c) d) e) 𝑥 +𝑦 𝑥𝑦 𝑥 +𝑥+𝑦 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥 𝑥 +𝑦+𝑦+𝑥+𝑧 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN THANK YOU! ... số công thức tổ hợp  Chương Suy luận kiểm chứng chương trình  Chương Đại số Boole cấu trúc mạch logic  Chương Thuật toán  Chương Lý thuyết đồ thị Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Chương Đại Số Boole &...  TS Đặng Xuân Thọ Mobile: 091.2629.383 Email: thodx@hnue.edu.vn Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/ Toán rời rạc - ĐHSPHN NỘI DUNG  Chương Logic mệnh đề  Chương Lý thuyết tập hợp  Chương. .. lý cho đời ngành toán học đại số Boole Biểu thức Boole hàm Boole Xác định biểu thức Boole hàm Boole Sơ đồ mạch logic Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu thức Boole hàm Boole Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu thức