Bài giảng toán rời rạc chương 3 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐẾM Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NỘI DUNG 3.1 Giới thiệu toán 3.2 Nguyên lý Bù trừ 3.3 Biến đổi toán đơn giản 3.4 Quan hệ tập hợp dãy nhị phân 3.5 Hệ thức truy hồi 3.6 Bài tập @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.1 Giới thiệu toán (1/3)  Với tập hợp đó, cần đếm số phần tử tập  Sử dụng cơng thức tốn học để biểu diễn  Nói chung, để đếm, thường đưa dạng biết nhờ thiết lập quan hệ 1-1 chúng  Để đếm, sử dụng  nguyên lý cộng,  nguyên lý nhân hay  nguyên lý bù trừ @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.1 Giới thiệu tốn (2/3) Ví dụ 1: Có cách xếp người đứng thành hàng ngang cho A không đứng cạnh B Giải:  Đếm số cách xếp A đứng cạnh B  Xem A B vị trí ta có 4! = 24 cách xếp  Số cần nhân A đứng bên trái bên phải B, nên số cách 48  Mặt khác tổng số cách xếp người thành hàng ngang 5! = 120 cách  Vậy số cách mà A không đứng cạnh B 120 - 48 = 72 cách @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.1 Giới thiệu tốn (3/3) Ví dụ 2: Trên tờ xổ số có:  Phần đầu gồm chữ lấy từ A đến Z ( 26 chữ cái)  Phần sau gồm chữ số lấy từ đến (10 chữ số)  Hỏi xác suất để trúng giải độc đắc bao nhiêu? Giải:  Số tờ phát hành: 262 x 104 = 760 000  Xác suất để trúng giải độc đắc là, có tờ độc đắc: 1/6 760 000  1,48×10-7 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.2 Nguyên lý Bù trừ (1/9) 3.2.1 Giới thiệu nguyên lý bù trừ Giả sử có tập A B, đó:  Số phần tử hợp hai tập A B tính:  Tổng phần tử tập A tập B  Trừ số phần tử giao tập A B  Công thức: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.2 Nguyên lý Bù trừ (2/9) Ví dụ nguyên lý bù trừ:  Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp thành phố, trường PTCS có 20 học sinh đạt giải mơn Tốn, 11 học sinh đạt giải mơn Văn, số có em đạt giải đồng thời Văn Tốn Hỏi trường có học sinh đạt giải học sinh giỏi? Lời giải:  A tập học sinh đạt giải mơn Tốn  B tập học sinh đạt giải môn Văn  Tổng số học sinh đạt giải trường: N(AB)  Số học sinh đạt giải hai mơn Văn Tốn: N(A  B)  Do vậy, N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 20 + 11 - = 24 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.2 Nguyên lý Bù trừ (3/9) Ví dụ nguyên lý bù trừ:  Xác định số lượng số nguyên dương nhỏ 1000 chia hết cho 11? Lời giải:  A: tập số nguyên dương nhỏ 1000 chia hết cho  B: tập số nguyên dương nhỏ 1000 chia hết cho 11  A  B: tập số nguyên dương nhỏ 1000 chia hết cho 11  A  B: tập số nguyên dương nhỏ 1000 chia hết cho 11  Lực lượng A: [1000/9]  Lực lượng B: [1000/11]  11 hai số nguyên tố nên số nguyên chia hết cho 11 số nguyên chia hết cho 9.11=99 Số số [1000/99]  Từ ta có: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB)  1000   1000   1000      111  90  10  191       11   99  @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.2 Nguyên lý Bù trừ (4/9) Ví dụ nguyên lý bù trừ:  Giả sử trường đại học có 1503 sinh viên năm thứ Trong số có 453 sinh viên tham gia Câu lạc (CLB) tin học, 267 sinh viên tham gia CLB toán học 99 sinh viên tham gia hai CLB Hỏi có sinh viên khơng tham gia CLB toán học CLB tin học? Lời giải:  Số sinh viên khơng tham gia CLB tốn học CLB tin học tổng số sinh viên trừ số sinh viên tham gia hai CLB  A: tập sinh viên năm thứ tham gia CLB tin học  B: tập sinh viên tham gia CLB tốn học  Khi ta có N(A) = 453, N(B) = 267 N(AB) = 99 Số sinh viên tham gia CLB tin học CLB toán học là: N(AB) = N(A) + N(B) - N(AB) = 453 + 267 - 99 = 621  Do có 1503 - 621 = 882 sinh viên năm thứ khơng tham gia CLB tốn tin học @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.2 Nguyên lý Bù trừ (5/9) 3.2.2 Nguyên lý bù trừ:  Cho A1, A2, …, An tập hữu hạn Khi n n i 1 i 1 N (  Ai )   N ( Ai )   (1) 10 n 1  1 i  j  n N ( Ai  A j )   1 i  j  k  n N ( Ai  A j  Ak )  n N (  Ai ) i 1 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (12/26)  Lời giải ví dụ 01:  Phương trình đặc trưng tốn có dạng r2 - r - =  Nghiệm r = r = -1  Vậy dãy an nghiệm hệ thức truy hồi an = 12n + 2(-1)n với số 1 2  Từ điều kiện đầu ta suy ra: a0 = = 1 + 2 a1 = = 12 + 2(-1)  Ta 1 = 2 = -1  Vậy nghiệm hệ thức truy hồi điều kiện đầu dãy an: an = 3.2n - (-1)n 44 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (13/26)  Ví dụ 02:  Tìm cơng thức tường minh số Fibonaci f0 = f1 = fn = fn-1+fn-2 45 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (14/26)  Lời giải ví dụ 02:  Phương trình đặc trưng có dạng r2-r-1=0 1 1  Nghiệm đặc trưng là: r1  r2  2 n  Các số Fibonaci xác  Vậy nghiệm có dạng: f n  Với 46 1  1  1        định: f n          n 1  1           5    1 ,2   5 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University n n 3.5 Hệ thức truy hồi (15/26)  Ví dụ 03:  Tìm nghiệm hệ thức truy hồi: an = 6an-1 - 9an-2 với điều kiện đầu a0 = a1 = 47 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (16/26)  Lời giải ví dụ 03:  Phương trình đặc trưng r2 - 6r + = có nghiệm kép r =  Do nghiệm hệ thức truy hồi có dạng: an = 13n + 2n3n,  Để xác định số 1 2 , ta sử dụng điều kiện đầu: a0 = = 1 a1 = = 13 + 23  Ta có 1 = 1, 2 =  Do nghiệm hệ thức truy hồi thoả mãn điều kiện đầu cho là: an = 3n + n3n 48 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (17/26)  Ví dụ 04:  Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 6an-1 - 11an-2 + 6an-3 với điều kiện đầu a0 = 2, a1 = 5, a2 = 15 49 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (18/26)  Lời giải ví dụ 04:  Có thể thấy r = 1, r = 2, r = nghiệm đặc trưng phân biệt đa thức đặc trưng tương ứng với hệ thức truy hồi: r3 - 6r2 + 11r - 6=0  Do nghiệm hệ thức truy hồi có dạng: an = 11n + 22n + 33n  Để tìm số 1, 2, 3, ta dùng điều kiện đầu: a0 = = 1 + 2 + 3 a1 = = 1 + 22 + 33 a2 = 15 = 1 + 24 + 39  Ta nhận 1 = 1, 2 = -1, 3 =  Nghiệm hệ thức truy hồi thoả mãn điều kiện ban đầu cho dãy an: an = - 2n + 2.3n 50 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (19/26) 3.5.2 Giải hệ thức truy hồi:  Định lý 04:  Cho c1, c2, …, ck số thực  Giả sử phương trình đặc trưng rk - c1rk-1 - … - ck = có t nghiệm r1, r2, …, rt lặp m1, m2,…,mt với m1 + m2+…+mt = k  Khi dãy an nghiệm hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k    an  1,  1,1n   1,m1 1n m1 1 r1n   m2 1 n  n  n r2     2, ,1 , m2 1     mt 1 n   n    n rt t ,0 t ,1 t , mt 1 Với n = 0, 1, 2, …, i,j số 51 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (20/26)  Ví dụ 05:  Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = - 3an-1 - 3an-2 - an-3 với điều kiện đầu a0 = 1, a1 = -2, a2 = -1 52 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (21/26)  Lời giải ví dụ 05:  Có thể thấy r = -1 nghiệm lặp đa thức đặc trưng tương ứng với hệ thức truy hồi: r3 + 3r2 + 3r + 1=0  Do nghiệm hệ thức truy hồi có dạng: an = 1,0(-1)n + 1,1n(-1)n+ 1,2n2(-1)n  Để tìm số 1,0, 1,1, 1,2, ta dùng điều kiện đầu: a0 = = 1,0 a1 = -2 = -1,0 - 1,1 - 1,2 a2 = -1 = 1,0 + 21,1 + 41,2  Ta nhận 1,0 = 1, 1,2 = 3, 1,2 = -2  Nghiệm hệ thức truy hồi thoả mãn điều kiện ban đầu cho dãy an: an = (1 + 3n - 2n2) (-1)n 53 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (22/26) 3.5.2 Giải hệ thức truy hồi:  Định lý 05:  Với hệ phương trình hồi quy khơng có dạng:  an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k + F(n)  Khi nghiệm có dạng: { an(p) + an(h)}  Trong đó:  an(h): nghiệm an = c1an-1 + c2an-2 + … + ckan-k  an(p): nghiệm riêng phương trình, có dạng hồi quy: an(p) = c1an-1(p) + c2an-2(p) + … + ckan-k(p) + F(n) 54 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (23/26)  Ví dụ 06:  Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 3an-1 + 2n với điều kiện đầu a1 = 55 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (24/26)  Lời giải ví dụ 06:  Ta có an(h) = 3n  Với F(n) = 2n, nên nghiệm riêng có dạng cn + d  Hơn nữa, nghiệm thỏa hệ hồi quy, nên ta có: cn + d = 3(c(n-1)+d) + 2n  (2+2c)n + (2d – 3c) = với n  c = -1; d = -3/2 Vậy an(p) = - n – 3/2 Nghiệm hệ hồi quy: an = an(p) + an(h) = – n – 3/2 + 3n Lưu ý: tự giải tìm  56 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (25/26)  Ví dụ 07:  Tìm nghiệm hệ thức truy hồi an = 5an-1 - 6an-2 + 7n a0 = 1, a1 = 57 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 3.5 Hệ thức truy hồi (26/26)  Lời giải ví dụ 07:  Ta có an(h) = 13n + 22n  Với F(n) = 7n, nên nghiệm riêng có dạng C.7n  Hơn nữa, nghiệm thỏa hệ hồi quy, nên ta có: C.7n = 5.C.7n-1 - 6.C.7n-2 + 7n C = 49/20 Vậy an(p) = (49/20) 7n Nghiệm hệ hồi quy: an = an(p) + an(h) = (49/20) 7n + 13n + 22n Lưu ý: tự giải tìm 1 2 58 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University