Bài giảng toán rời rạc chương 1 6 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN Lý thuyết tổ hợp Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NỘI DUNG Khái niệm Chỉnh hợp lặp Chỉnh hợp khơng lặp Hốn vị Tổ hợp Tổ hợp lặp Hoán vị tập hợp có phần tử giống Một số cơng thức tổ hợp Một số ví dụ @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Khái niệm • Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu:  Các cấu hình tổ hợp,  Các phương pháp lựa chọn phần tử phần tử tập hợp hữu hạn theo cách khác •  Là sở để xây dựng thuật toán vét cạn, thuật toán sinh phần tử mới, thuật tốn lựa chọn phương án tối ưu, v v… • Một số tốn: • Các tốn đếm, • Các tốn tồn tại, • Các phương pháp biểu diễn cấu hình tổ hợp… @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Chỉnh hợp lặp (1/3) • Khái niệm:  Chỉnh hợp lặp chập k tập n phần tử cách xếp có thứ tự k phần tử lấy từ tập gồm n phần tử cho, phần tử lấy lặp lại • Cơng thức chỉnh hợp lặp: A n k n k • Ví dụ 1:  Tập A = {1, 2, 3, 4, 5} Các (1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (2, 3, 5) (2, 3, ) chỉnh hợp lặp chập từ phần tử @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Chỉnh hợp lặp (2/3)  Ví dụ • Từ tập  = { a, b, c } đặt tên biến có độ dài ký tự? • Giải: Mỗi tên biến có ký tự chọn từ tập  phần tử lấy từ tập  có số tên biến có ký tự chọn từ  N()xN()xN()xN() = 3x3x3x3 = 81  Ví dụ • Các dãy nhị phân có độ dài n chỉnh hợp lặp chập n từ hai phần tử {0, 1} Vậy theo công thức chỉnh hợp lặp chập n từ phần tử : 2n @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Chỉnh hợp lặp (3/3)  Ví dụ • Bộ mơn Khoa học máy tính có giáo viên Anh, Bình, Dũng ký hiệu (A, B, D) Có cách xếp giáo viên dạy hai mơn học buổi? • Giải: Mỗi cách xếp giáo viên chỉnh hợp lặp chập từ phần tử Theo công thức nêu ta có số phương án xếp 32 = Cụ thể phương án là: (A,A) (B,B) (D,D) (A,B) (A,D) (B,D) (B,A) (D,A) (D,B) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Chỉnh hợp khơng lặp (1/3)  Khái niệm: • Chỉnh hợp không lặp chập k từ n phần tử (gọi tắt chỉnh hợp chập k) cách xếp có thứ tự k phần tử tập n phần tử, phần tử không lấy lặp lại  Công thức: n! P  n ( n  1)( n  ) ( n  k  1)  ( n  k )! k n @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Chỉnh hợp khơng lặp (2/3)  Ví dụ • Tập A = {1, 2, 3, 4, 5} (2, 3, 5); (2, 5, 3) chỉnh hợp không lặp chập từ phần tử, (1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (2, 3, 2) chỉnh hợp không lặp chập từ phần tử, mặt khác lại chỉnh hợp lặp chập từ phần tử  Ví dụ • Có số có chữ số khác chọn từ số sau {1,3, 4, 5, 7, 6}? • Giải: Ký hiệu số có bốn chữ số a1a2a3a4 Ta có khả để chọn số a1, sau chọn a1 ta có khả chọn chữ số a2, sau cịn khả chọn chữ số a3 cuối khả chọn chữ số a4 Vậy tất số có chữ số khác có S = x x x = 360 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Chỉnh hợp không lặp (3/3)  Ví dụ • Có bốn người thi đấu cờ vua Bình, Cường, Dũng, Kiên tranh hai vị trí nhất, nhì, tính xác suất để Cường đoạt giải ? • Giải : Gọi tập kỳ thủ  = {B, C, D, K} Mỗi khả phân chia giải chỉnh hợp không lặp chập từ phần tử Vậy theo công thức ta có S = 4.3= 12 Các khả là: (B, C) (B, D) (B, K) (C B) (C, D) (C, K) (D, B) (D,C) (D, K) (K, B) (K, C) (K,D) • Các phương án mà Cường đoạt giải ta chọn sau ghép Cường với người cịn lại, số phương án 3: (C B) (C, D) (C, K) Vậy xác suất để Cường đoạt giải P = 3/ 12 = 25 % @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hoán vị (1/4)  Khái niệm:  Hoán vị n phần tử khác cách xếp có thứ tự n phần tử  Cơng thức: Pn  n ( n  1)( n  )  n! 10 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp (2/4)  Ví dụ:  Với tập A = {1, 2, 3, 4, 5} (1, 2, ), (1, 2, 4) tổ hợp chập từ phần tử, (1, 1, ), (2, 3, ) tổ hợp chập từ phần tử cho Theo định nghĩa hai (2, 3, ), (3, 5, 2) tính tổ hợp chập 15 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp (3/4)  Ví dụ:  Có sinh viên Anh, Bắc, Cúc, Dương, Giang Khoa CNTT Chủ nhiệm khoa muốn chọn để thành lập tổ người để thực đề tài khoa học Hỏi có phương án để thành lập tổ người đó?  Giải: Ta ký hiệu tên sinh viên A, B, C, D, G Các phương án thành lập tổ tổ hợp chập tập phần tử Cụ thể là: (A, B, C) (A, B, D) (A, B, G) (A, C, D) (A, D, G) (B, C, D) (B, C, G) (B, D, G) (C, D, G) (A, C, G) Như có tất 10 phương án lựa chọn để lập tổ người 16 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp (4/4)  Ví dụ:  Có 12 đội bóng tham dự giải chuyên nghiệp quốc gia, đội thi đấu vịng trịn lượt Hỏi có trận đấu tổ chức ?  Giải : Mỗi trận đấu cặp đội chọn từ 12 đội cho, không kể đến thứ tự phải khác nhau, số trận đấu tổ hợp chập từ 12 : 12!/(10!.2!) = 66 trận 17 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp lặp (1/5)  Khái niệm:  Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử gồm k phần tử không phân biệt thứ tự, phần tử lấy lặp lại từ n phần tử cho  Công thức: R C k n 18 k n  k 1 (n  k  1)!  k!(n  1)! @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp lặp (2/5)  Ví dụ:  Giả sử đĩa có táo, cam, lê loại có Tính số cách lấy từ đĩa không phân biệt thứ tự chọn loại giống  Giải: Mỗi phương án chọn từ loại theo yêu cầu nêu gọi tổ hợp lặp chập từ tập phần tử táo, cam, lê Có tất 15 cách chọn sau: t¸o cam lê táo, cam táo, lê cam, táo cam, lê lê, táo lê, cam táo, cam táo, lê cam, lê táo, cam, lê cam, táo, lê 19 lê, táo, cam @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp lặp (3/5)  Ví dụ:  Có cách chọn tờ giấy bạc từ két đựng tiền gồm tờ 2, 5, 10, 20, 50 tờ 100 ngàn đồng, thứ tự mà tờ tiền chọn không quan trọng, tờ tiền loại không phân biệt loại có tờ  Giải:  Có loại tiền, chọn tờ, không phân biệt thứ tự lặp, đó, số trường hợp là: R C 20  1 9!   126 4!5! @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp lặp (4/5)  Ví dụ:  Phương trình sau có nghiệm nguyên không âm: x1 + x2 + x3 = 11  Giải:  Chúng ta nhận thấy nghiệm phương trình ứng với cách chọn 11 phần tử từ tập có loại, cho có x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại chọn Vì số nghiệm số tổ hợp chập 11 từ tập gồm phần tử Theo công thức ta có: 11 11   R 311  C 11 C C 13 13   1 21 13.12  78 1.2 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Tổ hợp lặp (5/5)  Ví dụ:  Phương trình sau có nghiệm nguyên không âm: x1 + x2 + x3 = 11 cho x1  1, x2  2, x3   Giải:  Một nghiệm phương trình thoả mãn điều kiện ứng với cách chọn 11 phần tử gồm x1 phần tử loại 1, x2 phần tử loại 2, x3 phần tử loại 3, có phần tử loại 1, hai phần tử loại ba phần tử loại  Trước tiên ta chọn phần tử loại 1, phần tử loại phần tử loại 3, sau chọn thêm phần tử thuộc loại Do vậy, trường hợp ta có số nghiệm là: R 22  C 5  1  C C 7 7.6  =21 1.2 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hoán vị tập hợp có phần tử giống (1/3)  Khái niệm:  Với số toán đếm, số phần tử giống Khi lập luận:  Có n phần tử có n1 phần tử thuộc loại 1, n2 phần tử thuộc loại 2, …, nk phần tử thuộc loại k Cnn1 Số cách chọn n2 chỗ loại Cnn2 n  Số cách chọn n1 chỗ loại   Công thức: n C nn C n 2 n C nn k n 1  n k   n! ( n  n )! n ! ( n  n )! n ! ( n  n  n )! ( n  n   n k  )! n!  n k !0 ! n ! n ! n k ! 23 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hoán vị tập hợp có phần tử giống (2/3)  Ví dụ:  Có thể nhận xâu khác cách xếp lại chữ từ SUCCESS  Giải: Từ SUCCESS có chữ cái, có chữ S, chữ U, chữ C chữ E Do câu trả lời khơng phải số hốn vị chữ Để xác định số xâu khác tạo ta nhận thấy có C(7,3) cách chọn chỗ cho chữ S, lại chỗ trống Khi có C(4,1) cách chọn chỗ cho chữ U, cịn lại chỗ trống Có thể đặt chữ C C(3,2) cách, C(1,1) cách đặt chữ E vào xâu Theo quy tắc nhân, số xâu khác tạo 1 C CC C 24 7!4!3!1! 7!    420 3!4!1!3!2!1!1!0! 3!2!1!1!0! @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hốn vị tập hợp có phần tử giống (3/3)  Ví dụ:  Có cách chia xấp quân cho người người chơi từ cỗ chuẩn 52 quân  Giải:  Các đồ vật 52 quân bài, hộp người chơi (mỗi hộp xếp quân bài) mặt bàn đặt số quân lại (32 quân)  Vậy số cách là: 52 ! 5!5!5!5!32 ! 25 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Một số công thức tổ hợp Cn0  Cnn  C nk  C nn  k Cnk  C nk 1  Cnk1 ( x  y )   Cin x i y n i 26 n n i 0 (nhị thức Newton) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Ví dụ (1/3)  Tính tổng hệ số số hạng chứa x2 triển khai biểu thức (x + y + z)n Theo công thức nhị thức Newton ta có n ( x  y  z )  [ x  ( y  z )]   Cni x i ( y  z ) n  i n n i 0 số hạng chứa x2 i=2 , tức số hạng sau n2 x2 ( y  z)n2  Cn2 (  Cnj2 y j z n2 j )x2 j0 tổng hệ số số hạng chứa x2 n2 j Cn (  Cn  ) j 0 27 n( n  1) n    n  n( n  1) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Ví dụ (2/3)  Chứng minh: Cnk m k   Cni Cmk  i i0  Giải :  Vế trái đẳng thức số tập có k phần tử tập có (n + m) phần tử        28 Giả sử có tập  = a1, a2, …, an, an+1, …, an+m}= 1  2 , 1 = a1, a2, …, an 2 = an+1, an+2, …, an+m để chọn tập có k phần tử  ta chọn theo phương án sau: Chọn tất k phần tử từ tập 2 , ta có C(m,k) trường hợp, Chọn phần tử từ tập 1 (k-1) phần tử từ tập 2, ta có C(n,1).C(m,k-1) trường hợp, Chọn i phần tử từ tập 1 (k-i) phần tử từ tập 2 , ta có C(n,1).C(m,k-1) trường hợp, Chọn k phần tử từ tập 1 ,ta có C(n,k) trường hợp k Như vậy, số cách chọn: Cnk m  Cmk  Cn1Cmk 1  Cn2Cmk    Cnk 1Cm1  Cnk   Cni Cmk  i i0 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Ví dụ (3/3)  Chứng minh: n k  kC n k 1  n2 n -1 n Theo nhị thức Newton ta có (1  x) n   Cnk x k với x k 0 Đạo hàm theo x hai vế ta n(1  x) n1 n   kC x k 0 k k 1 n Đặt x = ta thu điều phải chứng minh 29 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University n  kCnk xk 1 k 1