Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 - TS. Đặng Xuân Thọ

Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 Một số công thức tổ hợp cung cấp cho người học những kiến thức như: Đánh giá số điện thoại nhiều nhất có thể có trong Hà Nội; Xác định số mật khẩu, mỗi mật khẩu gồm sáu, bảy, hoặc tám ký tự; mỗi ký tự có thể chữ hoặc số; mỗi mật khẩu chứa ít nhất một chữ; Một số công thức tổ hợp;...Mời các bạn cùng tham khảo!

TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE MATHEMATICS) Bùi Thị Thủy Đặng Xuân Thọ Support     Full name: Đặng Xuân Thọ Mobile: 091.2629.383 Email: thodx@hnue.edu.vn Website: http://cs.fit.hnue.edu.vn/~tho/ Toán Rời Rạc - ĐHSPHN NỘI DUNG  Chương Logic mệnh đề  Chương Lý thuyết tập hợp  Chương Một số công thức tổ hợp  Chương Suy luận kiểm chứng chương trình  Chương Đại số Boole cấu trúc mạch logic  Chương Thuật toán  Chương Lý thuyết đồ thị Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Chương Một số công thức tổ hợp    “Đánh giá số điện thoại nhiều có Hà Nội.” “Xác định số mật khẩu, mật gồm sáu, bảy, tám ký tự; ký tự chữ số; mật chứa chữ.” Một số công thức tổ hợp Chỉnh hợp  Hốn vị  Hốn vị đường trịn …  Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Cơ sở phép đếm Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Cơ sở phép đếm    Phần giải xác định lực lượng tập hợp hữu hạn Nếu tập hợp A tập hợp hữu hạn, lực lượng số lượng phần tử nó, ký hiệu 𝐴 Định lý: Nếu Ai (i=1,2, n) phân hoạch tập hợp A ta có 𝑛𝑖=1 𝐴𝑖 = 𝐴 Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Số phần tử tích Đêcac  Ví dụ: Cho tập hợp A={a,b} Tìm tất dãy ký tự có ba phần tử tạo thành từ A?   aaa, aab, bbb, bba, abb, baa, aba, bab Định lý: cho trước tập hợp hữu hạn Ai (i=1, ,k) tập hợp Ai có ni phần tử Khi tích Đêcac A1 x A2 x … x Ak có n1n2…nk phần tử Nghĩa là: 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑘 = 𝐴1 × 𝐴2 × 𝐴𝑘  Đặc biệt ta có: 𝐴𝑛 = 𝐴 𝑛 Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Số phần tử tích Đêcac  Ví dụ: Có số tự nhiên có chín chữ số mà biểu diễn thập phân khơng có mặt chữ số tập hợp {0,3,7,9}?  Mỗi số tự nhiên có chín chữ số khơng viết chữ số {0,3,7,9} dãy chín kí tự có lặp tập hợp {1,2,4,5,6,8}  69 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Hai nguyên lý Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Cơ sở phép đếm (1/2) 10  Nguyên lý cộng   Giả sử có cơng đoạn E1, E2,…, Ek Để thực E ta cần thực Ei (i = k) số cách thực Ei ni Khi số cách thực E n1 + n2 + …+ nk Ví dụ: Hà Nội hãng hàng không hãng tàu thủy TP HCM 15 hãng giao thơng đường Có + + 15 = 20 cách Luyện tập 25 Từ tập A = {0,1,2,3,4,5} lập số tự nhiên có chữ số cho: - chữ số có mặt lần - chữ số cịn lại có mặt lần Xét tam giác có đỉnh lấy từ đa giác lồi có 20 cạnh a Có tam giác nói trên? b Tính xác suất để chọn tam giác có cạnh chung với đa giác? c Có tam giác có cạnh chung với đa giác? d Tính xác suất để chọn tam giác khơng có cạnh chung với đa giác? Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN 26 Khai triển lũy thừa đa thức Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Hệ số tam giác Pascal 27 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 … 1 3 1 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Nhị thức Newton 28  Định lý Cho số tự nhiên n  ta có: n a  b n   Cnk a nk b k k 0 = C0nbn + C1nabn-1 + C2na2bn-2 + … + Cn-1nan-1b + Cnnan Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Nhị thức Newton 29  Tính chất: nk n 1.C  C k n 2.Cnk  Cnk1  Cnk11 k 1 n 1 3.C  C k n k 1 n2 C k 1 nk   C Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Ví dụ 30  Ví dụ 1: Tính A = C0n + C1n + … + Cnn x  1 n n n k 0 k 0   Cnk x k 1n  k   Cnk x k = C0n + C1nx + C2nx2 + … + Cn-1nxn-1 + Cnnxn Chọn x=1 thì: 2n = C0n + C1n + … + Cnn Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Luyện tập 31 CM: C02n+C22n+ +C2n2n=C12n+C32n+ +C2n-12n x  1 2n 2n 2n k 0 k 0   C2kn x k 12 n  k   C2kn x k Với x = -1 thì: = C02n - C12n + C22n – C32n+…-C2n-12n+C2n2n C02n+C22n+…+C2n2n = C12n+C32n+…+C2n-12n Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Luyện tập 32 Khai triển đa thức: P(x)=(x+1)10 + (x+1)11 + (x+1)12 + (x+1)13 + (x+1)14 dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14 tính a10? Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Khai triển lũy thừa đa thức 33  Định lý Cho m, n số nguyên dương Khi ta có: n! km k1 k2 ( x1  x2   xm )  x1 x2 xm  k1  k2   km  n k1 !k2 ! km ! n tổng lấy tất m số tự nhiên (k1,k2,…,km) cho k1 + k2 +…+ km = n Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Ví dụ 34 x1  x2  x3  3! k1 k k3   x1 x2 x3 k1  k  k3 3 k1! k ! k 3! Tất (k1,k2,k3) cho k1+k2+k3=3 là: (3,0,0), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,0,2), (1,1,1), (0,3,0), (0,2,1), (0,1,2), (0,0,3) Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN 35 Cơng thức Tổ hợp tập hợp Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Số phần tử hợp tập hợp 36 Ví dụ: Bài kiểm tra Tốn có câu hỏi Cả lớp có 30 em làm câu thứ nhất, 20 em làm câu thứ hai, có 10 em làm hai câu Tìm số học sinh lớp?  A tập hợp học sinh giải câu thứ  B tập hợp học sinh giải câu thứ hai  A∩B tập hợp học sinh giải hai câu  |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 30+20–10 = 40 em  Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Số phần tử hợp tập hợp 37 |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C| Định lý: cho trước tập hợp A1,A2, An Khi đó: |A1∪A2∪ ⋯An|= |Ai|- |Ai∩Bj|+…+(-1)n+1|A1∩A2∩ ⋯An| Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Luyện tập 38 10 Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán, Lý, Hóa Biết có 20 em thi Tốn, 14 em thi Lý, em thi Toán Lý, em thi Lý Hóa, em thi Tốn Hóa, có em tham gia mơn Hỏi có em? 11 Tính số mật tạo cách hoán vị chữ từ “TINHOCTRE” cho khơng có hai chữ giống đứng cạnh nhau? Toán Rời Rạc - ĐHSPHN THANK YOU! ... Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Ví dụ 34 x1  x2  x3  3! k1 k k3   x1 x2 x3 k1  k  k3 ? ?3 k1! k ! k 3! Tất (k1,k2,k3) cho k1+k2+k3 =3 là: (3, 0,0), (2,1,0), (2,0,1), (1,2,0), (1,0,2), (1,1,1), (0 ,3, 0),... = -1 thì: = C02n - C12n + C22n – C32n+…-C2n-12n+C2n2n C02n+C22n+…+C2n2n = C12n+C32n+…+C2n-12n Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Luyện tập 32 Khai triển đa thức: P(x)=(x+1)10 + (x+1)11 + (x+1)12 + (x+1) 13. .. giác? Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN 26 Khai triển lũy thừa đa thức Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Hệ số tam giác Pascal 27 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b )3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4