Bài giảng toán rời rạc chương 1 1 nguyễn viết hưng, trần sơn hải

Vị từ lượng từ • Định nghĩa: Cho A tập hợp khác rỗng Giả sử, ứng với x = a ∈ A ta có mệnh đề p(a) Khi đó, ta nói p = p(x) vị từ theo biến (xác định A) Vị từ lượng từ • Định nghĩa: Tổng quát, cho A , A , A …là n tập hợp khác trống Giả sử ứng với (x ,x ,.,x ) = (a ,a ,.,a ) ∈A ×A × ×A , ta có mệnh đề n n n p(a ,a ,.,a ) Khi ta nói p = p(x ,x ,.,x ) vị từ theo n biến(xác định n n A ×A × ×A ) n Vị từ lượng từ • Ví dụ 1: Xét p(n) = “n > 2” vị từ biến xác định tập số tự nhiên N Ta thấy với n = 3;4 ta mệnh đề p(3),p(4), với n = 0,1 ta mệnh đề sai p(0),p(1) Vị từ lượng từ • Ví dụ Xét p(x,y) = “x2 + y = 1” vị từ theo hai biến xác định R2, ta thấy p(0,1) mệnh đề đúng, p(1,1) mệnh đề sai Vị từ lượng từ • Định nghĩa: Cho trước vị từ p(x), q(x) theo biến x ∈ A Khi ấy, – Phủ định mệnh đề p kí hiệu ¬p vị từ mà thay x phần tử cố định A ta mệnh đề ¬(p(a)) – Phép nối liền(tương ứng nối rồi, kéo theo…) p q ký hiệu p∧q( tương ứng p ∨q, p→q) vị từ theo biến x mà thay x bới phần tử cố định a A ta mệnh đề p(a)∧q(a) ( tương ứng p(a) ∨q(a), p(a)→q(a)) Vị từ lượng từ • • Định nghĩa: Cho p(x) vị từ theo biến xác định A Ta định ngh ĩa m ệnh đề lượng t hóa p(x) sau: – Mệnh đề “Với x thuộc A,p(x)”, kí hiệu “∀x ∈ A, p(x)”, mệnh đề định “∀x ∈ A, p(x)” p(a) với giá trị a ∈ A – Mệnh đề “Tồn tại(ít )(hay có (ít nhất) x thuộc A, p(x))” kí hiệu :“∃x ∈ A, p(x)” , mệnh đề định “∃x ∈ A, p(x)” có giá trị x = a cho mệnh đề p(a0) Chú ý: Các mệnh đề lượng từ hóa mệnh đề có chân trị xác định ch ứ khơng cịn vị từ theo biến x Vị từ lượng từ 1) Mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + 3x + ≤ 0” mệnh đề sai hay ? Mệnh đề sai tồn x0 = ∈ R mà x02 + 3x0 + > 2) Mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + 3x + ≤ 0” mệnh đề hay sai? Mệnh đề tồn x0 = –1 ∈ R mà x02 + 3x0 + ≤ Vị từ lượng từ Mệnh đề “∀x ∈ R, x2 + ≥ 2x” mệnh đề hay sai? Mệnh đề với ∀x ∈ R, , ta ln ln có x2-2x + ≥ Mệnh đề “∃x ∈ R, x2 + < 0” mệnh đề hay sai? Vị từ lượng từ • Định nghĩa: Cho p(x, y) vị từ theo hai biến x, y xác định B Ta định nghóa mệnh đề lượng từ hóa p(x, y) sau: “∀x ∈ A,∀y ∈ B, p(x, y)” = “∀x ∈ A, (∀y ∈ B, p(x, y))” “∀x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” = “∀x ∈ A, (∃y ∈ B, p(x, y))” “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” = “∃x ∈ A, (∀y ∈ B, p(x, y))” “∃x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” = “∃x ∈ A, (∃y ∈ B, p(x, y))” Vị từ lượng từ Xét vị từ p(x, y) = “x + 2y < 1” theo hai biến x, y xác định R2 Mệnh đề “∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề sai tồn x0 = 0, y0 = ∈ R mà x0 + 2y0 ≥ Mệnh đề “∀x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề với x = a ∈ R, tồn ya ∈ R ya = –a/2, cho a + 2ya < Vị từ lượng từ Mệnh đề “∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” hay sai Mệnh đề sai khơng thể có x = a ∈ R để bất đẳng thức a + 2y < thỏa với y ∈ R (chẳng hạn, y =–a/2 + thỏa bất đẳng thức này) Mệnh đề “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1” hay sai? Mệnh đề tồn x0 = 0, y0 = ∈ R chẳng hạn thỏa x0 + 2y0 < Vị từ lượng từ Cho p(x, y) vị từ theo hai biến x, y xác định B Khi đó: 1) “∀x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” ⇔ “∀y ∈ B, ∀x ∈ A, p(x, y)” 2) “∃x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” ⇔ “∃y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” 3) “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” ⇒ “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” Chiều đảo 3) nói chung khơng Vị từ lượng từ • Chứng minh 3) Giả sử “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” Khi đó, tồn a ∈ A cho “∀y ∈ B, p(x, y)” đúng, nghĩa thay y = b ∈ B p(a,b) Như vậy, y = b ∈ B tuỳ chọn ta chọn x = a để “∃x ∈ A, p(x, y)” Do đó, “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” mệnh đề Ví dụ thể chiều đảo chưa đúng: • Gọi p(x,y) vị từ theo biến thực • Nếu thay y tuỳ ý x = - y x + y = p(x,y) = “x + y = 1”, nên mệnh đề ∃x ∈ A, p(x, y) Nên mệnh đề “∀y∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” • Ngược lại, chọn x = a tuỳ ý, ta chọn y = -a để “∀y ∈ B, p(x, y)” sai Điều chứng tỏ, “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” sai • Do đó, phép kéo theo sau sai: “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)” -> “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” Vị từ lượng từ • Trong mệnh đề lượng từ hoá từ vị từ theo nhi ều bi ến độc l ập, ta hoán vị hai lượng từ đứng cạnh thì: Mệnh đề tương đương logic với mệnh đề cũ hai lượng từ loại Mệnh đề hệ logic mệnh đề cũ hai lượng từ trước hoán vị có dạng ∃ ∀ Vị từ lượng từ Định lý: a) Với p(x) vị từ theo biến xác định A, ta có: ( ) ( ) x∈ , pvị từx p(x⇔, x∃, x ,∈x A) có , pđượxc cách thay b) Phủ định mệnh đề lượn∀ g từ hóaAtừ n lượng từ ∀ lượng từ ∃ ngược lại, thay vị từ p(x , x , , x ) vị từ ∃x ∈ A, p x ⇔ ∀x ∈ A1, p2 x n ( ) p ( x1 , x2 , , xn ) ( ) Phủ Định ¬∀x P(x) ⇔ ∃x ¬P(x) ¬∃x P(x) ⇔ ∀x ¬P(x) Vị từ lượng từ Phủ định mệnh đề “Hơm nay, sinh viên lớp TH1 có mặt” ? “Hơm nay, có (ít nhất) sinh viên lớp TH1vắng mặt” Phủ định mệnh đề “Trong lớp TH2có (ít một) sinh viên thưởng” gì? “Trong lớp TH2khơng có sinh viên thưởng” Vị từ lượng từ Phủ định mệnh đề “∀x ∈ A, 2x + ≤ 0” ? Phủ định mệnh đề “∃x ∈ A, 2x + > 0” Phủ định mệnh đề “∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ R, | x – a| < δ → |f(x) – f(a)| < ε” (điều kiện để hàm số f(x) liên tục x = a) Phủ định mệnh đề là: “∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ R, | x – a| < δ ∧ (|f(x) – f(a)| ≥ ε)” Vị từ lượng từ Qui tắc đặc biệt hố phổ dụng: Nếu mệnh đề cĩ dạng lượng từ hố đĩ biến x ∈ A bị buộc lượng từ phổ dụng ∀, thay x a ∈ A ta mệnh đề Vị từ lượng từ Ví dụ: “Mọi người chết” “Socrate người” Vậy “Socrate hi sinh” Vị từ lượng từ • Qui tắc tổng qt hố phổ dụng: Nếu mệnh đề lượng từ hoá, thay biến buộc lượng từ ∀ phần tử cố định tuỳ ý tập hợp tương ứng mà mệnh đề nhận có chân trị thân mệnh đề lượng từ hoá ban đầu c ũng có chân trị Inference Rules for Quantifiers ∀ ∀x P(x) • ∴P(o) (substitute any object o) P(g) (for g a general element of u.d.) ∴∀x P(x) ∀ ∃x P(x) • ∴P(c) (substitute a new constant c) P(o) ∴∃x P(x) (substitute any extant object o) P∨(P∧Q) ⇔ (P ∧ 1)∨(P∧Q) ⇔ P ∧ (1∨Q) ⇔ P ∧ (1) ⇔ P