Bài giảng toán rời rạc chương 1 8 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN Lý thuyết số hệ đếm Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NỘI DUNG Các phép toán số nguyên Biểu diễn số nguyên Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng Các hệ đếm @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phép toán số nguyên (1/5) 1.1 Phép chia nguyên  Cho hai số nguyên n m ta nói n chia hết cho m tồn số nguyên k cho n = k.m ký hiệu mn  Định lý Cho n, m k số nguyên Khi a- Nếu kn km k(n + m) b- Nếu kn kn m với số nguyên m c- Nếu kn nm km @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phép toán số nguyên (2/5) 1.1 Phép chia nguyên (tiếp)  Định lý Mọi số nguyên dương viết dạng tích số nguyên tố  Định lý Cho a số nguyên d số nguyên dương Khi tồn số q r nhất, với  r < d, cho a = dq + r  Hai số nguyên n m gọi nguyên tố USCLN(n,m) =  Các số nguyên a1, a2, , an gọi đôi nguyên tố USCLN(ai, aj) =1 với  i, j  n @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phép toán số nguyên (3/5) 1.1 Phép chia nguyên (tiếp)  Định lý Cho n, m hai số nguyên dương Khi ab = USCLN(n,m) BSCNN(n,m)  Hai số nguyên n m gọi đồng dư theo modulo k n mod k = m mod k, ta ký hiệu n  m (mod k)  Định lý Nếu n  m (mod k) p  q (mod k) Khi đó: a) n+p  m + q (mod k) b) np  m q (mod k)  Phần tử b gọi phần tử nghịch đảo a theo modulo m ab  (mod m) ký hiệu a -1 , aa -1  (mod m) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phép toán số nguyên (4/5) 1.2 Thuật toán Euclid  Bổ đề: Cho a = b × q + r a, b, q, r số nguyên dương Khi USCLN(a,b) = USCLN(b,r)  Chứng minh Với ước số chung d a b a - bXq = r, suy d ước số r, tức d ước số chung b r USCLN(a,b) = USCLN(b,r)  Thuật toán Euclid  Input a, b (a  b) đặt r0 = a r1 = b  Bước r0 = r1 × q1 + r2  r2 < r1  Bước Nếu r2  r0 = r1 r1 = r2 quay lại bước ngược lại sang bước  Output r1 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phép toán số nguyên (5/5) 1.2 Thuật toán Euclid (tiếp)  Thuật tốn Euclid dùng để tìm ước số chung lớn hai số nguyên  Ví dụ tìm USCLN(91,287) Trước hết lấy số lớn 287 chia cho số nhỏ 91 ta 287 = 91X + 14 ước số chung 287 91 ước số 287 - 91X = 14 Và vậy, ước số chung 91 14 ước số 287 = 91X + 14 Do USCLN 91 14 USCLN 287 91 Từ có USCLN(91,287) = USCLN(91,14) Tương tự 91 = 14X + ta USCLN(91,14) = USCLN(14,7) = 7 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Biểu diễn số nguyên (1/2)  Định lý Cho b số nguyên dương lớn Khi n số nguyên dương biểu diễn cách dạng: n = akbk + ak-1bk-1 + + a1b1 + a0 Trong k số nguyên không âm, a0, a1, a2, ak số nguyên không âm nhỏ b ak   Biểu diễn n định lý gọi triển khai số b n @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Biểu diễn số nguyên (2/2) Ví dụ:  Ví dụ: Cho n = 165, b = ta 165 = 2X 82 + 4X 81 + Trong ví dụ ta biểu diễn sau (245)8 gọi cách biểu diễn theo hệ bát phân  Ví dụ: Cho n = 351, b = ta 351 = 1X 28 + 0X 27 + 1X 26 + 0X 25 + 1X 24 + 1X 23 +1X 22 +1X 21 + 0X 20 ta nhận dãy {ak} sau (101011111)2 gọi biểu diễn nhị phân số 351 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (1/13) Số dư Trung Quốc: Định lý số dư Trung Quốc  Giả sử m1, m2, ., mn số nguyên dương, nguyên tố đôi a1, a2, ., an số ngun Khi hệ n phương trình đồng dư x  (mod mi) với 1 in có nghiệm theo modulo M = m1 × m2 × × mn cho theo công thức sau: n X   a i M i yi mod M i 1  Trong Mi = M/mi yi = Mi-1 mod mi với  i  n 10 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (4/13) Ứng dụng (tiếp)  Để chứng minh định lý số dư Trung Quốc, cần chứng minh  song ánh Điều thấy dễ dàng qua ví dụ  Nói cách khác, cần cơng thức ánh xạ ngược  -1:  Với  i  n, định nghĩa: M Mi  mi  Khi dễ dàng thấy USCLN(Mi,mi) = , với  i  n  Ta định nghĩa yi = Mi-1 mod mi phần tử nghịch đảo tồn USCLN(Mi,mi) = tìm thuật tốn Euclid mở rộng 13 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (5/13) Ứng dụng (tiếp)  Theo định nghĩa ta có Miyi  (mod mi) , với  i  n  Định nghĩa:  : Zm1 × Zm2 × × Zmn  ZM n  (a1 , a , , a n )   a i M i yi mod M i 1  Ta chứng tỏ  =  -1 , tức cho ta cơng thức tường minh để giải hệ đồng dư ban đầu 14 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (6/13) Ứng dụng (tiếp)  Ký hiệu X =  (aj, ., an) cho  j  n Xét số hạng Miyi tổng rút gọn theo modulo mj Nếu i = j Miyi  (mod mi) Miyi  (mod mi) Nếu i  j Miyi  (mod mi) miM trường hợp  Từ ta có: n X   a i M i yi (mod M ) i 1  a i (mod mi )  Do điều i,  i  n nên X nghiệm hệ phương trình đồng dư 15 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (7/13) Ứng dụng (tiếp)  Cần phải chứng minh nghiệm X hệ phương trình đồng dư  Vì:   ánh xạ từ tập ZM có lực lượng M sang tập Zm1 × Zm2 × × Zmn có lực lượng M,   tồn ánh từ suy  đơn ánh (xác định phép tương ứng 1-1), điều kéo theo  song ánh  -1 =  Chú ý  16 -1 hàm tuyến tính biến (aj, ., an) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (8/13) Thuật toán Euclid mở rộng: Giải thuật sau thực với số nguyên m>a>0, biểu diễn giã mã: Procedure Euclid_Extended (a,m) int y0=0, y1:=1; While a>0 { r:= m mod a if r=0 then Break q:= m div a y:= y0-y1*q m:=a a:=r y0:=y1 y1:=y } If a>1 Then Return "A không khả nghịch theo mođun m" else Return " Nghịch đảo modulo m a y" 17 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (9/13) Ví dụ tìm nghịch đảo theo Modulo:  Cho a=143, m=7, tìm nghịch đảo a  Giải:  Vì 143 mod = 3, nên cần tìm nghịch đảo modulo Bước m a r q y0 y1 y -2 Kết tính tốn bảng cho ta − Lấy số đối theo modulo Vậy: 3-1 mod = 18 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (10/13) Ví dụ tìm nghịch đảo theo Modulo:  Cho a=30, m=101, tìm nghịch đảo a  Giải: Bước m a r q y0 y1 y 101 30 11 -3 30 11 -3 11 -3 -10 2 -10 27 1 -10 27 -37 Kết tính tốn bảng cho ta − 37 Lấy số đối 37 theo modulo 101 64 Vậy: 30-1 mod 101 = 64 19 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (11/13) Ví dụ hệ phương trình đồng dư:  Cho hệ phương trình đồng dư: x  (mod 7) x  (mod 11) x  10 (mod 13) 20 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (12/13) Ví dụ hệ phương trình đồng dư (tiếp):  Tính:  M = × 11 × 13 = 1001,  M1 = 11 × 13 = 143,  M2 = × 13 = 91,  M3 = × 11 = 77,  y1 = 143 -1 mod 7= theo Euclid mở rộng  y2 = 91-1 mod 11= theo Euclid mở rộng  y3 = 77 21 -1 mod 13 = 12 theo Euclid mở rộng @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Định lý số dư Trung Quốc ứng dụng (13/13) Ví dụ hệ phương trình đồng dư (tiếp):  Khi  =-1: Z7 × Z11 × Z13  ZM có dạng: -1 (a1, a2, a3) = (5 × 143 × a1 + × 91 × a2 + 12 × 77 × a3) mod 1001  Khi với a1 = , a2 = a3 = 10 nghiệm hệ phương trình là: X = (5 × 143 × + × 91 × + 10 × 77 × 12) mod 1001 = (3 575 + 092 + 240) mod 1001 = 13 907 mod 1001 = 894 mod 1001 = 894 22 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các hệ đếm (1/5) Xem xét số hệ đếm: Hệ đếm thập phân Hệ đếm nhị phân Hệ đếm bát phân (Octal) hệ đếm thập lục phân (Hexa) 23 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các hệ đếm (2/5) Hệ đếm thập phân  Biểu diễn số n hệ thập phân theo công thức: n = ak10k + ak-110k-1 + + a1101 + a0100   9, i = 1, 2, 3, k 24 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các hệ đếm (3/5) Hệ đếm nhị phân  Biểu diễn số n hệ nhị phân theo công thức: n = ak2k + ak-12k-1 + + a121 + a020   1, i = 1, 2, 3, k 25 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các hệ đếm (4/5) Hệ đếm bát phân (Octal)  Số n biểu diễn hệ bát phân theo công thức: n = ak8k + ak-18k-1 + + a181 + a080   7, i = 1, 2, 3, k 26 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các hệ đếm (5/5) Hệ đếm thập lục phân (Octal)  Số n biểu diễn thập lục phân theo công thức: n = ak16k + ak-116k-1 + + a1161 + a0160   15, i = 1, 2, 3, k tức  {0, 1, 2, , A, B, ,F} 27 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University