Bài giảng toán rời rạc chương 4 dr ngô hữu phúc

TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG BÀI TOÁN TỒN TẠI Lecturer: PhD Ngo Huu Phuc Tel: 0438 326 077 Mob: 098 5696 580 Email: ngohuuphuc76@gmail.com @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University Nội dung chương 4.1 Giới thiệu toán 4.2 Nguyên lý Dirichlet 4.3 Hệ đại diện phân biệt 4.4 Bài tập @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.1 Giới thiệu toán (1/6)  Trong nội dung chương 3, đếm số lượng phần tử tập hợp, số cấu hình tổ hợp thoả mãn tính chất đó, với giả thiết tồn cấu hình hiển nhiên  Trong chương 4, xét tồn cấu hình tổ hợp, phương án với tính chất cho trước  Các toán thuộc dạng gọi toán tồn @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.1 Giới thiệu toán (2/6) 4.1.1 Các ví dụ mở đầu Bài tốn 36 sĩ quan (Euler đề nghị)  Có lần người ta triệu tập từ trung đoàn trung đoàn sĩ quan thuộc cấp bậc khác nhau: thiếu uý, trung uý, thượng uý, đại uý, thiếu tá, trung tá tham gia duyệt binh sư đoàn  Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vng cho hàng ngang hàng dọc có đại diện trung đồn cấp bậc? @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.1 Giới thiệu tốn (3/6) 4.1.1 Các ví dụ mở đầu Bài toán mầu  Chứng minh đồ mặt phẳng tơ mầu, cho khơng có hai nước láng giềng lại bị tô màu  Chú ý ta xem nước vùng liên thông hai nước gọi láng giềng chúng chung đường biên giới đường liên tục @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.1 Giới thiệu toán (4/6) 4.1.1 Các ví dụ mở đầu Hình lục giác thần bí  Năm1910 Clifford Adams đề tốn hình lục giác thần bí sau: Trên 19 lục giác điền vào số từ đến 19 cho tổng theo hướng lục giác (và 38) 15 14 13 10 11 12 18 17 16 19 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.1 Giới thiệu toán (5/6) 4.1.2 Một số phương pháp giải toán tồn đơn giản Phương pháp chứng minh trực tiếp  Để giải toán tồn tại, phương pháp đơn giản cấu hình, phương án thoả mãn điều kiện cho @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.1 Giới thiệu toán (6/6) 4.1.2 Một số phương pháp giải toán tồn đơn giản Phương pháp phản chứng  Một cách giải toán tồn dùng lập luận phản chứng giả thiết điều định chứng minh sai từ dẫn đến mẫu thuẫn @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.2 Nguyên lý Dirichlet (1/12) 4.2.1 Mở đầu  Nguyên lý Dirichlet phát biểu sau:  Nếu xếp nhiều n đối tượng vào n hộp tồn hộp chứa khơng đối tượng @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.2 Nguyên lý Dirichlet (2/12)  Ví dụ 01:  Một năm có nhiều 366 ngày Do số 367 người có người có ngày sinh  Ví dụ 02:  Thang điểm kiểm tra cho từ đến 10, tức có 11 thang điểm khác Do vậy, số 12 sinh viên lớp có người có kết kiểm tra giống  Ví dụ 03:  Cấp bậc quân hàm sỹ quan có cấp từ thiếu uý đến đại tá Do đơn vị có sỹ quan có hai người cấp bậc 10 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.3 Hệ đại diện phân biệt (3/15) 4.3.1 Khái niệm hệ đại diện phân biệt (tiếp) Chú ý:  Nếu họ tập tồn TRAN hợp k tập hợp phải có k phần tử (vì ln tìm k đại diện khác k tập đó)  Hay tìm k tập họ mà hợp chúng có k phần tử chắn chắn họ xét khơng có TRAN  Ví dụ:  S={1,2,3,4,5}, S1 = {2,5},S2 ={2,5},S3 ={1,2,3,4}, S4={2,5}  Họ không tồn TRAN S1S2S4={2,5} có phần tử 23 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.3 Hệ đại diện phân biệt (4/15) 4.3.2 Định lý Hall  Giả sử tập S1,S2, Sm thoả mãn điều kiện :   N Si1  Si2   Sik  k (1) với  k  m,  i1 < i2 < m họ xét có t!/(t-m)! TRAN @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.3 Hệ đại diện phân biệt (5/15) 4.3.2 Định lý Hall (tiếp) Định nghĩa  Điều kiện (1) (N(Si1Si2 Sik)  k) gọi điều kiện Hall  Gọi họ họ S1, S2, ,Sm gọi họ tới hạn bất đẳng thức (1) trở thành đẳng thức 25 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.3 Hệ đại diện phân biệt (6/15) 4.3.2 Định lý Hall (tiếp) Chứng minh:  Quy nạp theo m  Với m=1 ta có t = t!/(t-1)! TRAN, định lý  Giả sử định lý cho họ tập Si có m tập, cần chứng minh định lý dùng cho họ tập gồm m tập chia làm hai trường hợp:  Trường hợp Khơng có họ tới hạn  Trường hợp Có họ tới hạn 26 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.3 Hệ đại diện phân biệt (7/15) 4.3.2 Định lý Hall (tiếp) Trường hợp 1: Khơng có họ tới hạn:  Chọn a1 phần tử S1 loại khỏi S2, S3, Sm (nếu có mặt) gọi họ nhận S2’,S3’, Sm’  Họ thoả mãn điều kiện Hall tập thuộc họ có t-1 phần tử  Theo giả thiết qui nạp họ có (t-1)! TRAN t-1  m-1 hay t  m có (t-1)!/(t-m)! t-1>m-1 hay t > m  Mặt khác TRAN S2’,S3’, ,Sm’,cùng với a1, xác định TRAN S2’,S3’, ,Sm’ (a1 đại diện cho S1)  Điều cho cách chọn a1 số t cách chọn từ S1.Từ nhận đánh giá cần chứng minh 27 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.3 Hệ đại diện phân biệt (8/15) 4.3.2 Định lý Hall (tiếp) Trường hợp 2: Có họ tới hạn:  Khơng tính tổng quát giả thiết họ S1, S2 Sk (k1) Chia TRAN thành loại :  {1} đại diện cho S1 thành phần cịn lại hệ đại diện họ {2,3},{2,3,4}, ,{n-1,n} loại có Fn-1 TRAN  {2} đại diện cho S1 bắt buộc {1} phải đại diện cho S2 thành phần lại hệ đại diện họ {3,4},{4,5}, ,{n-1,n}do loại có Fn-2 TRAN  Từ nhận hệ thức Fn=Fn-1+Fn-2 Các giá trị F1=1, F2=2 tính trực tiếp hệ thức truy hồi xác định số Fibonaci 35 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.4 Bài tập (1/2) Bài 1: Chứng minh rằng, lấy số khác từ tập S = {1,2, ,9} chắn tồn số có tổng 10 Gợi ý: chia thành nhóm có tổng 10, dùng nguyên lý Dirichlet Bài 2: Có 16 cầu thủ bóng rổ, số áo người đánh từ đến 16 đứng thành vòng tròn theo thứ tự Chứng minh tồn cầu thủ đứng liền có tổng số áo 26 Gợi ý: dùng phương pháp phản chứng dạng tổng x1,x2,x3… 36 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University 4.4 Bài tập (2/2) Bài 3: Cho (Xi, Yi ,Zi ) i=1,…,9 toạ độ nguyên điểm không gian ba chiều Chứng minh tồn đoạn thẳng nối điểm số có trung điểm toạ độ nguyên Bài 4: Chỉ dãy m số nguyên dương tồn dãy số hạng liên tiếp có tổng chia hết cho m 37 @Copyrights by Dr Ngo Huu Phuc, Le Quy Don Technical University