Bài giảng toán rời rạc chương 1 7 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN Hai nguyên lý Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NỘI DUNG Nguyên lý Nhân Nguyên lý Cộng Một số ứng dụng nguyên lý Nhân, Cộng @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái niệm  Nghiên cứu toán tổ hợp, vấn đề quan trọng thường xuyên quan tâm đến số lượng phần tử tập hợp  Hai nguyên lý sau đề cập đến vấn đề đó:  Nguyên lý Nhân  Nguyên lý Cộng @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nguyên lý Nhân (1/3)  Khái niệm:  Giả sử cơng việc tách thành k phân đoạn Phân đoạn thứ i thực ni cách sau phân đoạn 1,2,…, i-1 hồn thành Khi có n1n2 …nk cách khác để thực cơng việc  Ngun lý: Cho A1,A2,…., An tập hữu hạn bất kỳ, n N ( A1  A2   An )   N ( Ai ) i 1 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nguyên lý Nhân (2/3) Ví dụ:  Ký hiệu giảng đường trường đại học bắt đầu chữ A, B, C, D, E, F số nguyên dương không vượt 50 Hỏi nhiều có giảng đường ký hiệu khác nhau?  Giải:  C1: Thủ tục ghi ký hiệu cho giảng đường gồm hai việc, gán chữ A, B, C, D, E, F sau gán 50 số nguyên dương 1, 2,…50 Nguyên lý nhân có x 50 = 300 cách khác để ký hiệu cho giảng đường Như nhiều có 300 giảng đường ký hiệu khác  C2: Nếu gọi tập chữ nêu R tập số thứ tự cần đánh số S, ta có N(R) = 6, N(S) = 50 Như ký hiệu giảng đường gồm phần: phần chữ phần tử a  R phần số phần tử b  S, tức phần tử (a,b)  A x B - tích Đề-các hai tập R S Ta có N(R x S) = N(R) x N(S) = x 50 = 300 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nguyên lý Nhân (3/3) Ví dụ:  Một sinh viên có áo sơ mi khác mầu, quần khác mầu, đôi giầy khác kiểu Nếu ngày sinh viên mặc kiểu khác nhau, sau ngày sinh viên phải lặp lại cách trang phục ngồi?  Giải:  C1: Các cách trang phục khác khác ba thành phần áo sơ mi, quần giầy Để chọn áo có cách, chọn quần có cách chọn giầy có cách, có tất x x = 30 cách Nghĩa tối đa sau 30 ngày sinh viên phải lặp lại cách trang phục  C2: Biểu diễn tập A tập áo sơ mi, tập Q tập quần, tập G tập giầy, trang phục gồm áo, quần giầy phần tử (a, q, g) tập tích Đề-các A x Q x G Vậy tổng só cách để chọn trang phục ngồi sinh viên N(A X Q X G)=N(A) X N(Q)X N(G) = 5X 3X = 30 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nguyên lý cộng (1/3)  Khái niệm:  Giả sử có k cơng việc khơng thể làm đồng thời Cơng việc thứ i (i=1,2,…k) làm ni cách khác Khi có n1+n2+…+nk cách làm k cơng việc  Ngun lý cộng Cho A1,A2,…., An tập hữu hạn, không giao đơi Khi đó: n n N (  Ai )   N ( Ai ) i 1 i 1 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nguyên lý cộng (2/3)  Ví dụ:  Giả sử Bộ mơn Tốn có 17 cán Bộ mơn Khoa học máy tính có 13 cán (mỗi cán biên chế mơn!) Hỏi có cách chọn đại biểu dự hội nghị khoa học số cán hai môn trên?  Giải:  C1: Có 17 cách khác để chọn cán Bộ mơn Tốn (việc thứ nhất) 13 cách khác để chọn cán Bộ mơn Khoa học máy tính (việc thứ hai) Rõ ràng hai cơng việc khơng thể tiến hành đồng thời Theo nguyên lý cộng ta có 17 + 13 = 30 cách chọn vị đại biểu  C2: Xem xét theo cách khác, ta gọi A tập cán Bộ mơn Tốn B tập cán Bộ môn Khoa học máy tính Hai tập hai tập rời (khơng có phần tử chung) N(A) = 17 N(B) = 13 Số cách chọn đại biểu dự hội nghị số cán hai mơn việc chọn phần tử tập AB Ta có N(AB) = N(A) + N(B) = 30 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nguyên lý cộng (3/3)  Ví dụ:  Một đề thi trắc nghiệm chọn từ ba đề thi độc lập tương ứng có 23, 17 29 đề Có cách chọn khác nhau?  Giải:  C1: Có 23 cách chọn đề thi từ danh sách thứ nhất, 17 cách từ danh sách thứ hai 29 cách từ danh sách thứ Vì có 23 + 17 + 29 = 69 cách đề thi trắc nghiệm  C2: Ký hiệu ba đề thi A, B, C Tương tự ví dụ 2.1.1, ta có số cách chọn đề thi N(ABC) = N(A) + N(B) + N(C) = 23 + 17 + 29 = 69 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Một số ứng dụng hai nguyên lý (1/5)  Ví dụ:  Có xâu nhị phân có độ dài 8?  Giải: Mỗi bít xâu nhị phân chọn hai cách hoặc Bởi vậy, quy tắc nhân cho thấy có tổng cộng 28 = 256 xâu nhị phân khác có độ dài  Tương tự, ta có tất dãy nhị phân có độ dài n 2n 10 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Một số ứng dụng hai nguyên lý (2/5)  Ví dụ:  Có nhiều biển đăng ký xe máy 50 phân khối thành phố Hà Nội biển có nội dung ví dụ 29 H3-3907 số 29 ký hiệu dành cho Hà Nội, tiếp 26 chữ cái, sau chữ gồm số lớn nhỏ 10, bốn số cuối  Giải:  Có tất 26 cách chọn chữ cái; cách chọn cho chữ số  Vì theo quy tắc nhân, nhiều có 26 X X 10 X 10 X 10X10 = 340 000 biển đăng ký xe 11 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Một số ứng dụng hai nguyên lý (3/5)  Ví dụ:  Có tập tập A có N(A) = n phần tử  Giải:  Giả sử tập A = {a1, a2, … an} Ta biểu diễn tập  A tương ứng 1-1 với dãy nhị phân có độ dài n   phần tử thứ i dãy nhị phân tương ứng  Từ suy số tập tập A có n phần tử dãy nhị phân có độ dài n 2n 12 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Một số ứng dụng hai nguyên lý (4/5)  Ví dụ:  Mật hệ thống dài từ đến ký tự, ký tự chữ Latinh viết hoa hay chữ số Mỗi mật phải chứa chữ số Hỏi có mật khẩu?  Giải:  Gọi P tổng số mật P6, P7, P8 tương ứng số mật dài 6, 7, ký tự Theo quy tắc cộng ta có: P = P6 + P7 + P8 Cần tính P6, P7, P8  Để tìm P6 dễ ta tính số xâu dài ký tự chữ in hoa chữ số, bớt số xâu dài ký tự chữ in hoa không chứa chữ số Theo quy tắc nhân số xâu dài ký tự 366 số xâu khơng chứa chữ số 266 Vì vậy: P6 = 366 - 266 = 176 782 336 - 308 915 776 = 867 866 560  Hồn tồn tương tự, ta có: P7 = 367 - 267 = 78 364 164 096 - 031 810 176 = 70 332 353 920 P8 = 368 - 268 = 821 109 907 456 - 208 827 064 576 = 612 483 063 360  Như ta có: P = P6 + P7 + P8 = 684 483 063 360 13 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Một số ứng dụng hai nguyên lý (5/5)  Ví dụ:  Một đồn vận động viên môn bắn súng bơi cử thi đấu nước ngồi Trong đồn nam có 10 người Số vận động viên thi bắn súng (kể nam nữ) 14 Số nữ vận động viên thi bơi số nam thi bắn súng Hỏi tồn đồn có người ?  Giải :  Chia đoàn thành 2: nam nữ, ta ký hiệu tương ứng tập A, B  Số nữ lại chia nhóm thi bắn súng A1và thi bơi A2 Thay số nữ bơi N(A2) số nam thi bắn súng N(B1) ta số nữ tổng số đấu thủ thi bắn súng Từ theo nguyên lý cộng tồn đồn có 10+14=24 người 14 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University