Bài giảng Toán rời rạc: Chương 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Logic; Sự tương đương các mệnh đề; Vị từ và lượng từ; Các phép suy diễn; Chuẩn tắc hội, chuẩn tắc tuyển ; Các phương pháp chứng minh. Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG ĐẠI SỐ LOGIC Nguyễn Quỳnh Diệp diepnq@tlu.edu.vn File Bài giảng: goo.gl/Y3cpLF goo.gl/TYxXQD Nguyễn Quỳnh Diệp NỘI DUNG • Logic • Sự tương đương mệnh đề • Vị từ lượng từ • Các phép suy diễn • Chuẩn tắc hội, chuẩn tắc tuyển • Các phương pháp chứng minh Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 1.1 LOGIC Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp LOGIC • Là kiến thức sở cho lập luận tốn học • Bao gồm: logic mệnh đề logic vị từ • Ứng dụng: Thiết kế máy tính Đặc tả hệ thống Trí tuệ nhân tạo Lập trình máy tính Ngơn ngữ lập trình Các lĩnh vực khác khoa học máy tính Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp LOGIC MỆNH ĐỀ • Là logic đơn giản • Mệnh đề: Mệnh đề câu sai - Giá trị chân lí mệnh đề: T, F - Kí hiệu mệnh đề: p, q, r, s • Ví dụ: - Hà Nội thủ đô nước Việt Nam - số chẵn - Bạn ăn cơm chưa? Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp MỆNH ĐỀ PHỨC HỢP • Được tạo từ mệnh đề cách sử dụng tốn tử logic • Tốn tử logic: - Phủ định - Hội - Tuyển - Tuyển loại - Mệnh đề kéo theo - Mệnh đề hai điều kiện Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp PHỦ ĐỊNH • Định nghĩa: Giả sử 𝒑 mệnh đề Phủ định 𝒑 mệnh đề, p sai, sai p - Kí hiu:ơ hoc ã Vớ d: ã Bng chõn lớ: 𝒑 ¬𝒑 T F F T Tốn rời rạc - 10 không số nguyên tố Nguyễn Quỳnh Diệp HỘI • Định nghĩa: Giả sử 𝒑 𝒒 hai mệnh đề Mệnh đề “𝒑 𝒗à 𝒒” mệnh đề hai đúng, sai trường hợp lại Mệnh đề 𝒑𝒒 gọi hội 𝒑 𝒒 - Kí hiệu: 𝒑𝒒 • Ví dụ: - số nguyên tố số chẵn - số nguyên tố số chẵn Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp TUYỂN • Định nghĩa: Giả sử 𝒑 𝒒 hai mệnh đề Mệnh đề “𝒑 𝒒” mệnh đề sai hai sai, trường hợp lại Mệnh đề 𝒑𝒒 gọi tuyển 𝒑 𝒒 - Kí hiệu: 𝒑𝒒 • Ví dụ: - Hơm trời mưa lớp học nghỉ - số nguyên tố số chẵn Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp HỘI, TUYỂN • Bảng giá trị chân lí: 𝒑 𝒒 𝒑𝒒 𝒑𝒒 T T T T T F F T F T F T F F F F Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 10 CÁC QUY TẮC SUY DIỄN • Ví dụ 1: Chỉ suy luận đúng: 𝒑 →𝒒 𝒑→𝒓 𝒓 →𝒔 ∴𝒒→𝒔 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 71 CÁC QUY TẮC SUY DIỄN • Ví dụ: Suy luận có khơng: “Nếu muốn họp sáng thứ ba An phải dậy sớm Nếu An nghe nhạc tối thứ hai An muộn Nếu An muộn thức dậy sớm An phải họp sáng thứ ba ngủ ngày Nhưng An họp ngủ Vậy An không nghe nhạc tối thứ hai An phải bỏ họp sáng thứ ba.” Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 72 BÀI TẬP Bài 7: Chỉ công thức áp dụng quy tắc suy diễn a 𝑿𝟏 ∧ ( 𝑿𝟏 → 𝑿𝟐 ∧ 𝑿𝟑 ∨ 𝑿𝟒 ∧ (𝑿𝟒 → 𝑿𝟐 )) → (𝑿𝟑 ∨ 𝑿𝟓 ) b 𝑿𝟏 ∨ 𝑿𝟐 → 𝑿𝟑 𝑿𝟑 → (𝑿𝟒 ∨ 𝑿𝟓 ) 𝑿𝟒 ∧ 𝑿𝟔 𝑿𝟔 → 𝑿𝟓 ∴ 𝑿𝟏 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 73 BÀI TẬP Bài 8: Nếu nghệ sĩ nhân dân (NSND) X không trình diễn hay số vé bán 50 vé đêm biểu diễn Cơng viên Hồ Tây bị hủy ông bầu buồn Nếu đêm biểu diễn hủy bỏ phải trả tiền vé lại cho người xem Tiền vé không trả lại cho người xem Vậy NSND X trình diễn Suy luận có khơng? Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 74 1.6 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 75 ĐẶT VẤN ĐỀ • Làm để biết giá trị đúng/sai mệnh đề? • Có phương pháp nào? Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 76 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Các phương pháp chứng minh định lí: • Chứng minh trực tiếp • Chứng minh gián tiếp • Chứng minh phản chứng • Chứng minh trường hợp • Chứng minh tính tương đương Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 77 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Định nghĩa 1: Số nguyên n chẵn tồn số nguyên k cho n = 2k lẻ tồn số nguyên k cho n = 2k+1 Định nghĩa 2: Số thực r gọi hữu tỉ tồn hai số nguyên p q với q cho r = p/q Một số thực hữu tỉ gọi vơ tỉ Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 78 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh trực tiếp: Chứng minh mệnh đề kéo theo 𝒑 → 𝒒 cách xuất phát từ 𝒑 đúng, 𝒒 • Ví dụ: Chứng minh trực tiếp: “Nếu 𝒏 số nguyên lẻ 𝒏𝟐 số nguyên lẻ” Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 79 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh gián tiếp: Chứng minh mệnh đề kéo theo (𝒑 → 𝒒) cách chứng minh mệnh đề (𝒒 → 𝒑) • Ví dụ: Chứng minh gián tiếp: “Nếu 3𝒏 + 𝟐 số lẻ 𝒏 lẻ” Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 80 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh phản chứng: Chỉ mệnh đề 𝒑 sai, 𝒑 • Ví dụ: Chứng minh phản chứng: “ 𝟐 vơ tỉ” Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 81 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh tính tương đương: Để chứng minh mệnh đề kéo theo có dạng 𝒑 ↔ 𝒒, ta sử dụng 𝒑 ↔ 𝒒 ≡ 𝒑 → 𝒒 ∧ (𝒒 → 𝒑) • Ví dụ: Chứng minh định lí: “n số lẻ n2 lẻ” Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 82 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Chứng minh trường hợp: Để chứng minh mệnh đề kéo theo có dạng: 𝒑𝟏 ∨ 𝒑𝟐 ∨ ⋯ ∨ 𝒑𝒏 → 𝒒 dùng 𝒑𝟏 ∨ ⋯ ∨ 𝒑𝒏 → 𝒒 ↔ [ 𝒑𝟏 → 𝒒 ∧ ⋯ ∧ 𝒑𝒏 → 𝒒 ] Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 83 BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh x số vơ tỉ 1/x số vô tỉ Bài 2: Chứng minh số 64 ngày chọn , có 10 ngày rơi vào thứ tuần Bài 3: Chứng minh x, y số thực, đó: max(x, y) + min(x,y) = x + y Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 84 Nguyễn Quỳnh Diệp 85 ... cao 1, 5m trừ bạn 18 tuổi” Giả sử ký hiệu mệnh đề sau: - p “Bạn lái xe máy” - q “Bạn cao 1, 5m” - s “Bạn 18 tuổi” Khi ta có mệnh đề: (q