Bài giảng Toán rời rạc - Chương 3: Phương pháp đếm cung cấp cho người học các kiến thức: Tập hợp và hàm số, các nguyên lý đếm, lý thuyết tổ hợp, nguyên lý Dirichlet, hệ thức truy hồi. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
TOÁN RỜI RẠC Chương 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẾM GV: NGUYỄN LÊ MINH Bộ môn Công nghệ thông tin Nội dung Tập hợp hàm số Các nguyên lý đếm Lý thuyết tổ hợp Nguyên lý Dirichlet Hệ thức truy hồi Tập hợp Định nghĩa: Là khái niệm toán học, làm sở cho định nghĩa toán học Đó đối tượng nhóm lại theo tính chất Ví dụ: Tập hợp tập toán rời rạc Tập hợp số sinh viên lớp CNTT K59 Hệ phương trình tuyến tính (Tập hợp đồng nghĩa với họ, hệ, lớp ….) Tập hợp Những yếu tố tạo thành tập hợp gọi phần tử (hay điểm) tập hợp Kí hiệu: Nếu a phần tử A a∈A (a thuộc A) Diễn tả tập hợp Có cách diễn tả tập hợp: Nêu tính chất đặc trưng phần tử tạo thành tập hợp Liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ: A = 𝑥 ∈ 𝑁| 𝑥 𝑙à 𝑠ố 𝑛𝑔𝑢𝑦ê𝑛 𝑡ố A = ;2 ;3 ;4 ;5 Tập hợp Các tập hợp số: N = … −> tập hợp số tự nhiên 𝑁 ∗ = … −> tập hợp số tự nhiên khác Z = … −> tập hợp số nguyên Q = … −> tập hợp số hữu tỉ R = … −> tập hợp số thực C = … −> tập hợp số phức Tập hợp - Tập hợp A có n phần tử |A| = n - Tập hợp A có vơ số phần tử |A| = +∞ - Tập hợp khơng có phần tử ( tập hợp rỗng) |A| = ∅ ( Lưu ý: Tập hợp rỗng ≠ tập hợp có phần tử 0) Tập hợp Nếu phần tử tập hợp A phần tử tập hợp B A tập hợp B A B Ngoài ra: A A A Nếu A B B A A = B Nếu 𝐴 ≠ 𝐵 A B hay B A Tập hợp Mối quan hệ hai tập hợp biểu diễn biểu đồ Venn Các phép tốn tập hợp • Phép giao: 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒙 ∈ 𝑼|(𝒙 ∈ 𝑨) (𝒙 ∈ 𝑩) • Phép hợp: 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝒙 ∈ 𝑼|(𝒙 ∈ 𝑨)(𝒙 ∈ 𝑩) • Phần bù: A U \ A x U | x A Giải công thức truy hồi Định nghĩa: Giải cơng thức truy hồi tìm cơng thức rõ ràng cho 𝑆𝑛 mà khơng phải tính thơng qua phần tử trước a) Giải cơng thức truy hồi phương pháp lặp b) Giải công thức truy hồi phương pháp trình bày đặc trưng Giải cơng thức truy hồi Bằng phương pháp lặp: Thay liên tiếp cơng thức truy hồi vào nó, lần thay bậc n giảm đơn vị, đạt giá trị ban đầu Giải cơng thức truy hồi Ví dụ: Trên mặt phẳng kẻ n đường thẳng cho khơng có đường song song hay đường đồng quy Hỏi mặt phẳng chia làm phần ? Gọi số phần mặt phẳng chia n đường thẳng S(n) Giả sử kẻ (n-1) đường thẳng, kẻ thêm đường thẳng số phần mặt phẳng thêm số giao điểm +1 Vậy ta có cơng thức truy hồi S(n) = S(n-1) + n với n≥2 & S(1) = Giải công thức truy hồi Giải công thức truy hồi phương pháp lặp S(n) = n + S(n-1) S(n) = n + (n-1) + S(n-2) S(n) = n + (n-1) + (n-2) + S(n-3) … Vậy S(n) = 𝑛(𝑛+1) +1 Giải công thức truy hồi Bằng phương pháp trình bày đặc trưng: Một hệ thức truy hồi tuyến tính bậc k hệ thức truy hồi có dạng 𝑆𝑛 = 𝐶1 𝑆𝑛−1 + 𝐶2 𝑆𝑛−2 + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑆𝑛−𝑘 Trong 𝐶1 , 𝐶2 , …𝐶𝑘 số thực 𝐶𝑘 ≠ Điều kiện đầu 𝑆0 = 𝐶0 , 𝑆1 = 𝐶1 , … , 𝑆𝑘−1 = 𝐶𝑘−1 Phương trình sau phương trình đặc trưng công thưc truy hồi 𝑟 𝑘 − 𝐶1 𝑟 𝑘−1 − 𝐶2 𝑟 𝑘−2 − ⋯ − 𝐶𝑘 = Giải công thức truy hồi Định lý: Giả sử phương trình đặc trưng 𝑟 𝑘 − 𝐶1 𝑟 𝑘−1 − 𝐶2 𝑟 𝑘−2 − ⋯ − 𝐶𝑘 = Có k nghiệm phân biệt 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑘 dãy {Sn} nghiệm hệ thức truy hồi 𝑆𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑟𝑘𝑛 Với n = 0,1,2… 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑘 số Giải cơng thức truy hồi Ví dụ: Giải công thức truy hồi 𝑓𝑛 = 6𝑓𝑛−1 − 11𝑓𝑛−2 +6𝑓𝑛−3 Với f(0)=2, f(1)=5, f(2) =15 Phương trình đặc trưng 𝑟 − 6𝑟 + 11𝑟 − = 𝑟1 = 𝑟2 = 𝑟3 = 𝑆𝑛 = 𝛼1 1𝑛 + 𝛼2 3𝑛 + 𝛼3 2𝑛 (∗) Thay f(0),f(1),f(2) ta có = 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 => 𝛼1 = = 𝛼1 + 3𝛼2 + 2𝛼3 => 𝛼2 = 15 = 𝛼1 + 9𝛼2 + 4𝛼3 => 𝛼3 = -1 Giải cơng thức truy hồi Ví dụ: Giải cơng thức truy hồi 𝑓𝑛 = 6𝑓𝑛−1 − 11𝑓𝑛−2 +6𝑓𝑛−3 Với f(0)=2, f(1)=5, f(2) =15 Công thức truy hồi 𝑓𝑛 = 1𝑛 + 3𝑛 − 2𝑛 Giải công thức truy hồi Ví dụ: Giải cơng thức truy hồi 𝑓𝑛 = 6𝑓𝑛−1 − 9𝑓𝑛−2 Với f(0)=2, f(1)=6 Công thức truy hồi 𝑓𝑛 =3𝑛 + 𝑛 3𝑛 Bài tập Giải hệ thức truy hồi sau S(n) = 2.n.S(n-1) với n≥ 1, 𝑆 = S(n) = S(n-1) + n với ≥ 1, 𝑆 = S(n) = S(n-1) +1 + 2𝑛−1 với ≥ 1, 𝑆 = S(n) = 5S(n-1) – 6S(n-2) với S(0)=1, S(1)=0 S(n) = S(n-1) + 6S(n-2) với S(0)=3, S(1)=0 S(n) = -6S(n-1) - 9S(n-2) với n≥ 2, 𝑆 = 3, 𝑆 = −3 S(n) = 2S(n-1) + 5S(n-2) - 6S(n-3) với n≥3, S(0) = 7, S(1) = -4, S(2) = Bài tập Giải hệ thức truy hồi sau (tiếp) S(n) = 7.S(n-1)-10S(n-2) với n ≥ 2, 𝑆 = 2, 𝑆 = S(n) = S(n-1) + S(n-2) – 2S(n-3) với n≥3, S(0) = 7, S(1) = -4, S(2) = 10 S(n) = S(n-1) + 2n + với S(0) = 11 S(n) = 2S(n-1) - S(n-2) với n≥2 S(0) =4 S(1) =1 12 S(n) = -4S(n-1) + -4S(n-2) với n≥2, S(0)=0, S(1) =1 Bài tập Giải hệ thức truy hồi sau (tiếp) 13 S(n) = 5.S(n-1)-6S(n-2) với n ≥ 2, 𝑆 = 0, 𝑆 = 14 S(n) = S(n-1) + 4S(n-2) – 4S(n-3) với S(0) = 0, S(1) = 1, S(2) = -1 Bài tập Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 31 Trong trường hợp sau 𝑥1 ≥ 16 ≤ 𝑥1 ≤ 10 𝑥1 ≥ với i = 1,2,3,4,5 ≤ 𝑥1 ≤ ≤ 𝑥3 ≤ 15 𝑥5 ≥ Bài tập Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 21 Trong trường hợp sau 𝑥1 ≥ ≤ 𝑥1 ≤ 10 𝑥1 ≥ với i = 1,2,3,4,5 ≤ 𝑥1 ≤ ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≥ 15 Bài tập Tìm số nghiệm ngun khơng âm phương trình 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 21 Trong trường hợp sau 𝑥1 ≥ 5 ≤ 𝑥1 ≤ 10 𝑥1 ≥ với i = 1,2,3,4,5 ≤ 𝑥1 ≤ ≤ 𝑥2 ≤ 𝑥3 ≥ 15 ... S(0)=1, S(1)=0 S(n) = S(n-1) + 6S(n-2) với S(0) =3, S(1)=0 S(n) = -6 S(n-1) - 9S(n-2) với n≥ 2,