Bài giảng toán rời rạc chương 1 3 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG I : KHÁI NIỆM CƠ BẢN Các phương pháp chứng minh Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH NỘI DUNG Hàm mệnh đề Các phương pháp chứng minh Bài tập @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hàm mệnh đề (1/6) Khái niệm:  Thường gặp mệnh đề không xác định như:  “n số nguyên lẻ” hay  “ k số nguyên tố ”,  Các mệnh đề chất mệnh đề logic chúng nhận giá trị (đúng) (sai) tuỳ vào giá trị đại lượng n, k  Tuy nhiên, chúng trở thành mệnh đề logic n, k xác định cụ thể  Ví dụ “ 103 số nguyên lẻ” mệnh đề logic có giá trị 1,  “8 số nguyên lẻ” mệnh đề logic nhận giá trị @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hàm mệnh đề (2/6) Định nghĩa Mệnh đề P(n) phụ thuộc vào đại lượng n để trở thành mệnh đề logic ta gọi hàm mệnh đề Đại lượng n gọi biến, tập hợp D giá trị biến n để xác định mệnh đề logic P(n) gọi miền xác định hàm mệnh đề P(n)  Ví dụ: theo định nghĩa vừa đưa ta biểu diễn sau:  P(n) = { n số nguyên lẻ }  Q(k) = {k số nguyên tố }  P(n) Q(k) hàm mệnh đề có miền xác định D số nguyên dương (tập số tự nhiên) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hàm mệnh đề (3/6) Ví dụ hàm mệnh đề:  F1 (x) = { x2 + x + > }, miền xác định F1 R số thực  F2 (x) = { x2 - x - = 0}, miền xác định F2 R số thực  S(n) ={ 2(1 + + + n ) = n (n+1)}, có miền xác định tập số nguyên dương @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hàm mệnh đề (4/6)  Với giá trị biến hàm cho giá trị mệnh đề logic đúng?  Trong phương pháp suy diễn toán học người ta thường nghiên cứu trường hợp F(n) với giá trị n nằm D Biểu diễn mệnh đề sau :  Với n ta có P(n)  Ví dụ: “Với n ta có S(n) “ mệnh đề đồng nghĩa “ Với n nguyên dương ta có: (1 + + + n ) = n (n+1)”  “Với x ta có F1 (x)” tức “ Với x số thực ta có x2 + x +1>0 “ @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hàm mệnh đề (5/6)  Mệnh đề sai tồn giá trị biến nằm miền xác định mà hàm mệnh đề cho ta mệnh đề logic sai Trường hợp ta thường dùng mệnh đề :  Tồn n để khơng có P(n)  Ví dụ: “Tồn số nguyên dương n để n số lẻ”  “Tồn số nguyên dương k để k số nguyên tố”  “Tồn giá trị x để x2 - x -  0” @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Hàm mệnh đề (6/6)  Cặp phủ định:  Phủ định mệnh đề “P(n) với n” mệnh đề “Tồn giá trị n1 cho P(n1) sai”  Phủ định mệnh đề “Tồn n1 cho P(n1) đúng” mệnh đề “P (n) sai với n”  Ví dụ 01:  Có mệnh đề “Với n chẵn biểu thức n2 + n + 19 số nguyên tố” Phủ định “Tồn số n chẵn cho n2 + n + 19 hợp số”  Để chứng minh sai, cần phủ định Ví dụ, với n = 38 ta có 38 + 38 + 19 = 38.38 + 38 + 19 = 19 (2.38 + + 1) = 19 79 hợp số  Ví dụ 02:  Mệnh đề “Tồn số thực x cho x/(x2+1) = 2/5”, phủ định “Với số thực x ta có x/(x2+1)  2/5”  Để chứng minh mệnh đề ta với x = 2, có 2/(22 + 1) = 2/5 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Các phương pháp chứng minh (1/)  Một số phương pháp chứng minh sau: Phương pháp chứng minh trực tiếp Phương pháp chứng minh lựa chọn Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh qui nạp @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp  Ý tưởng: Áp dụng phép diễn logic (kéo theo) cách theo bước: A1  A2   Ak B  Ví dụ:  Giả sử x y số thực cho 2x + y = x - y = -4 Chứng minh x = -1 y =  ( 2x + y) +( x- y) =1 -4  3x= -3  x = -1 Với x = -1 x - y = -4  - - y = -4  y = -1 + =  Chứng minh Từ 2x + y = x - y = -4  Ví dụ:  Chứng minh với số nguyên n biểu thức n2 - n +5 số lẻ  Chứng minh Với số nguyên n  n(n- 1) sổ chẵn  n(n- 1)+5 = n2 - n +5 số lẻ 10 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.2 Phương pháp chứng minh lựa chọn (1/2)  Ý tưởng: Khi chứng minh mệnh đề, thực phép suy diễn xảy nhiều khả khác cần xem xét Mỗi khả vận dụng phương pháp chứng minh trực tiếp  Ví dụ:  Chứng minh với số nguyên n biểu thức 9n2 + 3n -2 số chẵn  Chứng minh Biến đổi biểu thức ta 9n2 + 3n -2 = (3n + 2) (3n-1) Xảy hai khả năng:  Trường hợp 1: (3n + 2) số chẵn  (3n + 2) (3n-1) số chẵn  Trường hợp 2: (3n + 2) số lẻ  (3n + 2) -3 = (3n -1) số chẵn  (3n + 2) (3n-1) số chẵn 11 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.2 Phương pháp chứng minh lựa chọn (2/2)  Ví dụ:  Chứng minh n số nguyên lẻ tồn số nguyên m cho n = 4m + n = 4m +  Chứng minh  Vì n số lẻ  tồn k cho n = 2k + Xảy hai khả năng:  Trường hợp k số chẵn  tồn m cho k=2m  n = 2k + 1= 22m + = 4m +  Trường hợp k số lẻ  tồn m cho k = 2m +  n = 2k + = 2(2m+1) + = 4m + +1 = 4m + 12 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.3 Phương pháp chứng minh phản chứng (1/)  Ý tưởng: Để chứng minh mệnh đề A ta cần chứng minh phủ định A sai  Ví dụ:  Chứng minh x số thực x2 - 4x + 17   Chứng minh Ta cần chứng minh mệnh đề sau:  A = { Với số thực x: x2 - 4x + 17  }  Khi phủ định A = { Tồn số thực x cho x2 - 4x + 17 = }  Từ phương trình x2 - 4x + 17 =  x2 - 4x + + 13 = (x - 2)2 + 13 =  (x - 2) = -13 , mệnh đề logic sau sai 13 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.3 Phương pháp chứng minh phản chứng (2/)  Ví dụ:  Chứng minh hệ phương trình sau vơ nghiệm: 2x + 3y - z = x - 2y + 3z = x + 5y - 4z =  Chứng minh Ta dùng phép phản chứng, giả sử tồn số (x0, y0, z0) thoả mãn : 2x0 + 3y0 - z0 = (1) x0 - 2y0 + 3z0 = (2) x0 + 5y0 - 4z0 = (3) Thực phép tính hai vế sau (3) + (2) - (1) ta có (x0 + 5y0 - 4z0) + (x0 - 2y0 + 3z0) - (2x0 + 3y0 - z0) = + -  = mệnh đề sau sai  Phép suy diễn phản chứng xây dựng dựa vào công thức logic sau: AB ≡ B A Tức để chứng minh mệnh đề từ A suy B ta lập luận B sai dẫn đến giả thiết A sai 14 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.3 Phương pháp chứng minh phản chứng (3/)  Ví dụ:  Chứng minh n số nguyên n2 chẵn n chẵn  Vận dụng phép suy diễn phản chứng ta cần chứng minh n lẻ suy n2 lẻ  Chứng minh Nếu n lẻ ta có n = 2m + , từ suy n2 = (2m + 1) = 4m2 + 4m + số lẻ  Một phương pháp dùng để kiểm chứng tính đắn mệnh đề logic trường hợp mệnh đề nhận giá trị sai  Phương pháp chứng minh cách phản ví dụ, gọi phương pháp chứng minh phản ví dụ 15 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.3 Phương pháp chứng minh phản chứng (4/4)  Ví dụ:  Giả sử ta có mệnh đề “n2 + n + số nguyên tố với n  1”  Để mệnh đề sai, ta đưa phản ví dụ với n = ta có + + = 16 + + = 21 = 3.7 hợp số, mệnh đề cho sai  Chú ý Khơng thể dùng ví dụ để chứng minh mệnh đề đúng, với n = 1,2,3 biểu thức có giá trị 3, 7, 13 số nguyên tố 16 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.4 Phương pháp chứng minh qui nạp (1/3)  Ý tưởng: Sử dụng nguyên lý qui nạp toán học  Giả sử mệnh đề hàm P(n) phụ thuộc vào biến nguyên dương n với n  n0 P(n) sai, nếu:  P(n0)  k ta chứng minh P(k+1) P(n) với n  n0  Từ P(i) với i  Trong phép chứng minh qui nạp kinh điển, để đưa công thức tổng quát liên quan đến số tự nhiên n thường vận dụng theo bước:  Bước Qui nạp khơng hồn tồn để tìm đưa cơng thức P(n) tổng quát Trong bước ta thường vận dụng phép thử suy diễn để dự đoán cơng thức  Bước Qui nạp hồn tồn hay chứng minh cơng thức P(n) dự đốn phương pháp qui nạp Bước thực qua bước nhỏ trình bày 17 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.4 Phương pháp chứng minh qui nạp (2/3)  Ví dụ: Tính tổng: Sn = + + 27 + + n3  Bước Qui nạp không hồn tồn  Với n = có S = 1,  Với n = có S = 1+8 = = (1 + 2)2 = [2(2+1)/2]2,  Với n = có S = 1+ + 27 = 36 = (1 + + 3)2 = [3(3+1)/2]2,  Với n = k có S k= + + 27 + + k3= (1 + + + k)2 = [k(k+1)/2]2,  Từ ta dự đốn Sn = [n(n+1)/2]2 với n  (*)  Bước Qui nạp hồn tồn  Với n = có S = = 12, cơng thức dự đốn  Bây ta giả sử công thức (*) với n  k tức Sk = [k(k+1)/2]2 , xét Sk+1 = [1+ + k3] + (k+1)3 = [k(k+1)/2]2 + (k+1)3 = (k+1)2 [k2/4+(k+1)] = (k+1)2 [k2+4k+4)]/4 = (k+1)2 [k+2)] 2/4= [(k+1)(k+2) /2] , tức công thức (*) với n = k+1 18 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 2.4 Phương pháp chứng minh qui nạp (3/3)  Ví dụ:  Chứng minh bất đẳng thức sau: n! 2n-1 với n  (**)  Trong ví dụ ta cần thực bước qui nạp hồn tồn có cơng thức  Với n = có 1! = 1 1=21-1, bất đẳng thức cho  Bây ta giả sử bất đẳng thức (**) với n = k tức k!  2k-1 , xét (k+1)!=k!(k+1) 2k-1(k+1) 2(k+1)-1, tức công thức (**) với n = k+1 19 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Bài tập 20 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University