Ứng dụng nguyên lí dirichlet vào giải bài toán diện tích (2017)

LỜI CAM ĐOANTrong quá trình nghiên cứu khoá luận "Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải bài toán diện tích", em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình.. Tr

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Tiểu học

HÀ NỘI, 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

======

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Người hướng dẫn khoa học: Th.S Phạm Thanh Tâm

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn, giúp đỡ của các thầy cô trongkhoa Giáo dục Tiểu học, các thầy cô trong tổ Hình học của khoa Toán trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho em trong quá trình làm khoáluận tốt nghiệp

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp hướng dẫn em, luôn chỉ bảo, định hướng cho em để em có

thể hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và kinh nghiệm củabản thân có hạn chế nên trong quá trình nghiên cứu khó tránh khỏi những thiếusót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khóa luận của

em được hoàn thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Vĩnh Phúc, ngày 1 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang

LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu khoá luận "Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải bài toán diện tích", em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn

thành khóa luận của mình Danh sách tài liệu này em đã đưa vào mục Tài liệu tham khảo của khoá luận

Em xin cam đoan khoá luận được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của

bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo Phạm Thanh Tâm cũng

như các thầy cô trong tổ Hình học

Khóa luận của em không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạnsinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Vĩnh Phúc, ngày 1 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền Trang

LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nguyên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Cấu trúc đề tài 3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH 4

1.1 Khái niệm về hình và diện tích hình 4

1.1.1 Khái niệm về hình 4

1.1.2 Diện tích hình 6

1.2 Các phương pháp giải bài toán diện tích 11

1.2.1 Phương pháp diện tích 11

1.2.2 Phương pháp giả thiết tạm 13

1.2.3 Phương pháp sơ đồ diện tích 14

1.2.4 Phương pháp suy luận 16

1.2.5 Phương pháp dùng đơn vị quy ước 18

1.3 Đẳng hợp – mối quan hệ giữa đẳng hợp và đẳng diện 20

1.3.1 Khái niện về đẳng hợp 20

1.3.2 Tính chất 20

1.3.3 Mối quan hệ giữa đẳng hợp và đẳng diện 21

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH 25

2.1 Nguyên lí Dirichlet 25

2.1.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản 25

2.1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 26

2.1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 26

2.1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 26

2.1.5 Nguyên li Dirichlet vô hạn 27

2.2 Ứng dụng 28

2.3 Một số bài toán đề nghị 46

KẾT LUẬN ………48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học

1 Lí do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

1.1 Vai trò của môn Toán

- Môn Toán là môn học không chỉ trang bị cho học sinh nhữngkiến thức toán học chính xác mà còn hình thành ở học sinh những phươngpháp suy luận và tư duy làm việc khoa học, logic

- Môn toán cung cấp cho học sinh Tiểu học những kiến thức cơbản ban đầu, là cơ sở cho quá trình học tập, sớm hình thành và rèn luyện các

kĩ năng, tư duy logic giúp học sinh nắm vững hơn các kiến thức toán học, tạocho học sinh niềm tin, niềm vui trong học tập

1.2 Vị trí của bài toán diện tích

- Các kiến thức toán học được đưa vào dạy cho học sinh Tiểu họcgồm 4 nội dung chính là số học, đại lượng và phép đo đại lượng, các yếu tốhình học và giải toán có lời văn Các nội dung kiến thức này có mối liên hệmật thiết, hỗ trợ và bổ sung cho nhau góp phần phát triển toàn diện năng lựctoán học của học sinh Tiểu học Trong đó, bài toán diện tích của các hình nóiriêng chiếm một số lượng tương đối lớn trong mảng toán hình học Những bàitoán diện tích thường rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải Các bàitoán này không những được trình bày trong sách giáo khoa mà còn được trìnhbày trong nhiều tài liệu tham khảo khác và có trong các kì thi học sinh giỏibậc Tiểu học

1.3 Sự cần thiết của nguyên lí Dirichlet

- Ứng dụng nguyên lí Dirichlet được ứng dụng rất nhiều vào việcchứng minh các bài toán số học, đại số, tổ hợp, hình học,… Trong đó, thực tếnhiều bài toán diện tích phát biểu rất đơn giản nhưng để giải chúng, chúng tacần một sự hiểu biết sâu sắc những kiến thức về tổ hợp và hình học Sử dụngnguyên lý Dirichlet để giải các bài toán diện tích nói riêng và các bài toán

hình học tổ hợp nói chung là phương pháp kết hợp giữa tổ hợp và hình học.Nhờ có ứng dụng của nguyên lí Dirichlet mà nhiều bài toán khó trong lĩnhvực hình học tổ hợp đặc biệt là các bài toán diện tích được giải quyết mộtcách chọn vẹn và cho các lời giải hay.

- Nguyên lí Dirichlet do nhà toán học Peter Guster LijeuneDirichlet (1805-1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834 Nguyên

lí Dirichlet là một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quảsâu sắc của toán học Dùng nguyên lí Dirichlet trong nhiều trường hợp người

ta dễ chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định Sửdụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều về kiến thức và khả năng tínhtoán mà chủ yếu đòi hỏi sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô hình cụ thể vàlinh hoạt trong cách tư duy Đó là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứngdụng nguyên lí Dririchlet vào bài toán diện tích

Xuất phát từ những lý do trên, để thấy được cái hay, cái hiệu quả cũngnhư làm thành một cách thức mới để vận dụng vào quá trình giảng dạy saunày và giúp các em học sinh có được phương pháp giải bài toán diện tích , em

quyết định lựa chọn và nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào

giải bài toán diện tích” dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Phạm Thanh Tâm.

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và đưa vào trong thực tiễn quá trình giảng dạy

bộ môn hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng của nguyên líDirichlet vào giải các bài toán diện tích

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu đề tài

- Đối tượng: nguyên lí Dirichlet và những bài toán diện tích có ứng dụngnguyên lí Dirichlet để giải

- Phạm vi nghiên cứu: một số bài toán diện tích giải được bằng nguyên líDirichlet

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet

- Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán diệntích

- Hệ thống lại một số dạng bài tập diện tích có ứng dụng nguyên líDirichlet để giải

5 Phương pháp nguyên cứu

- Nghiên cứu các cơ sở lí luận, cơ sở khoa học nhằm đưa ra cái nhìn tổngquát về nội dung nguyên lí Dirichlet và nhận diện các bài toán có thểgiải quyết được bằng nguyên lí Dirichlet

- Phân tích tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập có ứng dụng nguyên líDirichlet

6 Giả thuyết khoa học

- Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lạiđược các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy họcmôn Toán, đặc biệt là bộ môn Hình học và bồi dưỡng học sinh giỏi

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH 1.1 Khái niệm về hình và diện tích hình

Hai cạnh ngắn có độ dài bằng nhau, viết là: AD = BC

Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và hai cạnh ngắn bằng nhau.

Độ dài cạnh dài gọi là chiều dài, độ dài cạnh ngắn gọi là chiều rộng

d) Hình bình hành

Hình bình hành ABCD có:

- AB và DC là hai cạnh đối diện, AD và BC A B

là hai cạnh đối diện

- Cạnh AB song song với cạnh DC

Cạnh AD song song với cạnh BC D C

- AB = DC và AD = BC

Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

e) Hình thoi

BHình thoi ABCD có:

- Cạnh AB song song với cạnh DC

Cạnh AD song song với cạnh BC A C

- Hai cạnh đáy là hai cặp cạnh đối diện song song.

Hình thang có một cặp cạnh đối diện song song.

1.1.2 Diện tích hình

Thông thường ta hiểu diện tích của một hình phẳng là một con số đặctrưng cho sự rộng hẹp của phần mặt phẳng mà hình đó chiếm chỗ Jordan làngười đầu tiên đưa ra định nghĩa chính xác của khái niệm diện tích và cáchxác định nó đối với một hình phẳng tùy ý

a) Định nghĩa diện tích của đa giác F là một số, kí hiệu là S(F), sao cho thỏa

mãn các điều kiện sau đây:

1 S(F) > 0.

3 Nếu đa giác F bằng đa giác F’ thì S(F) = S(F’).

4 Hình vuông H có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài thì S(H) = 1.

Nhận xét: Người ta chứng minh rằng với mỗi đa giác F có duy nhất một số

S(F) thỏa mãn bốn điều kiện trên Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, ta bỏ

qua chứng minh điều này, nhưng sẽ cho cách xác định số S(F) với mỗi đa giác

F.

b) Tính chất của diện tích

i) Mỗi đa giác đều có một diện tích xác định Diện tích của đa giác là một

số dương

ii) Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

iii) Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong

chung thì diện tích đa giác ban đầu bằng tổng diện tích của những

đa giác đó

iv) Hình vuông có cạnh là 1 thì có diện tích là 1

Ví dụ: Tính diện tích hình chữ nhật ABCD

Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = a, BC = b Ta đặt hình vuông H có

các cạnh song song với các cạch của hình chữ nhật và ở một góc của hình chữnhật Các đường của lưới hình vuông tạo thành một phép chia các cạnh AB và

BC Gọi a n tương ứng với A n là số các đoạn của phép chia thứ n cạnh AB nằm

hoàn toàn trong AB

C

B

D

Tương ứng số các đường thẳng của đường thẳng AB có chung với đoạn thẳng

AB ít nhất một điểm chung trong

Đối với cạnh BC, những số ấy được kí hiệu là b n , B n Rõ ràng

và Và: .

Vì vậy S(ABCD) = ab.

c) Trong mặt phẳng, cho đa giác F nào đó và một hình vuông H có cạnh bằng 1

H

Dựng các đường song song với các cạnh của hình vuông H và cách

nhau một khoảng bằng 1 Như vậy, trên mặt phẳng đã có lưới hình vuông và

ta gọi là lưới của bước chia thứ nhất Gọi p 1 là số hình vuông của bước chia

thứ nhất nằm hoàn toàn trong đa giác F và P 1 là số hình vuông có ít nhất một

điểm chung với đa giác F Trên hình vẽ p 1 = 5, P 1 = 27 Chia mỗi cạnh của

hình H thành 10 phần bằng nhau và qua các điểm chia kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình vuông thì hình vuông H được chia thành 100

hình vuông nhỏ Dùng một trong các hình vuông đó và làm giống như hình

vuông H ta sẽ tạo được một lưới hình vuông của bước chia thứ hai Chia mỗi

cạnh của hình vuông ở bước chia thứ hai làm 10 phần bằng nhau ta lại tạo

được lưới hình vuông của bước chia thứ ba,

Cũng như trong bước chia thứ nhất ta gọi p n là số hình vuông của bước

chia thứ n nằm hoàn toàn trong đa giác F còn P n là số các hình vuông của

bước chia này có ít nhất một điểm chung với F Hiển nhiên ta có:

Như vậy ta có dãy số tăng và bị chặn trên và dãy số

giảm và bị chặn dưới Do đó:

Bây giờ ta chứng minh p=P Với mỗi bước chia, số P n – p n là số cáchình vuông vừa chứa các điểm trong và các điểm ngoài của đa giác, tức cũng

là số hình vuông có chứa ít nhất một điểm trên cạnh của đa giác Nếu một

cạnh của đa giác có độ dài l thì số các hình vuông của bước chia thứ nhất chứa ít nhất một điểm của cạnh này là nhỏ hơn hoặc bằng 2l + 4 Ở bước chia thứ n và cạnh của hình vuông có độ dài là nên số các hình vuông của bước chia thứ này có điểm chung với cạnh nhỏ hơn hoặc bằng 2l.10 n + 4.

Vậy trong đó a là số cạnh của tam giác.

Như vậy với đa giác F ta xây dựng được S(F) = p = P Số S(F) này thỏa mãn các điều kiện và nó là diện tích của đa giác F.

Đối với một hình phẳng tùy ý Ø cũng làm như trên ta sẽ được hai số p

và P Tuy nhiên có những hình Ø mà p P Những hình Ø mà p = P gọi là những hình đo được diện tích.

d) Diện tích của các hình đặc biệt

Ở Tiểu học, học sinh được làm quen với các hình đa giác và học cáchxây dựng các công thức tính diện tích của các đa giác sau: hình chữ nhật, hìnhvuông, hình bình hành, hình tam giác, hình thoi và hình thang

Các công thức tính diện tích của các đa giác:

 Công thức tính diện tích hình chữ nhật a

S = a x b b(với chiều dài và chiều rộng lần lượt là a và b)

 Công thức tính diện tích hình vuông a

S = a x a(với a là độ dài cạnh vuông)

 Công thức tính diện tích hình bình hành a

S = a x h h(với độ dài cạnh đáy là a và chiều cao h)

 Công thức tính diện tích hình tam giác

S =

h(với độ dài cạnh đáy là a và chiều cao h)

 Công thức tính diện tích hình thang a

S =

h(với độ dài cạnh đáy là a và b, chiều cao h)

 Diện tích đa giác b

Việc tính diện tích của một đa giác bất kì thường được quy về việctính các diện tích của các hình đặc biệt trên

Chú ý: Trong các công thức trên, các đại lượng được tính trong cùng một

hệ đơn vị đo

1.2 Các phương pháp giải bài toán diện tích

Khi giải các bài toán, học sinh không chỉ cần phải nắm vững các kiếnthức mang tính chất công cụ đã nêu ở phần 1 mà còn phải biết tới các phươngpháp giải toán để lựa chọn được các phương pháp phù hợp cho từng bài

Đối với các bài toán diện tích đa giác thì sử dụng hầu hết các phươngpháp giải toán, trong đó có một số phương pháp được sử dụng nhiều hơn như:phương pháp diện tích, phương pháp giả thiết tạm, phương pháp suy luận,phương pháp dùng đơn vị quy ước, phương pháp sơ đồ diện tích

đoạn thẳng là yếu tố của hình

 Dùng tỉ số: trong một bài toán diện tích đa giác, người ta có thể dùng

tỉ số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diệc tích như một phương tiện đểgiải toán, giải thích, lập luận cũng như trong thao tác so sánh các giá trị về

- Khi chiều cao không đổi thì diện tích và độ dài cạnh đáy là haiđại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

Đối với một hình đa giác khác hình tam giác cũng có thể dùng tỉ sốdưới những thể hiện tương tự.

 Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích, tổnghợp trên hình:

Có những bài toán diện tích đa giác đòi hỏi phải biết vận dụng các thaotác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đodiện tích Điều này được thể hiện như sau :

- Nếu một hình được chia thành nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình

đó bằng tổng diện tích các hình nhỏ được chia

- Hai hình có diện tích bằng nhau mà có phần chung thì hai phần cònlại sẽ có diện tích bằng nhau

- Nếu ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽđược hai hình mới có diện tích bằng nhau

Ví dụ:

Một hình thang có đáy bé dài 12 dm, đáy lớn bằng đáy bé Khi kéodài đáy lớn thêm 5 dm thì diện tích hình thang tăng lên 20 dm2 Tính diện tíchban đầu

N hậ n x ét : ở ví dụ trên, trong khi giải bài toán đã sử dụng phương

pháp diện tích, nhờ đó lời giải bài toán ngắn gọn và chính xác

1.2.2 Phương pháp giả thiết tạm

Thường sử dụng với bài toán trong đó đề cập đến hai đối tượng người,vật có tính chất biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau Ta thử đặt mộttrường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện của bài toán, một khảnăng không có thật, thậm chí vô lí Tất nhiên, giả thiết ấy chỉ là tạm thờinhưng phải tìm được giả thiết ấy nhằm đưa bài toán về một tình huống quenthuộc đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy racái phải tìm

Phương pháp này thường được tiến hành như sau:

- Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ liệu của bàitoán nhưng vẫn tôn trọng các dữ liệu khác của bài toán

- Từ dữ liệu hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan tới

nó, cũng có sự thay đổi theo điều kiện bài toán

- Phân tích sự thay đổi đó rồi đối chiếu với dữ liệu của bài toán, pháthiện nguyên nhân của sự thay đổi và tìm ra phương pháp điểu chỉnh thích hợp

để đáp ứng toàn bộ điều kiện

Ví dụ:

Người ta mở rộng một cái ao hình vuông về bốn phía như hình vẽ Saukhi mở rộng, diện tích ao tăng thêm 320 m2 Tính diện tích ao khi chưa mởrộng

Lời giải :

2 m

Ta chuyển ao cũng về một góc của ao mới sao cho hai cạnh của ao cũtrùng với hai cạnh của ao mới và chia phần diện tích mở rộng thành 2 hìnhchữ nhật bằng nhau và một hình vuông như hình vẽ :

4 m

4 m

Diện tích phần ao hình vuông là:

4 x 4 = 16 (m2)Diện tích một phần ao hình chữ nhật là:

(320 – 16) : 2 = 152 (m2) Cạnh của ao khi chưa mở rộng là:

152 : 4 = 38 (m)Diện tích ao khi chưa mở rộng là:

38 x 38 = 1444 (m2)

Đáp số : 1444 m2

N

hậ n x é t : Bài toán trên có thể giải nhiều phương pháp khác

nhau nhưng giải bằng phương pháp giả thiết tạm kết hợp phương pháp diệntích thì bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn và cho đáp án một cách nhanh chóng

1.2.3 Phương pháp sơ đồ diện tích

Phương pháp sơ đồ diện tích được dùng để giải bài toán có nội dung đềcập đến 3 đại lượng Giá trị của 1 trong 3 đại lượng bằng tích các giá trị của 2đại lượng còn lại Dùng phương pháp sơ đồ diện tích ta sẽ giải nhanh đượccác bài toán đó vì đã đưa được về các bài toán trực quan là bài toán diện tíchhình chữ nhật

Ba đại lượng thường thấy trong bài toán diện tích đa giác là:

a Với hình chữ nhật: diện tích, chiều dài, chiều rộng:

Diện tch = chiều dài x chiều rộng

b Với hình vuông: diện tích, cạnh, cạnh:

e Với hình bình hành: diện tch, độ dài cạnh đáy, chiều cao:

Diện tch = độ dài đáy x chiều cao

f Với hình thoi : điện tích, độ dài đường chéo 1, độ dài đường chéo 2

Diện tch =

Ví dụ:

Người ta định lát một nền nhà bằng loại gạch vuông canh 20 cm nhưngkhi đi mua thì không còn loại gạch đó nên phải dùng loại gạch vuông cạnh 15

cm Khi đó, số gạch cần dùng nhiều lúc đầu dự định là 140 viên Hỏi người

đó phải mua bao nhiêu viên gạch mới đủ lát nền

Lời giải:

Diện tch một viên gạch cạnh 20 cm là:

20 x 20 = 400 (cm2)Diện tch một viên gạch cạnh 15 cm là:

15 x 15 = 225 (cm2)Gọi a là số viên gạch vuông cạnh 15 cm cần mua

Ta có: diện tch nền nhà bằng = diện tích viên gạch x viên gạch (*)

Ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa: diện tch viên gạch, số lượnggạch, diện tích nền nhà bằng sơ đồ sau:

Diện tích viên gạch (cm 2 )400

N

hậ n x é t : Với việc sử dụng phương pháp sơ đồ diện tch ta đã

giải được giải bài toán khá dễ dàng Cách giải này rất dễ hiểu, phù hợp với tưduy của học sinh

1.2.4 Phương pháp suy luận

Là phương pháp giải toán mà học sinh phải biết suy luận đúngđắn, chặt chẽ trên cơ sở vận dụng những kinh nghiệm sống của mình

Để giải các bài toán bằng phương pháp này, học sinh cần luyệntập cách quan sát, cách lập luận, cách xem xét các vấn đề, khả năng baoquát tất cả các trường hợp xảy ra của vấn đề và vận dụng những kiến thức đãhọc và tình huống cụ thể

Ở Tiểu học, bài toán giải cần sử dụng phương pháp suy luận là bài toánchỉ có vỏ là hình còn nội dung là bài toán số

A M N B

b cm1

Q a cm

P2

D CChia phần diện tích thành hai hình chữ nhật 1 và 2 rồi cắt ghép chúng,chuyển 1 xuống sát hình 2 ta sẽ được hình chữ nhật mới có diện tch bằng diện tch của 2 hình vuông bà bằng 11 cm2 và có hai cạnh là:

(ở đây đã đưa về bài toán quen thuộc là: tìm hai số khi biết tổng và hiệu)

Độ dài cạnh a của hình vuông lớn là:

a = (11 + 1) : 2 = 6 (cm)

Độ dài cạnh b của hình vuông bé là:

b = 11 – 6 = 5 (cm) Diện tch hình vuông lớn là:

6 x 6 = 36 (cm2)Diện tch hình vuông bé là:

5 x 5 = 25 (cm2)

Đáp số: 36 cm2 và 25 cm2

N

hậ n x é t : Ta nhận thấy rằng ở bài toán này khi sử dụng phương

pháp suy luận bài toán sẽ đơn giản hơn và các lập luận này rất phù hợp, dễhiểu đối với học sinh Tiểu học vì đã đưa về dạng toán điển hình quen thuộc

đó là Tìm hai số khi biết tổng và hiểu.

1.2.5 Phương pháp dùng đơn vị quy ước

Trong thực tế và trong toán học chúng ta đã gặp trường hợp cácbài toán lấy một số nào đó, một vật nào đó… làm đơn vị để tính Chẳng hạn:khi đong gạo nhiều nơi lấy bát, lấy ống sữa bò hoặc một vật nào đó đểđong Nhiều bài toán số học cũng lấy một số làm đơn vị quy ước để tính

Trong bài toán hình học cũng có một sô bài toán phải lấy một đoạnthẳng như cạnh của một hình hay đường chéo của một hình hoặc lấy mộtdiện tch nào đó làm đơn vị quy ước để tính.

Các bài toán dùng đơn vị quy ước thường sử dụng trong trường hợp:Chọn một hình nhỏ nào đó, lấy diện tích của hình đó làm đơn vị để tnh

để tính xem những phần diện tch còn lại bằng bao nhiêu lần diện tích đãchọn làm đơn vị quy ước

Ví dụ:

Một cái bể hình vuông được xây dựng trên cái sân hình vuông, chu visân gấp chu vi đáy bể 6 lần Diện tích bể là 3 m2 Tính diện tích sân

Lời giải

Gọi cạnh đáy bể là b, khi đó chu vi đáy bể là 4 x b

Gọi cạnh sân là a, khi đó chu vi sân lúc đó là 4 x a

Mà chu vi sân bằng 6 lần chu vi đáy bể nên:

4 x a = 6 x (4 x b) Suy ra: a = 6 x b

Vì sân và đáy bể đều là hình vuông do vậy diện tích đáy bể là b x b(m2) thì diện tích sân là a x a = (6 x b) x (6 x b) (m2)

hậ n x é t : Khi dùng phương pháp này lời ghi rõ ràng, rành mạch và

dễ hiểu Đây là phương pháp hay gặp trong khi giải các bài toán diện tích,nhất là những bài cho cạnh, chu vi, diện tích của một hình này gấp bao nhiêulần hình kia

1.3 Đẳng hợp – mối quan hệ giữa đẳng hợp và đẳng diện

Thật vậy, vì F 1 đẳng hợp với F 2 , nên có thể chia F 3 thành các đa giác nhỏ

bằng các đoạn thẳng và ghép lại được đa giác F 1 , cũng như vậy đối với F 2 và

F 3 Như vậy trên F 3 có hai lưới chia và hai lưới chia này tạo thành một lưới

chia thứ ba của F 3 Các đa giác nhỏ của lưới chia thứ ba rõ ràng có thể ghép

lại theo cách của lưới chia thứ nhất được F 1 và theo cách của lưới chia thứ

hai được F 2

ii) Các hình bình hành có đáy và chiều cao bằng nhau thì đẳng hợp

Ta coi hai đáy của hai hình bình hành trùng nhau, khi đó có thể xảy ra batrường hợp, và việc chia một hình thành các phần nhỏ và ghép lại được hìnhkia được chỉ ra trên hình vẽ

iii) Mỗi tam giác đẳng hợp với một hình bình hành

Hình bình hành có chung đáy với tam giác và chiều cao bằng nửa chiềucao tam giác Điều này đã được chỉ ra khi lập công thức tnh diện tích hìnhtam giác nhờ công thức tnh diện tch hình bình hành

1.3.3 Mối quan hệ giữa đẳng hợp và đẳng diện

a) Từ định nghĩa diện tích đa giác và định nghĩa hai đa giác đẳng hợp ta

nhận thấy ngay rằng đa giác đẳng hợp thì có cùng diện tích tức là đẳng diện

Lẽ tự nhiên này nảy ra câu hỏi là “Các đa giác đẳng diện” có đẳng hợp