Bài giảng toán rời rạc chương đồ thị phần các thuật ngữ về đồ thị

Các thuật ngữ về đồ thị Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, K.. Các thuật ngữ về đồ thị 2Những thuật ngữ cơ sở – Định nghĩa 1.. ° Hai đỉnh u và v tr

Đồ thị

7.2 Các thuật ngữ về đồ thị

Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, K H

Rosen, người dịch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh, Nhà xuất bản Khoa học

và kỹ thuật, 1998.

Tài liệu lưu hành nội bộ

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 2

Những thuật ngữ cơ sở

– Định nghĩa 1.

° Hai đỉnh u và v trong một đồ thị vô hướng G được gọi là liền kề (hay láng giềng) nếu {u, v} là một cạnh của G.

° Nếu e = {u, v} thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v.

° Cạnh e cũng được gọi là cạnh nối các đỉnh u và v.

° Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh {u, v}.

– Định nghĩa 2.

° Bậc của một đỉnh trong đồ thị vô hướng là số các cạnh

liên thuộc với nó.

° Riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lần cho bậc của nó.

° Ký hiệu bậc của đỉnh v là deg(v).

Những thuật ngữ cơ sở

– Ví dụ 1 Bậc của các đỉnh trong G và H là bao nhiêu?

b

d

e

deg(a) = 2

deg(b) = deg(c) = deg(f) = 4

deg(d) = 1 Đỉnh treo

deg(e) = 3

deg(g) = 0 Đỉnh cô lập

deg(a) = 4 deg(b) = deg(e) = 6 deg(c) = 1

deg(d) = 5

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 4

Những thuật ngữ cơ sở

– Định lý 1 Định lý bắt tay Cho G = (V, E) là một đồ thị vô

hướng có e cạnh Khi đó

– Ví dụ 2 Có bao nhiêu cạnh trong đồ thị có 10 đỉnh, mỗi đỉnh

có bậc bằng 6?

° Tổng các bậc của đồ thị là 10  6 = 60 Do đó: 2  e = 60 Vậy e = 30.

2 e =  deg (v)

v  V

Những thuật ngữ cơ sở

– Định lý 2 Một đồ thị vô hướng có một số chẵn các đỉnh bậc

lẻ.

– Định nghĩa 3 Cho (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G

° u được gọi là nối tới v.

° v được gọi là được nối từ u.

° Đỉnh u gọi là đỉnh đầu của cạnh (u, v).

° Đỉnh v gọi là đỉnh cuối của cạnh (u, v).

° Đỉnh đầu và đỉnh cuối của khuyên là trùng nhau.

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 6

Những thuật ngữ cơ sở

– Định nghĩa 4 Trong đồ thị có hướng,

° bậc-vào của đỉnh v ký hiệu là deg(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v.

° bậc-ra của đỉnh v ký hiệu là deg(v) là số các cạnh có đỉnh đầu là v.

° (Một khuyên tại một đỉnh góp 1 đơn vị vào bậc-vào và 1 đơn vị vào bậc-ra của đỉnh này.)

Những thuật ngữ cơ sở

– Ví dụ 3 Tìm bậc-vào và bậc-ra của mỗi đỉnh trong G.

a

d

e

f

G

Các bậc-vào là

deg(a) = 2

deg(b) = 2

deg(c) = 3

deg(d) = 2

deg(e) = 3

deg(f ) = 0

Các bậc-ra là

deg(a) = 4

deg(b) = 1

deg(c) = 2

deg(d) = 2

deg(e) = 3

deg(f ) = 0

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 8

Những thuật ngữ cơ sở

– Định lý 3 Gọi G = (V, E) là một đồ thị có hướng Khi đó

– Đồ thị vô hướng nền là đồ thị vô hướng nhận được khi lờ đi

các hướng của các cạnh của đồ thị có hướng.

– Nhận xét: Đồ thị có hướng và đồ thị vô hướng nền của nó có

cùng số cạnh.

 deg (v) =  deg + (v) = E 

Những đồ thị đơn đặc biệt

– Ví dụ 4 Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là K n , là một đơn đồ thị

chứa đúng một cạnh nối mỗi cặp đỉnh phân biệt.

K1

K6

K5

K4

K3

K2

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 10

Những đồ thị đơn đặc biệt

– Ví dụ 5 Chu trình (vòng) C n , với n  3, là một đồ thị có n đỉnh

v1, v2,…,v n và các cạnh {v1, v2}, {v2, v3},…, {v n  1 , v n } và {v n , v1}

Những đồ thị đơn đặc biệt

– Ví dụ 6 Đồ thị hình bánh xe W n , với n  3, là đồ thị có được từ chu trình C n bằng cách:

° thêm một đỉnh vào C n ,

° nối đỉnh này với mỗi đỉnh của C n bằng những cạnh mới

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 12

Những đồ thị đơn đặc biệt

– Ví dụ 7 Các khối n chiều, ký hiệu là Q n , là các đồ thị:

° có 2n đỉnh,

° mỗi đỉnh được biểu diễn bằng xâu nhị phân độ dài n,

° Hai đỉnh là liền kề nếu và chỉ nếu các xâu nhị phân biểu diễn chúng khác nhau đúng một bit

11 10

010

011

Đồ thị phân đôi

– Định nghĩa 5 Một đồ thị đơn G được gọi là đồ thị phân đôi nếu tập các đỉnh V có thể phân làm hai tập con không rổng, rời nhau

V1 và V2 sao cho mỗi cạnh của đồ thị G nối một đỉnh của V1 với

một đỉnh của V2

– Ví dụ 8 C6 là phân đôi

v1

v5

v3

v6

v4

v2

° Các đỉnh của C6

có thể chia thành:

V1 = {v1 , v3 , v5} và

V2 = {v2 , v4 , v6}

° Mỗi cạnh của C6

nối một đỉnh của

V1 với một đỉnh của

V2 .

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 14

Đồ thị phân đôi

– Ví dụ 9 K3 là không phân đôi Vì nếu chia các đỉnh của nó

thành hai phần rời nhau thì một trong hai phần này phải chứa 2 đỉnh; nếu đồ thị là phân đôi thì các đỉnh này không thể nối với

nhau bằng một cạnh, nhưng trong K3 mỗi đỉnh được nối với một đỉnh bất kỳ khác bằng một cạnh

– Ví dụ 10

c

d e

f g

c

d e

f

Đồ thị phân đôi

– Ví dụ 10

c

d e

f g

c

d e

f

Đồ thị G là phân đôi, với {a, b,

d}

và {c, e, f, g}.

Đồ thị H là không phân đôi, vì

° f nối với tất cả các đỉnh khác;

do đó V1 = {f}.

° a và b lại nối với nhau.

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 16

Đồ thị phân đôi

– Ví dụ 11 Đồ thị phân đôi đầy đủ K m,n là đồ thị

° có tập đỉnh được phân thành hai tập con tương ứng với m đỉnh và n đỉnh,

° có một cạnh giữa hai đỉnh nếu và chỉ nếu một đỉnh thuộc tập con này và đỉnh thứ hai thuộc tập con kia

Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt

– Ví dụ 12 Các mạng cục bộ (LAN)

Cấu trúc hình sao

Đồ thị phân đôi đầy đủ K 1,n Cấu trúc vòng trònChu trình C n Đồ thị hình bánh xe WCấu trúc hỗn hợp n

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 18

Một vài ứng dụng của các đồ thị đặc biệt

– Ví dụ 13

° Thuật toán tuần tự (hay nối tiếp)

° Thuật toán song song – Mảng một chiều – Mảng kiểu lưới (hay mảng hai chiều) – Mạng kiểu siêu khối

Các đồ thị mới từ đồ thị cũ

– Định nghĩa 6 Đồ thị con của đồ thị G = (V,E) là đồ thị H = (W,F) trong đó W  V và F  E.

– Ví dụ 14 Đồ thị G là đồ thị con của đồ thị K5

b

c b a

a

05/10/24 7.2 Các thuật ngữ về đồ thị 20

Các đồ thị mới từ đồ thị cũ

– Định nghĩa 7 (Đồ thị) hợp của hai đồ thị đơn G1 = (V1 , E1 )và G2

= (V2 , E2 )là đồ thị đơn có

° tập các đỉnh là V1V2

° tập các cạnh là E1E2

– Ký hiệu: hợp của các đồ thị G1 và G2 là G1G2

– Ví dụ 15 Đồ thị hợp của G1 và G2

a

c b

c b