Bài giảng Toán rời rạc: Chương 2 Lý thuyết tập hợp cung cấp cho người học những kiến thức như: Thế nào là một tập hợp; Các phép toán của tập hợp; Quan hệ và ánh xạ; Lực lượng của một tập hợp. Mời các bạn cùng tham khảo!
TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE MATHEMATICS) Bùi Thị Thủy Đặng Xuân Thọ Support TS Đặng Xuân Thọ Mobile: 091.2629.383 Email: thodx@hnue.edu.vn Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/ Toán rời rạc - ĐHSPHN NỘI DUNG Chương Logic mệnh đề Chương Lý thuyết tập hợp Chương Một số công thức tổ hợp Chương Suy luận kiểm chứng chương trình Chương Đại số Boole cấu trúc mạch logic Chương Thuật toán Chương Lý thuyết đồ thị Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Chương Lý thuyết tập hợp Thế tập hợp? Biểu diễn tập hợp? Tập con? Các phép tốn tập hợp? Hợp, giao, trừ, tích đecac… Biểu diễn máy tính? Quan hệ ánh xạ? Lực lượng tập hợp? Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Khái niệm tập hợp Lý thuyết tập hợp nhà toán học người Đức tên Cantor xây dựng Tập hợp tổng thể đối tượng (được gọi phần tử tập hợp) có chung tính chất chung Ký hiệu: Tập hợp ký hiệu chữ in hoa A, Q, N, Z… Phần tử ký hiệu chữ in thường a, p, x aA; pA; Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Khái niệm tập hợp Ví dụ: Tập hợp học sinh lớp học Tập hợp sách thư viện N tập hợp số tự nhiên Z tập hợp số ngun ; ½ ; 1 Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Các cách biểu diễn tập hợp Một tập hợp thường biểu diễn phần mặt phẳng giới hạn đường cong khép kín Gọi biểu đồ Venn Biểu diễn tập hợp A aA A b A a b Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Các cách biểu diễn tập hợp (1/3) Biểu diễn tập hợp cách liệt kê tất phần tử Liệt kê tất phần tử tập hợp cho cách mở đầu kết thúc việc kê khai dấu “{“ “}” Tập A bao gồm phần tử số tự nhiên 1,2,3 A= {1, 2, 3} Tập B bao gồm số nguyên dương đầu tiên? B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Các cách biểu diễn tập hợp (2/3) Biểu diễn tập hợp thông qua quy luật đơn giản Liệt kê phần tử tập hợp, sử dụng ba dấu chấm để thể phần tử khác mà dễ dàng xác nhận Tập hợp số tự nhiên chẵn A= {0, 2, 4, …} Tập hợp số nguyên? Z = {0, 1, -1, 2, -2, …} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Các cách biểu diễn tập hợp (3/3) 10 Biểu diễn tập hợp thông qua quy tắc nhận biết Đưa quy tắc nhận biết phần tử tập hợp mà không cần biết việc kiểm tra tính chất nhận biết đưa dàng hay không Tập hợp số nguyên tố P = {p | p số nguyên tố} Tập hợp nghiệm pt x2 - 2x + = 0? X = {x | x2 - 2x + = 0} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép hợp 20 Tính chất: Luật đồng nhất: A = A với tập hợp A Luật nuốt: A U = U với tập hợp A U Luật lũy đẳng: A A = A với tập hợp A Luật giao hoán: A B = B A với tập hợp A,B Luật kết hợp: (A B) C = A (B C) với tập hợp A, B, C Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép hợp 21 Bảng thuộc tính Để phần tử thuộc tập hợp, dùng số Để phần tử không thuộc tập hợp, dùng Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép giao 22 Định nghĩa: cho trước tập hợp A tập hợp B Giao tập hợp A tập hợp B tập hợp chứa tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, phần tử mà thơi Ký hiệu: A B A B = {x | x A x B} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép giao 23 Tính chất: Luật nuốt: A = với tập hợp A Luật đồng nhất: A U = A với tập hợp A U Luật lũy đẳng: A A = A với tập hợp A Luật giao hoán: A B = B A với tập hợp A,B Luật kết hợp: (A B) C = A (B C) với tập hợp A, B, C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Lập bảng thuộc tính? Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Phép trừ 24 Định nghĩa: cho trước tập hợp A B Hiệu tập hợp A với tập hợp B tập hợp chứa tất phần tử thuộc A mà không thuộc B, phần tử mà thơi Ký hiệu: A \ B A – B A - B = {x | x A x B} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép trừ 25 Định nghĩa: cho trước tập hợp A tập hợp U chứa tập hợp A Khi ta nói hiệu U – A phần bù tập hợp A tập hợp U ký hiệu U – A CA(U) 𝐴𝑈 khơng xảy hiểu lầm viết ngắn gọn 𝐴 Ví dụ: A = {0, 1, 2, 3}; U = N 𝐴 = {4, 5, …} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép trừ 26 Tính chất: Luật bù: 𝐴 = 𝐴 Luật De Morgan cho giao: 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 Luật De morgan cho hợp: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵 Lập bảng thuộc tính? Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Phép trừ 27 Định nghĩa: Hiệu đối xứng hai tập hợp A B tập hợp chứa phần tử thuộc hai tập hợp A B (hoặc thuộc tập hợp A thuộc tập hợp B), chứa phần tử mà Ký hiệu: 𝐴∆𝐵 𝐴 ⊕ 𝐵 𝐴 ⊕ 𝐵 = (A − B)⋃ (𝐵 − 𝐴) Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Hằng đẳng thức đáng nhớ 28 A =A AU=A Luật đồng A (B C) = (A B) (A C) Luật phân phối A (B C) = (A B) (A C) AU=U Luật nuốt A= AA=A AA=A A B = B A A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Luật kết hợp Luật lũy đẳng 𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵 𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵 Luật De Morgan Luật giao hoán 𝐴=𝐴 Luật bù Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Chứng minh đẳng thức tập hợp 29 Ví dụ: chứng minh luật De Morgan 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∪ 𝐵 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∉ 𝐴⋂𝐵 = 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴⋂𝐵) = 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴 ⋀ 𝑥 ∈ 𝐵)} = 𝑥 (𝑥 ∈ 𝐴) ⋁(𝑥 ∈ 𝐵)} = 𝑥 (𝑥 ∉ 𝐴) ⋁(𝑥 ∉ 𝐵)} = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ⋁𝑥 ∈ 𝐵 = 𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ⋃𝐵 = 𝐴 ⋃𝐵 Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Tích Đêcac (Descartes) 30 Định nghĩa: Cho A B hai tập hợp Tích Đêcac A B tập hợp tất cặp (a,b) với 𝑎 ∈ 𝐴 𝑏 ∈ 𝐵 𝐴 × 𝐵 = 𝑎, 𝑏 | a ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵 A = B = A x B = Lưu ý: tích Đêcác khơng có tính chất giao hốn nhiều phép tốn khác tập hợp Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu diễn tập hợp máy tính 31 Xét tập U đủ lớn để chứa tập hợp cho, ví dụ hợp tập hợp cho trước Biểu diễn tập hợp A ứng với xâu a 1a2 an với: n số phần tử U = phần tử thứ i không thuộc A = phần tử thứ i thuộc A Dễ thấy xâu gồm toàn bit U xâu gồm tồn bit Tốn Rời Rạc - ĐHSPHN Biểu diễn tập hợp máy tính 32 Ví dụ: A = {1,2,4} B = {1,3,5} U = {1,2,3,4,5} n = Biểu diễn xâu A: a1a2a3a4 a5? Cách biểu diễn tập hợp xâu bit dễ dàng thực phép toán hợp, giao, trừ tập hợp Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Luyện tập 33 Bằng bảng thuộc tính chứng minh: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Cho A={+,-}; B={a,b,c}; C={1,2,3} Hãy xác định: AxBxC AxC xB BxCxA Toán Rời Rạc - ĐHSPHN THANK YOU! ... = {p | p số nguyên tố} Tập hợp nghiệm pt x2 - 2x + = 0? X = {x | x2 - 2x + = 0} Toán Rời Rạc - ĐHSPHN 11 Tập hợp Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Tập hợp 12 Định nghĩa: Cho trước hai tập hợp A B Ta... TS Đặng Xuân Thọ Mobile: 091 .26 29.383 Email: thodx@hnue.edu.vn Website: http://fit.hnue.edu.vn/~thodx/ Toán rời rạc - ĐHSPHN NỘI DUNG Chương Logic mệnh đề Chương Lý thuyết tập hợp Chương. .. số công thức tổ hợp Chương Suy luận kiểm chứng chương trình Chương Đại số Boole cấu trúc mạch logic Chương Thuật toán Chương Lý thuyết đồ thị Toán Rời Rạc - ĐHSPHN Chương Lý thuyết tập