Bài giảng toán rời rạc chương 1 2 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University CHƯƠNG I : KHÁI NIỆM CƠ BẢN LOGIC VỊ TỪ NỘI DUNG Các công thức logic vị từ Dạng chuẩn tắc, dạng chuẩn tắc hội dạng chuẩn tắc tuyển công thức Các công thức kiểm tra tính tính sai công thức logic vị tự cấp @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NỘI DUNG Các công thức logic vị từ Dạng chuẩn tắc, dạng chuẩn tắc hội dạng chuẩn tắc tuyển công thức Các công thức kiểm tra tính tính sai công thức logic vị tự cấp @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.1 VỊ TỪ VÀ GIÁ TRỊ CHÂN LÝ CỦA VỊ TỪ  Biểu thức P(x1, x1,…, xn) (n≥1, với xi lấy giá trị tập Mi (i=1,2,…,n)) gọi vị từ n biến xác định trường M=M1×M2×… × Mn biểu thức P(x1, x1, , xn) mệnh đề hoặc sai  Nếu ta thay biến xi Mi (i=1,2,…,n) ta P(x1, x1,…, xn) mệnh đề hoặc sai  Thường ký hiệu vị từ chữ P, Q, R, F… (có thể kèm số) gọi biến vị từ  Vị từ biến gọi vị từ cấp @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VỊ TỪ BIẾN (1/2) Cho vị từ biến P(x) Q(x) trường M  Phủ định P(x) ký hiệu M mà thay x=aM ta P (x) vị từ trường mệnh đề P (a ) nhận giá trị P(a) nhận giá trị sai ngược lại  Hội (˄) vị từ P(x) với vị từ Q(x) ta vị từ P(x)˄Q(x) trường M mà thay x=aM ta mệnh đề P(a)˄Q(a) nhận giá trị P(a) Q(a) nhận giá trị đúng, sai trường hợp lại @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN VỊ TỪ BIẾN (2/2) Cho vị từ biến P(x) Q(x) trường M  Tuyển (˅) vị từ P(x) với vị từ Q(x) ta vị từ P(x)˅Q(x) trường M mà thay x=aM ta mệnh đề P(a)˅Q(a) nhận giá trị sai P(a) Q(a) nhận giá trị sai, trường hợp lại  Vị từ P(x) suy (→) vị từ Q(x) trường M mà thay x=aM ta mệnh đề P(a)→Q(a) P(a) sai P(a) Q(a) Mệnh đề sai giả thiết P(a) kết luận Q(a) sai @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.3 Ý NGHĨA VỊ TỪ THEO LÝ THUYẾT TẬP HỢP  Cho P(x) vị từ cấp trường M ≠ , tập tất điểm xM mà P(x) ký hiệu EP={xM | P(x) đúng}  Ứng với vị từ P(x) trường M ta có EPM Ngược lại, ứng với tập EM có tồn vị từ P(x) xác định M cho E=EP  Gọi EP={xM | P(x) đúng} miền vị từ P(x) trường M, E P =M \ EP miền sai P(x) trường M ta có: EP  EP  M EP  EP   @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.4 ĐỊNH NGHĨA CÔNG THỨC TRONG LOGIC VỊ TỪ (1/3)  Mỗi biến mệnh đề X, Y, Z (có thể có số) biến vị từ P, Q, R, F (có thể có số) gọi cơng thức  Nếu A, B cơng thức biểu thức: (A˄B), (A˅B), (A→B), A công thức  Nếu A công thức (x)A (x)A cơng thức Nhận xét:  Từ định nghĩa ta thấy, logic vị tự gồm phép toán hội (˄), tuyển (˅), kéo theo (→), phủ định (-) định nghĩa logic mệnh đề  Trong logic mệnh đề sử dụng lượng từ: với () tồn () @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.4 ĐỊNH NGHĨA CÔNG THỨC TRONG LOGIC VỊ TỪ (2/3) Định nghĩa  :  Giả sử A công thức xác định trường M, đó:  (x)A mệnh đề Mệnh đề A với giá trị x trường M sai trường hợp ngược lại Mệnh đề (x)A không phụ thuộc vào x diễn đạt: “đối với x, A) Ký hiệu  gọi lượng từ với (lượng từ phổ dụng)  (x)A mệnh đề Mệnh đề có phần tử M để A sai trường hợp ngược lại Biểu diễn (x)A diễn đạt: “tồn x, A) Lượng từ  phụ thuộc vào x gọi lượng từ tồn @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 1.4 ĐỊNH NGHĨA CÔNG THỨC TRONG LOGIC VỊ TỪ (3/3) Một số nhận xét lưu ý:  Các mệnh đề (x)A, (x)A gọi lượng từ hóa vị từ A lượng từ phổ dụng () lượng từ tồn ()  Trong công thức (x)A ((x)A) A miền tác dụng lượng tử phổ dụng (lượng từ tồn tại)  Nếu P(x) vị từ xác định trường M={a1, a2,…, an} ta ln có: x P( x)  Pa1   Pa2    Pan  x P( x)  Pa1   Pa2    Pan  @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 10 3.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG (3/5) • Bước 3: Đưa ký hiệu lượng từ   A2 lên trước phép toán ˅,˄,─ ta công thức A3 (≡A2 ≡A1≡A) cách áp dụng công thức đồng ([23] đến [34]) x A  H  x  A  H  x A  H  x  A  H  x A  H  x  A  H  x A  H  x  A  H  (với H công thức logic mệnh đề) xP( x)  xQ( x)  xP( x)  Q( x) xP( x)  xQ( x)  xy P( x)  Q( y) xP( x)  xQ( x)  xP( x)  Q( x) xP( x)  xQ( x)  xy P( x)  Q( y) xP( x)  xQ( x)  xy P( x)  Q( y) xP( x)  xQ( x)  xy P( x)  Q( y) xP( x)  xQ( x)  xy P( x)  Q( y) xP( x)  xQ( x)  xy P( x)  Q( y) Nếu A3 phần công thức đứng sau ký hiệu lượng từ , ta ký hiệu qua A0 A3 ≡ (,)A0 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 25 3.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG (4/5) • Bước 4: a Trong A0 A3, ta áp dụng công thức đồng X˅(Y˄Z) ≡ (X˅Y)˄(X˅Z) ta A*0 ≡ A0, với A*0 DCTH A0, hay A4 ≡ (lượng từ) A*0 (≡ A) DCTH A b Trong A0 A3, ta áp dụng công thức đồng X˄(Y˅Z) ≡ (X˄Y)˅(X˄Z) ta A+0 ≡ A0, với A+0 DCTT A0, hay A4 ≡ (lượng từ) A+0 (≡ A) DCTT A @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 26 3.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG (5/5) • Bước 5: a Nếu DCTH A mà TSC chứa biến đồng với phủ định A b Nếu DCTT A mà HSC chứa biến đồng với phủ định A sai @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 27 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (1/10)  Logic mệnh đề trường hợp riêng logic vị từ cấp Mọi công thức đúng, sai logic mệnh đề công thức đúng, sai logic vị từ cấp 1, mơ hình suy diễn logic mệnh đề logic vị từ cấp Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: Quy tắc suy diễn (rút gọn): Công thức sở: A  B  A  A Mơ hình suy diễn: B A @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 28 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (2/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: Quy tắc suy diễn (cộng): Công thức sở: A   A  B   Mơ hình suy diễn: A  A B Quy tắc suy diễn (luật Modus ponens – khẳng định) Công thức sở:  A   A  B   B  A Mơ hình suy diễn: A B B @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 29 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (3/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: Quy tắc suy diễn (luật Modus ponens – phủ định) Công thức sở:  A  B   B  A  A B  Mơ hình suy diễn :  B A Quy tắc suy diễn (luật bắc cầu) Công thức sở:  A  B   B  C    A  C   Mơ hình suy diễn: A B BC AC @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 30 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (4/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: Quy tắc suy diễn (luật tam đoạn luật tuyển) A  B  A  B  Công thức sở: A B  Mơ hình suy diễn :  A B Quy tắc suy diễn (luật trường hợp)  A  B   D  B    A  D   B   Cơng thức sở: Mơ hình suy diễn: A B DB A  D  B @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 31 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (5/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: Quy tắc suy diễn (luật mâu thuẫn) Công thức sở:  A1  A2   An   B  A1  A2   An  B     A1 Mơ hình suy diễn : A1 A2 A2 An An B  B 0 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 32 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (6/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: Quy tắc suy diễn (đặc biệt hóa phổ dụng) Nếu mệnh đề (x)P(x) trường M thay x phần tử a M mệnh đề P(a) Công thức sở: (x) P ( x)  P (a )  (x) P( x) Mơ hình suy diễn :  P(a) (với a  M) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 33 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (7/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: 10 Quy tắc suy diễn 10 (tổng quát hóa phổ dụng) Cho mệnh đề (x)P(x) trường M Khi đó, P(a) với phần tử a trường M mệnh đề (x)P(x) trường M Công thức sở: P (a )  (x) P ( x)  P(a) Mô hình suy diễn :  (x) P ( x) (với a  M) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 34 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (8/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: 11 Quy tắc suy diễn 11 Công thức sở: x P  x   Q x   P a   Qa   với a  M mà P(a) x Px   Qx  Mơ hình suy diễn : P(a)  Qa  @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 35 3.4 QUY TẮC VÀ MÔ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (9/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: 12 Quy tắc suy diễn 12 Công thức sở: x Px   Qx   x Qx   Rx   x Px   Rx   Mơ hình suy diễn : x Px   Qx  x Qx   Rx   x P  x   R x  @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 36 3.4 QUY TẮC VÀ MƠ HÌNH SUY DIỄN TRONG LOGIC VỊ TỪ CẤP (10/10) Các quy tắc suy diễn logic vị từ cấp 1: 13 Quy tắc suy diễn 13 (mở rộng trường hợp) Công thức sở: x  M Px   x  M Px    x  M n Px   x  M Px   x  M Px  Mô hình suy diễn : x  M P  x  M=M1…  Mn Với Mi  Mj =  (i≠j) x  M n Px   x  M P x  @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 37 3.5 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP TỐN HỌC • Để chứng minh mệnh đề P(n) với nn0 trường số tự nhiên N, ta thực bước sau: •  Chỉ P(n0)  Giả sử P(k) với k  n0 , ta chứng minh P(k+1)  Khi kết luận P(n) với n  n0 Cơ sở: Pn0   n  n0 Pn   Pn  1  n  n0 P(n)  P n0  Mơ hình suy n  n0 Pn   Pn  1 diễn:  n  n0 P (n) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 38 3.6 BÀI TẬP VÍ DỤ @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 39