Bài giảng toán rời rạc chương 3 quan hệ (phạm thế bảo)

Ch ng LOGO TOÁN R I R C Ph m Th B o email: ptbao@hcmus.edu.vn www.math.hcmus.edu.vn/~ptbao/TRR/ Ch ng QUAN H I Quan h nh ngh a tính ch t Bi u di n quan h Quan h t ng đ ng ng d Quan h th t , bi u đ Hass nh ngh a M t quan h hai t t p A đ n t p B t p c a tích R  A x B Chúng ta s vi t a R b thay cho (a, b)  R Quan h t A đ n đ c g i quan h A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } nh ngh a Ví d A = t p sinh viên; B = l p h c R = {(a, b) | sinh viên a h c l p b} nh ngh a Ví d Cho A = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, b) | a c c a b} Khi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 Các tính ch t c a Quan h nh ngh a Quan h R A đ c g i ph n x n u: a  A, a R a Ví d Trên t p A = {1, 2, 3, 4}, quan h :  R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} khơng ph n x (3, 3)  R1  R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} ph n x (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)  R2   Quan h  Z ph n x a  a v i m i a Z Quan h > Z không ph n x > Quan h “ | ” (“ c s ”) Z + ph n x m i s nguyên a c c a Chú ý Quan h R t p A ph n x n u ch a đ chéo c a A × A :  = {(a, a); a  A} 1 ng Các tính ch t c a Quan h nh ngh a Quan h R A đ c g i đ i x ng n u: a  A b  A (a R b)  (b R a) Quan h R đ c g i ph n x ng n u  a  A b  A (a R b)  (b R a)  (a = b) Ví d  Quan h R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} t p A = {1, 2, 3, 4} đ i x ng Quan h  Z khơng đ i x ng Tuy nhiên ph n x ng (a  b)  (b  a)  (a = b)  10 Các tính ch t c a Quan h  Quan h “ | ” (“ c s ”) Z + không đ i x ng Tuy nhiên có tính ph n x ng (a | b)  (b | a)  (a = b) Chú ý Quan h R A đ i x ng n u đ i x ng qua đ ng chéo  c a A × A Quan h R ph n x ng n u ch có ph n t n m đ ng chéo đ i x ng qua  c a A × A 4 3 2 1 * * * 42 Bi u đ Hasse M i poset có th bi u di n b i đ th đ c bi t ta g i bi u đ Hasse đ nh ngh a bi u đ Hasse c n khái ni m ph n t tr i tr i tr c ti p nh ngh a Ph n t b poset (S,  ) đ c g i ph n t tr i c a ph n t a S n u a  b Chúng ta c ng nói r ng a đ c tr i b i b Ph n t b đ c g i tr i tr c ti p c a a n u b tr i c a a, không t n t i tr i c cho a  c  b, a  c  b 43 Bi u đ Hasse  Ta đ nh ngh a Bi u đ Hasse c a poset (S,  ) đ th : M i ph n t c a S đ ph ng c bi u di n b i m t m m t  N u b tr i tr c ti p c a a v m t cung t a đ n b b d a  b  d, a  c e a c 44 Bi u đ Hasse Ví d Bi u đ Hasse c a poset ({1,2,3,4}, ) có th v nh sau Chú ý Chúng ta không v m i tên v i qui c m i cung đ u t d i lên 45 Ví d Bi u đ Hasse c a P({a,b,c}) bi u đ Hasse c a chu i bit đ dài v i th t t n {a,b,c} {a,b} {a} 111 {b,c} {a,c} 110 {b} {c} 100  Gi ng không!!! 011 101 010 000 001 46 Ph n t t i đ i ph n t t i ti u Xét poset có bi u đ Hasse nh d  M i đ nh màu đ t i đ i  M i đ nh màu xanh t i ti u i đây:  Không có cung xu t phát t m t i đ i  Khơng có cung k t thúc m t i ti u 47 Chú ý Trong m t poset S h u h n, ph n t t i đ i ph n t t i ti u luôn t n t i  Th t v y, xu t phát t điêm b t k a0  S N u a0 khơng t i ti u, t n t i ti p t c nh v y cho đ n tìm đ Ph n t t i đ i tìm đ c b ng ph a0 a1 a2 a1  a0, c ph n t t i ti u ng pháp t ng t 48 Ví d Tìm ph n t t i đ i, t i ti u c a poset ({2, 4, 5, 10, 12, 20, 25}, | ) ? Gi i T bi u đ Hasse, th y r ng 12, 20, 25 ph n t t i đ i, 2, ph n t t i ti u Nh v y ph n t t i đ i, t i ti u c a poset có th khơng nh t 12 20 10 25 49 Ví d Tìm ph n t t i đ i, t i ti u c a poset chu i bit đ dài 3? Gi i T bi u đ Hasse, th y r ng 111 ph n t t i đ i nh t 000 ph n t t i ti u nh t 111 ph n t l n nh t 000 ph n t nh nh t theo ngh a: 000  abc 111 110 011 101  111 100 010 v i m i chu i abc 000 001 50 Ch n trên, ch n d i nh ngh a Cho (S, ) poset A  S Ph n t ch n c a A ph n t x  S (có th thu c A ho c không) cho  a  A, a  x Ph n t ch n d  a  A, x  a a c g i c a A ph n t x  S cho b Ví d Ph n t ch n c a {g,j} a d e f h i j T i không ph i b? Ch n trên, ch n d i 51 nh ngh a Cho (S,  ) poset A  S Ch n nh nh t c a A ph n t ch n x c a A cho m i ch n y c a A, ta đ u có y  x Ch n d i l n nh t c a A ph n t ch n d i x c a A cho m i ch n d i y c a A, ta có y  x Ch n nh nh t c a : supA Ch n d i l n nh t: infA Ch Ch n trên, ch n d Ví d i Ch n nh nh t c a {i,j} d Ví d Ch n d i chung l n nh t c a {g,j} gì? a b c g ng d e f h i j Ch n trên, ch n d i 53 Ch n nh nh t (n u có) c a A = {a, b} đ hi u b i a  b c ký Ch n d i l n nh t (n u có) c a A = {a, b} đ oc ký hi u b iab a c g b d e f h i j Ví d i  j = d Ví d b  c = f 54 S p x p topo Chú ý M i poset h u h n đ u có ph n t t i ti u a1 shoes socks belt jacket trousers cravat uwear shirt watch Ví d shirt ph n t t i ti u  Sau lo i b ph n t a1 t p cịn l i v n poset 55 S p x p topo  G i a2 ph n t t i ti u c a poset m i shoes socks belt jacket trousers cravat uwear shirt Khơng có ch n c a a1 a2 watch underwear ph n t t i ti u m i 56 Ti p t c trình cho đ n khơng cịn ph n t n a Và cu i s có s s p x p a1, a2, …, am shoes socks belt jacket trousers Caravat uwear shirt G i s p x p topo watch ... Khi a = jka Suy j = k = 1, ngh a a = b Khơng ph i Ví d (Z, | ) poset? Ph n x ng? 3 | -3 , -3 |3, Không nh ng  -3 33 (P(S),  ), P(S) t p h p c a S, m t poset? Có, poset Ph n x ? B c c u? Ph n x... b3, b4, b5} đ c bi u di n b i matr n b1 b2 b3 b4 b5 Khi R g m c p: 0 0  M R  1 1 0 1 1 a1 a2 a3 {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)} 16 Bi u di n Quan. .. (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không ph n x (3, 3)  R1  R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3) , (4, 1), (4, 4)} ph n x (1,1), (2, 2), (3, 3) , (4, 4)  R2   Quan h  Z ph n x