Bài giảng toán rời rạc chương 6 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG ĐẠI SỐ BOOLE VÀ MẠCH TỔ HỢP Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University NỘI DUNG 6.1 Giới thiệu chung 6.2 Hàm Boole 6.3 Biểu diễn hàm Boole 6.4 Các cổng logic 6.5 Một số ứng dụng @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.1 Giới thiệu chung  Giới thiệu số khái niệm mạch tổ hợp đại số Boole  Mối liên hệ hàm Boole mạch tổ hợp  Dùng hàm Boole để phân tích thiết kế mạch thực tế  Phương pháp tối ưu hoá biểu thức Boole - phương pháp Quine-McClusky @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.2 Hàm Boole (1/10) 6.2.1 Giới thiệu (1/2):  Đại số Boole đưa quy tắc, phép toán làm việc với tập B = {0,1}  Sử dụng đại số Boole trong:  Các chuyển mạch điện tử,  Quang học nghiên cứu  phép tốn dùng nhiều nhất: Phép lấy tổng Boole; Phép lấy tích Boole; Phép lấy phần bù @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.2 Hàm Boole (2/10) 6.2.1 Giới thiệu (2/2):  Phép lấy tổng Boole:  Ký hiệu + ˅,  Được định nghĩa : + = 1; + = 1; + = 1; + =  Phép lấy tích Boole:  Ký hiệu ˄,  Được định nghĩa: = 1; = 0; = 0; =0  Phép lấy phần bù:  Ký hiệu ,  Được định nghĩa: ; @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.2 Hàm Boole (3/10) 6.2.2 Biểu thức Boole hàm Boole (1/4):  Cho B = {0, 1}, đó:  Biến x gọi biến Boole nhận giá trị ∈ →  Một ánh xạ f: – gọi hàm Boole bậc n  Biểu thức Boole, với biến Boole, định nghĩa cách đệ quy sau:  Các ký hiệu 0,1 biến Boole , ,…, biểu thức Boole  Nếu , biểu thức Boole đó, , , biểu thức Boole @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.2 Hàm Boole (4/10) 6.2.2 Biểu thức Boole hàm Boole (2/4):  Ví dụ: Tìm giá trị hàm Boole hàm Boole , , biểu diễn: ̅  Giải: giá trị cho dạng bảng: , , x y z x.y 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.2 Hàm Boole (5/10) 6.2.2 Biểu thức Boole hàm Boole (3/4):  Cho hàm Boole F, G với n biến, đó:  F G gọi nếu: , ,…, , ,…, với ∀ , ,…, ∈ B={0,1}  Hai biểu thức Boole khác biểu diễn hàm gọi tương đương  Phần bù hàm Boole F, ký hiệu , , định nghĩa: ,…, , ,…,  Tổng Boole F G định nghĩa: , ,…, , ,…, , +  Tích Boole F G định nghĩa: , ,…, , ,…, , @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University ,…, ,…, 6.2 Hàm Boole (6/10) 6.2.2 Biểu thức Boole hàm Boole (4/4):  Ví dụ: Có hàm Boole khác bậc n?  Giải: Có 2n n phần tử khác gồm số Vì hàm Boole gán cho số 2n n phần tử Theo quy tắc nhân, số hàm Boole bậc n có: hàm Boole @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.2 Hàm Boole (7/10) 6.2.3 Các đẳng thức đại số Boole: CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC BOOLE Hằng đẳng thức x Tên gọi x Luật phần bù kép x x x x x x x x x x x x x Luật đồng x x Luật nuốt y x y x Luật giao hoán y x y y z x y z y z x y x y x y z x z z y x z x y x z x y x y x y x y 10 Luật lũy đẳng Luật kết hợp Luật phân phối Luật De Morgan @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (5/19) 6.5.1 Bộ cộng (5/5) Từ bảng bên, ta có: Đầu vào 43 Đầu s s x y c x y c x y c x y c x y 1 1 c 1 0 Như vậy, mạch có sử dụng nửa cộng: 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 x y c x y c @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University x y c x y c 6.5 Một số ứng dụng (6/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (1/14) 6.5.2.1 Cực tiểu hóa mạch (1/2)  Cùng hàm số có nhiều cơng thức biểu diễn khác → có nhiều thiết kế cho hàm  Hiệu mạch tổ hợp phụ thuộc nhiều vào số lượng cổng bố trí cổng  Q trình thiết kế mạch dùng khai triển tổng tích mạch (dạng tuyển chuẩn tắc) để tìm tập cổng logic thực mạch  Tuy nhiên, khai triển chứa số hạng nhiều mức cần thiết biến đổi tương đương rút gọn dạng tuyển chuẩn tắc mạch 44 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (7/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (2/14) 6.5.2.1 Cực tiểu hóa mạch (2/2) Ví dụ: Mạch tổ hợp có dạng tuyển chuẩn tắc x y z x y z rút gọn: x y z x y z x y z z x y x y Do đó, có mạch với phép tốn sau: 45 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (8/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (3/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (1/12)  Ý tưởng phương pháp: có hai thủ tục sau:  Thủ tục thứ nhất: xác định số hạng ứng viên để đưa vào khai triển cực tiểu tổng tích Boole  Thủ tục thứ hai: xác định số ứng viên đó, số hạng thực dùng 46 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (9/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (4/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (2/12) Xem xét ví dụ sau:  Dùng phương pháp Quine-McCluskey để tìm biểu thức cực tiểu tương đương với tổng tích Boole sau: 47 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (10/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (5/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (3/12) Biểu diễn:  Biểu diễn tiểu hạng tổng xâu bit  Bit thứ xuất x xuất ̅  Bit thứ hai xuất y xuất  Bit thứ hai xuất z xuất ̅  Nhóm số hạng theo số lượng trị xâu bit tương ứng  Thông tin ghi bảng 48 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (11/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (6/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (4/12) Bảng thông tin biểu diễn hàm F 49 Tiểu hạng Xâu bit Số số 111 101 ̅ 011 ̅ 001 ̅ ̅ 000 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (12/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (7/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (5/12)  Các tiểu hạng tổ hợp lại số hạng khác tục biến  Hai số hạng tổ hợp khác số xâu bit biểu diễn số hạng  Khi hai tiểu hạng tổ hợp thành tích, tích chứa hai tục biến Tích có hai tục biến biểu diễn dấu gạch ngang để biến không xuất 50 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (13/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (8/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (6/12) Ví dụ: x y z x y z x x y z y z y z, đó: x y z x y z với biểu diễn 101 001 tổ hợp thành y z có biểu diễn -01  Tiếp theo, tất cặp tích có hai tục biến tổ hợp tổ hợp thành số hạng có tục biến  Hai tích tổ hợp chúng chứa tục biến hai biến Các tục biến khác hai biến 51 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (14/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (9/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (7/12)  Tất cặp tiểu hạng tổ hợp tích tạo thành từ tổ hợp cho bảng sau: Khởi tạo Bước Bước KH Số hạng Xâu bít KH Số hạng Xâu bít KH Số hạng Xâu bít 111 (1,2) 1-1 (1,2,3,4) z 101 (1,3) -11 ̅ 011 (2,4) -01 ̅ 001 (3,4) ̅ 0-1 ̅ ̅ 000 (4,5) ̅ 00- 52 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (15/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (10/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (8/12)  Những số hạng dùng để tạo tích có số tục biến nhỏ  Nhận dạng tập cực tiểu tích cần thiết có mặt biểu diễn cần tìm?  Cơng việc bắt đầu với tất tích chưa dùng để xây dựng tích có số tục biến (trong ví dụ xét z, x y )  Trong bảng tiếp theo, xác định tích ứng viên phủ tiểu hạng gốc  Nếu có tích ứng viên phủ tiểu hạng gốc tích ứng viên phải sử dụng biểu diễn cần tìm 53 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (16/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (11/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (9/12) z x x x x x y x Trong bảng trên, ta thấy z và x y cần thiết Vậy, đáp án cuối cùng: 54 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University x 6.5 Một số ứng dụng (17/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (12/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (10/12) Các bước giải thuật Quine-McCluskey: Biểu diễn tiểu hạng n bit xâu bit có độ dài n với số vị trí thứ i xi xuất với số x xuất Nhóm xâu bit theo số số có mặt chúng Xác định tất tích n-1 biến tạo thành cách lấy tổng Boole tích khai triển đó, Các tiểu hạng tổ hợp biểu diễn xâu bit khác vị trí Biểu diễn tích n-1 biến xâu bit có số vị trí thứ i có xi , số vị trí có x dấu gạch ngang khơng có khơng có tục biến liên quan đến xi tích 55 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (18/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (13/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (11/12) Các bước giải thuật Quine-McCluskey (tiếp): 56 Xác định tất tích n-2 biến tạo thành cách lấy tổng Boole tích n-1 biến tìm bước trước Các tích n-1 biến tổ hợp biểu diễn xâu bit có dấu gạch ngang vị trí khác vị trí số vị trí cịn lại Tiếp tục tiến hành tổ hợp tích Boole thành tích có số biến theo cách tương tự bước rút gọn Tìm tất tích Boole xuất khơng dùng để lập tích Boole với số tục biến bớt @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 6.5 Một số ứng dụng (19/19) 6.5.2 Phương pháp Quine-McCluskey - cực tiểu hóa mạch (14/14) 6.5.2.2 Phương pháp Quine-McCluskey (12/12) Các bước giải thuật Quine-McCluskey (tiếp): Lập bảng xác định tích thu phủ tiểu hạng gốc ban đầu với điều kiện tiểu hạng phải phủ tích Trên sở xác định tập nhỏ tích Boole cho tổng chúng biểu diễn hàm cho ban đầu 57 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University