Bài giảng Toán rời rạc: Chương 3 Phép quy nạp và đệ quy cung cấp cho người học những kiến thức như: Quy nạp toán học, Đệ quy. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm chi tiết nội dung của bài giảng!
CHƯƠNG PHÉP QUY NẠP VÀ ĐỆ QUY Nguyễn Quỳnh Diệp diepnq@tlu.edu.vn File Bài giảng: goo.gl/Y3cpLF goo.gl/TYxXQD Nguyễn Quỳnh Diệp NỘI DUNG • Quy nạp tốn học • Đệ quy Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 3.1 QUY NẠP TỐN HỌC Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp QUY NẠP TOÁN HỌC Các phương pháp chứng minh sở: • • • • • Chứng minh trực tiếp Chứng minh gián tiếp Chứng minh phản chứng Chứng minh trường hợp Chứng minh tương đương Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp QUY NẠP TOÁN HỌC Chứng minh quy nạp • Là kĩ thuật sử dụng để chứng minh mệnh đề phổ quát tập số nguyên dương, x P(x) với x Z+ • Bao gồm bước: 1) Bước sở: mệnh đề P(1) 2) Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề kéo theo P(k) P(k+1) với số nguyên dương k Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp QUY NẠP TỐN HỌC Ví dụ 1: Chứng minh tổng n số nguyên dương lẻ n2 + + + + … + 2𝑛 − = 𝑛2 • Bước sở: P(1) ln = 12 • Bước quy nạp: giả định P(k) với n= k, tức là: + + + + … + 2𝑘 − = 𝑘 Ta phải chứng minh P với n=k+1 Tức là: P(k+1) = + + + + … + 2𝑘 − + 2𝑘 + = (𝑘 + 1)2 VT = 𝑘 + 2𝑘 + = (𝑘 + 1)2 =VP • Vậy P(n) với n nguyên dương Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp QUY NẠP TỐN HỌC Ví dụ 2: Bằng quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức n< 2n với số nguyên dương n Ví dụ 3: Bằng quy nạp toán học, chứng minh tổng hữu hạn số hạng cấp số nhân: 𝑛 𝑗=0 𝑛+1 − 𝑎 𝑎𝑟 𝑎𝑟 𝑗 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟 + ⋯ + 𝑎𝑟 𝑛 = 𝑟−1 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp BÀI TẬP Bài 1: Tìm cơng thức tính tổng: 1 + +⋯+ 1.2 2.3 𝑛 (𝑛 + 1) Dùng quy nạp toán học để chứng minh kết vừa tìm Bài 2: Chứng tỏ với n số nguyên dương ta có: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 3.2 ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 10 ĐỆ QUY • Phép đệ quy: Định nghĩa đối tượng qua Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 11 ĐỆ QUY Định nghĩa đệ quy • Là định nghĩa dãy, tập hợp cách định nghĩa số hạng dãy, tập hợp thông qua số hạng trước Các hàm định nghĩa đệ quy: 1) Bước sở: cho giá trị hàm 2) Bước đệ quy: Cho quy tắc tính giá trị số nguyên n từ giá trị nhỏ n Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 12 ĐỆ QUY Ví dụ: Định nghĩa đệ quy hàm giai thừa F(n) = n! • Bước sở: F(0) = 0! = • Bước đệ quy: - F(1) = 1*F(0) = 1.1 = - F(2) = 2*F(1) = 2.1 = - F(3) = 3*F(2) = 3.2 = - F(n) = n*F(n-1) Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 13 ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Các số Fibonaci f0, f1, f2 định nghĩa phương trình: f0=0, f1= fn = fn-1 + fn-2 n= 2, 3, 4, Ví dụ: • Tìm số hạng f2 ,f3 ,f4 ,f5 ,f6 dãy Fibonacci Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 14 BÀI TẬP Bài 3: Hãy định nghĩa đệ quy hàm sau: a) an, với n 0, n nguyên b) 𝒏 𝒌=𝟎 𝒌 Bài 4: Hãy cho định nghĩa đệ quy dãy {an} , n = 1, 2, a) an = 6n b) an = 2n + c) an = 10n d) an = Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 15 CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Giống định nghĩa đệ quy hàm, định nghĩa đệ quy cho tập hợp gồm phần: bước sở bước đệ quy - Trong bước CƠ SỞ: người ta cho phần tử xuất phát - Trong bước ĐỆ QUYy: người ta cho quy tắc để tạo phần tử từ phần tử biết Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 16 CÁC TẬP HỢP ĐƯỢC ĐỊNH NGHĨA ĐỆ QUY Ví dụ: Cho tập S định nghĩa sau: • BƯỚC CƠ SỞ: 3 S • BƯỚC ĐỆ QUY: Nếu x S y S x + y S Hãy phần tử tập S sau lần đệ quy Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 17 CÁC THUẬT TOÁN ĐỆ QUY Định nghĩa 1: Một thuật toán gọi đệ quy, giải tốn cách rút gọn liên tiếp tốn tới giai đoạn tốn ban đầu có liệu đầu vào nhỏ Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 20 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Ví dụ : Tìm thuật tốn đệ quy tính giá trị an, với a số thực khác n số nguyên không âm THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tính an Procedure power(a: số thực khác 0; n: nguyên không âm) if n = then power(a, n) := else power(a,n) := a.power(a, n-1) Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 21 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Ví dụ 1: Biểu diễn thuật tốn tính ước chung lớn hai số a,b thủ tục đệ quy Ví dụ 2: Biểu diễn thuật tốn tìm kiếm tuyến tính tìm kiếm nhị phân thủ tục đệ quy Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 22 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Tìm kiếm tuyến tính THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tìm kiếm tuyến tính Procedure search (i, j, x) if = x then location := i else if 𝑖 = 𝑗 then location := else search(i+1, j, x) Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 23 CÁC THUẬT TỐN ĐỆ QUY Tìm kiếm nhị phân THUẬT TỐN : Thuật tốn đệ quy tìm kiếm nhị phân Procedure binary search (i, j, x) m := (i+j)/2 if x = then location := m else if (𝐱 < 𝑎𝑚 i < m ) then binary search(x,i, m-1) else if ( x > am m < j) then binary search(x,m+1, j) else location :=0 Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 24 BÀI TẬP Bài 4: Xây dựng thuật tốn đệ quy tính n! Bài 5: Xây dựng thuật tốn đệ quy tính số fibonacci Toán rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 25 BÀI TẬP Bài 6: Hãy đưa thuật tốn đệ quy tìm tổng n số nguyên dương lẻ Bài 7: Số hạng thứ n định nghĩa sau: a0 = 1, a1=2 an= an-1.an-2, với n = 2,3, a) Hãy định nghĩa hàm đệ quy để tính an b) Xây dựng thuật tốn đệ quy để tính an Tốn rời rạc Nguyễn Quỳnh Diệp 26 Nguyễn Quỳnh Diệp 27