Ứng dụng nguyên lí dirichlet vào giải bài toán diện tích (2017)

57 139 1
Ứng dụng nguyên lí dirichlet vào giải bài toán diện tích (2017)

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG ỨNG DỤNG NGUN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TỐN DIỆN TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán Tiểu học HÀ NỘI, 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC ====== NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TOÁN DIỆN TÍCH KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Toán Tiểu học Người hướng dẫn khoa học: Th.S Phạm Thanh Tâm HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ thầy cô khoa Giáo dục Tiểu học, thầy tổ Hình học khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện cho em q trình làm khố luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Phạm Thanh Tâm, người trực tiếp hướng dẫn em, bảo, định hướng cho em để em hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân có hạn chế nên q trình nghiên cứu khó tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp ý kiến thầy bạn để khóa luận em hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu khố luận "Ứng dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn diện tích", em có sử dụng số tài liệu tham khảo để hồn thành khóa luận Danh sách tài liệu em đưa vào mục Tài liệu tham khảo khoá luận Em xin cam đoan khố luận hồn thành cố gắng, nỗ lực thân với hướng dẫn tận tình thầy giáo Phạm Thanh Tâm thầy tổ Hình học Khóa luận em khơng trùng với kết nghiên cứu tác giả khác Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Huyền Trang MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nguyên cứu Giả thuyết khoa học Cấu trúc đề tài NỘI DUNG CHƯƠNG 1: DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH 1.1 Khái niệm hình diện tích hình 1.1.1 Khái niệm hình 1.1.2 Diện tích hình 1.2 Các phương pháp giải tốn diện tích 11 1.2.1 Phương pháp diện tích .11 1.2.2 Phương pháp giả thiết tạm .13 1.2.3 Phương pháp sơ đồ diện tích 14 1.2.4 Phương pháp suy luận .16 1.2.5 Phương pháp dùng đơn vị quy ước 18 1.3 Đẳng hợp – mối quan hệ đẳng hợp đẳng diện 20 1.3.1 Khái niện đẳng hợp .20 1.3.2 Tính chất 20 1.3.3 Mối quan hệ đẳng hợp đẳng diện .21 CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀO GIẢI BÀI TỐN DIỆN TÍCH 25 2.1 Nguyên lí Dirichlet 25 2.1.1 Nguyên lí Dirichlet .25 2.1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 26 2.1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 26 2.1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng .26 2.1.5 Nguyên li Dirichlet vô hạn .27 2.2 Ứng dụng 28 2.3 Một số toán đề nghị 46 KẾT LUẬN …………………………………………………………………48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán Tiểu học MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 1.1 Vai trò mơn Tốn - Mơn Tốn mơn học khơng trang bị cho học sinh kiến thức tốn học xác mà hình thành học sinh phương pháp suy luận tư làm việc khoa học, logic - Mơn tốn cung cấp cho học sinh Tiểu học kiến thức ban đầu, sở cho trình học tập, sớm hình thành rèn luyện kĩ năng, tư logic giúp học sinh nắm vững kiến thức toán học, tạo cho học sinh niềm tin, niềm vui học tập 1.2 Vị trí tốn diện tích - Các kiến thức toán học đưa vào dạy cho học sinh Tiểu học gồm nội dung số học, đại lượng phép đo đại lượng, yếu tố hình học giải tốn có lời văn Các nội dung kiến thức có mối liên hệ mật thiết, hỗ trợ bổ sung cho góp phần phát triển tồn diện lực tốn học học sinh Tiểu học Trong đó, tốn diện tích hình nói riêng chiếm số lượng tương đối lớn mảng tốn hình học Những tốn diện tích thường đa dạng nội dung phương pháp giải Các tốn khơng trình bày sách giáo khoa mà trình bày nhiều tài liệu tham khảo khác có kì thi học sinh giỏi bậc Tiểu học 1.3 Sự cần thiết nguyên lí Dirichlet - Ứng dụng nguyên lí Dirichlet ứng dụng nhiều vào việc chứng minh toán số học, đại số, tổ hợp, hình học,… Trong đó, thực tế nhiều tốn diện tích phát biểu đơn giản để giải chúng, cần hiểu biết sâu sắc kiến thức tổ hợp hình học Sử dụng nguyên lý Dirichlet để giải toán diện tích nói riêng tốn SVTH: Nguyễn Thị Huyền Trang hình học tổ hợp nói chung phương pháp kết hợp tổ hợp hình học Nhờ có ứng dụng ngun lí Dirichlet mà nhiều tốn khó lĩnh vực hình học tổ hợp đặc biệt tốn diện tích giải cách chọn vẹn cho lời giải hay - Ngun lí Dirichlet nhà tốn học Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) người Đức đưa lần vào năm 1834 Ngun lí Dirichlet cơng cụ hiệu sắc bén để chứng minh nhiều kết sâu sắc tốn học Dùng ngun lí Dirichlet nhiều trường hợp người ta dễ chứng minh tồn đối tượng với tính chất xác định Sử dụng ngun lí Dirichlet khơng đòi hỏi nhiều kiến thức khả tính tốn mà chủ yếu đòi hỏi sáng tạo việc đưa mơ hình cụ thể linh hoạt cách tư Đó điểm mạnh khó việc ứng dụng ngun lí Dririchlet vào tốn diện tích Xuất phát từ lý trên, để thấy hay, hiệu làm thành cách thức để vận dụng vào trình giảng dạy sau giúp em học sinh có phương pháp giải tốn diện tích , em định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải tốn diện tích” hướng dẫn thầy giáo Phạm Thanh Tâm Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận đưa vào thực tiễn q trình giảng dạy mơn hình học để tổng hợp đưa ứng dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn diện tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài - Đối tượng: ngun lí Dirichlet tốn diện tích có ứng dụng ngun lí Dirichlet để giải - Phạm vi nghiên cứu: số toán diện tích giải nguyên lí Dirichlet Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu nội dung nguyên lí Dirichlet - Nêu ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải tốn diện tích - Hệ thống lại số dạng tập diện tích có ứng dụng ngun lí Dirichlet để giải Phương pháp nguyên cứu - Nghiên cứu sở lí luận, sở khoa học nhằm đưa nhìn tổng quát nội dung nguyên lí Dirichlet nhận diện tốn giải nguyên lí Dirichlet - Phân tích tổng hợp hệ thống dạng tập có ứng dụng ngun lí Dirichlet Giả thuyết khoa học - Nếu xác định ứng dụng nguyên lí Dirichlet hệ thống lại dạng tập góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn, đặc biệt mơn Hình học bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo phụ lục, nội dung khóa luận trình bày hai chương: - Chương 1: Diện tích hình - Chương 2: Ứng dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn diện tích NỘI DUNG CHƯƠNG DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH 1.1 Khái niệm hình diện tích hình 1.1.1 Khái niệm hình a) Hình chữ nhật A B Hình chữ nhật ABCD có: - góc đỉnh A, B, C, D đề góc vng - cạnh gồm: cạnh dài AB CD, cạnh ngắn AD BC D Hai cạnh dài có độ dài nhau, viết là: AB = CD C Hai cạnh ngắn có độ dài nhau, viết là: AD = BC Hình chữ nhật có góc vng, có hai cạnh dài hai cạnh ngắn Độ dài cạnh dài gọi chiều dài, độ dài cạnh ngắn gọi chiều rộng A b) Hình vng B Hình vng ABCD có: - góc đỉnh A, B, C, D đề góc vng - cạnh có độ dài nhau: AB = BC = CD = DA D C Hình vng có góc vng cạnh c) Hình tròn M Hình tròn tâm O, bán kính OM đường kính AB Nhận xét: Trong hình tròn: A Tâm O trung điểm đường kính AB Độ dài đường kính gấp lần dồ dài bán kính O B Bài tốn 8: Trong hình chữ nhật có kích thước 1×2 ta lấy 6n2 +1 điểm (n số nguyên dương) Chứng minh tồn hình tròn với bán kính chứa khơng số điểm cho Chứng minh: Ta chia cạnh hình chữ nhật thành n đoạn 2n đoạn nhau, đoạn có độ dài Nối điểm chia đường thẳng song song với cạnh hình chữ nhật ta n × 2n = 2n2 hình vng nhỏ có cạnh Do có 6n2 +1 điểm có 2n2 hình vng nhỏ nên theo ngun lí Dirichlet tồn hình vng chứa điểm Vì hình vng có cạnh nội tiếp đường tròn bán kính đường tròn tâm có bán kính đường tròn chứa nên suy tồn hình bán kính chứa khơng số điểm cho Bài tốn 9: Cho hình tròn (C) có diện tích 8, ta đặt 17 điểm phân biệt, nằm hình tròn Chứng minh tìm ba điểm tạo thành tam giác có diện tích nhở Chứng minh: Chia hình tròn (C) thành hình quạt Do đó, hình quạt có diện tích Theo nguyên lí Dirichlet tồn nhất hình quạt (a) chứa ba số 17 điểm cho H.2.6 Tam giác có ba đỉnh ba điểm nằm trọn vẹn hình quạt (a) diện tch nhỏ diện tích hình quạt, tức nhỏ Vậy ta có điều chứng minh Bài tốn 10: Trong hình vng có cạnh Cho 33 điểm Chứng minh điểm cho tm ba điểm lập thành tam giác có diện tích khơng lớn Chứng minh: Chia hình vng cạnh thành 16 hình vng nhỏ Theo ngun lí Dirichlet có hình vng nhỏ cạnh chứa điểm 33 điểm cho Ta chứng minh điểm lập thành tam giác có diện tích không lớn Giả sử ba điểm ba điểm A, B, C nằm hình vng DEFG có cạnh Ta xét hai trường hợp sau: D D E EA A M H H K B C B C F G a) G b) H.2.7 Trường hợp 1: F Có cạnh tam giác nằm cạnh hình vng Giả sử cạnh AB tam giác nằm cạnh DG hình vng Kẻ đường cao CH (H.2.7.a) Ta có: SABC = CH.AB ≤ CH.DG ≤ ED.DG = Trường hợp 2: Khơng có cạnh tam giác nằm cạnh hình vng Qua B ta kẻ đường thẳng song song với cạnh hình vng cắt cạnh AC M Gọi AH, CK đường cao tam giác ABM tam giác CBM (H.2.7.b) Ta xét: SABC = AH.BM + CK.BM = BM.(AH + CK) ≤ BM.ED ≤ DG.ED = Vậy trương hợp có SABC ≤ Bài tốn 11: Cho hình vng ABCD có cạnh AB = 14cm Trong hình vng có đánh dấu 76 điểm phận biệt, Chứng minh có 76 điểm cho nằm đường tròn có bán kính 2cm Chứng minh: Chia hình vng cho thành 25 hình vng nhỏ có cạnh Do có 76 điểm phân biệt mà có 25 hình vng nên theo ngun lí Dirichlet tồn hình vng nhỏ chứa điểm số 76 điểm Vì hình vng nội tếp đường tròn có bán kính: R= H.2.8 Do < nên dĩ nhiên đường tròn đồng tâm với đường tròn có bán kính 2cm Vì vậy, suy tồn hình tròn bán kính 2cm chứa 76 điểm cho Bài toán 12: Cho 1000 điểm M1, M2, M3, , M1000 mặt phẳng Vẽ đường tròn bán kính tùy ý Chứng minh tồn điểm S đường tròn cho: SM1 + SM2 + + SM1000 ≥ 1000 Chứng minh: Xét đường kính S1S2 tùy ý đường tròn Ở đây, S1S2 hai đầu đường kính Vì S1S2 = nên ta có: M2 M1 S1 S2 M1000 H.2.9 Cộng vế 1000 bất đắng thức ta có: (S1M1 + S1M2 + + S1M1000) + (S2M1 + S2M2 + + S2M1000) ≥ 2000 (2.4) Từ (2.4) theo nguyên lí Dirichlet suy hai tổng vế trái (2.4) có tổng lớn 1000 Giả sử (S1M1 + S1M2 + + S1M1000) ≥ 1000 Khi lấy S ≡ S1 ta có điều phải chứng minh Bài toán 13: Trong tam giác có cạnh băng lất 17 điểm Chứng minh 17 điểm có điểm mà có khoảng cách chúng khơng vượt q Chứng minh: Ta chia tam giác thành 16 tam giác có cạnh Do có 17 điểm mà lại có 16 tam giác có cạnh nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tam giác có cạnh chứa điểm số 17 điểm cho Khoảng cách hai điểm khơng ln khơng vượt q Ta chứng minh khoảng cách hai điểm tam giác không lớn cạnh tam giác Ta kí hiệu điểm K, L nằm tam giác ABC A L K C B E H.2.10 Khi ta có: Một hai góc lại tam giác KAL không nhở 600 Chẳng hạn ⇒ Gọi E giao AK BC Ta có: AE > AK Trong tam giác BAE có (vì góc ngồi tam giác ACE) nên AB > AE Suy ra: AB > KL Ta có điều phải chứng minh Bài tốn 14: Cho hình vng cạnh 10 Bên hình vng ta đánh dấu 201 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh ln tìm tam giác mà đỉnh điểm đánh dấu có diện tích khơng lớn (Nếu ba điểm đánh dấu thẳng hàng ta coi tam giác tạo ba điểm có diện tích 0) Chứng minh: Ta chia hình vng ban đầu thành 100 hình vng nhỏ đường thẳng song song với hai cạnh liên tiếp hình vng Mỗi hình vng nhỏ có cạnh Vì điểm đánh dấu nằm hình vng ban đầu nên điểm phải thuộc vào hình vng nhỏ Do có 201 điểm nên theo ngun lí Dirichlet có hình vng nhỏ chứa khơng điểm Giả sử A, B, C ba điểm thuộc hình vng MNPQ có MN=1 Tương tự toán 10, ta dễ dàng chứng minh tam giác ABC có Bài tốn 15: Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hình thang có tỉ số diện tích 17 đường cho có đường thẳng đồng quy Chứng minh Chứng minh: Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Do ABCD hình bình hành nên ta có: MN // AD // BC PQ // AB // CD Gọi d 17 đường cho Nếu d ∩ AB = E, d ∩ PQ = L LP, LQ đường trung bình hình thang AEFD, EBCF Ta có: Hoặc: Suy ra: Hoặc: Trên PQ lấy L1, L2 thỏa mãn Khi đó, L ≡ L1 L ≡ L2 Nghĩa d ∩ AB d ∩ CD d phải qua L1 L2 Tương tự, MN lấy K 1, K 2thỏa mãn: Do d cắt AD bà BC d phải qua K1 K2 Như vậy, đường 17 đường cho phải qua điểm L1 , L2 , K , K Theo ngun lí Dirichlet 17 đường có đường thẳng qua điểm bốn điểm L1, L2, K1, K2 hay đường thẳng đồng quy Bài tốn 16: Bên hình tròn bán kính lấy 10 điểm Chứng minh tồn điểm có khoảng cách nhỏ Chứng minh: Đầu tiên ta nghĩ đến việc chia chia hình tròn thành hình quạt nhau, cách chia không giải tốn tồn hai điểm hình quạt có khoảng cách lớn Từ nhận thấy không cần phải chia hẹp dài thế, ta chia sau: Một hình tròn bán kính đồng tâm với hình tròn cho hình vành khăn (H.2.11) C A O B D H.2.11 Theo ngun lí Dirichlet tồn hai điểm thuộc phần Nếu hai điểm thuộc hình vành khăn, ta chứng minh khoảng cách lớn hai điểm thuộc hình vành khăn Dễ dàng có: AC = < AD2 = OA2 + OD2 – 2.OA.OD.cos450 ⇒ AD < CD2 = OC2 + OD2 – 2.OC.OD.cos450 ⇒ CD < Vậy ta có điều phải chứng minh Bài tốn 17: Trong hình vng có diện tích ta đặt đa giác có diện tích Chứng minh ln tìm hai đa giác mà diện tích phần chung chúng khơng nhỏ Chứng minh: Gọi ba đa giác M1, M2, M3 Kí hiệu diện tích hình học phẳng A Khi ta có: M1 M2 M3 H.2.12 Khi ta có: (2.5) Theo giả thiết ta có: (2.6) Để ý nằm hình vng có diện tích 6, nên từ (2.5) (2.6) ta có bất đẳng thức sau: 6≥9Hay: ≥3+ Do (2.7) ≥ nên từ (2.7) ta có: ≥3 (2.8) Từ (2.8) theo nguyên lí Dirichlet suy tồn ba số: lớn Không giảm tổng quát, giả sử ≥ Điều nghĩa hai tam giác M1 M2 có diện tích phần chung chúng không nhỏ Từ toán chứng minh 2.3 Một số tốn đề nghị 1) Trong hình vng cạnh 15 đặt 20 hình vng nhỏ cạnh đơi khơng cắt Chứng minh hình vng lớn đặt hình tròn bán kính cho khơng cắt hình vng 2) Trong mặt phẳng cho ba đường bán kính 0,5 Hỏi ba đường có phủ hết hình vng có cạnh không? 3) Trên mặt phẳng cho 2013 điểm Biết khoảng cách 2013 điểm tồn hai điểm cách nhỏ Chứng minh tồn hình bán kính chứa khơng 1007 điểm cho 4) Trong hình vng có cạnh 1m, người ta gieo vào cách tùy ý 51 điểm Chứng minh có điểm số 51 điểm cho nằm hình vng cạnh dài 0,2m (kể trường hợp nằm cạnh hình vng) 5) Một hình lập phương có cạnh 15 chứa 11000 điểm Chứng có hình cầu bán kính chứa điểm số 11000 điểm cho 6) Trong hình chữ nhật 3x4 đặt điểm Chứng minh số ln tìm hai điểm có khoảng cách chúng không lớn 7) Cho bảng kích thước 2n × 2n vng Người ta đánh dấu vào 3n vng bảng Chứng minh chọn n hàng n cột bảng cho ô đánh dấu nằm n hàng n cột KẾT LUẬN Trên toàn nội dung khóa luận tốt nghiệp đại học về: ''Ứng dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn diện tích" Khóa luận gồm vấn đề sau: Chương I: Diện tích hình - Hệ thống hóa kiến thức hình - Các phương pháp giải toán diện tch - Đẳng hợp – mối quan hệ đẳng hợp đẳng diện Chương II: Ứng dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn diện tích - Hệ thống hóa kiến thức ngun lí Dirichlet - Chúng tơi sử dụng ngun lí Dirichlet vào giải tốn diện tích Ngun lí Dirichlet công cụ hiệu sắc bén để giải tốn hình học tổ hợp nói chung, tốn diện tích hình nói riêng Trên đây, tơi khơng đưa khái niệm, định lí, tnh chất mà trình bày nội dung thuộc đề tài dạng tập minh họa Đặc biệt, toán diện tch nội dung quan trọng chương trình Tốn Tiểu học Do đó, rèn luyện cho học sinh kĩ giải tốn hình công việc cần thiết giáo viên tểu học Tôi mong muốn nhận ý kiến nhận xét, đóng góp ý kiến q báu thầy bạn để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề hình học tổ hợp, NXB Giáo dục Hà Nội, 2005 [2] Phạm Đình Thực, Giảng dạy yếu tố hình học Tiểu học, NXB Giáo dục, 2002 [3] Trần Diên Hiển, Thực hành giải toán Tiểu học (tập 2), NXB Đại học Sư phạm, 2002 [4] Đỗ Trung Hiệu- Lê Tiến Thành, Tuyển tập đề thi học sinh giỏi bậc Tiểu học mơn Tốn, NXB Giáo dục, 2005 ... tốn diện tích giải nguyên lí Dirichlet 4 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nêu nội dung nguyên lí Dirichlet - Nêu ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào việc giải tốn diện tích - Hệ thống lại số dạng tập diện tích. .. tổng hợp đưa ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào giải tốn diện tích Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài - Đối tượng: ngun lí Dirichlet tốn diện tích có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải - Phạm... 25 2.1 Nguyên lí Dirichlet 25 2.1.1 Nguyên lí Dirichlet .25 2.1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 26 2.1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 26 2.1.4 Nguyên lý Dirichlet

Ngày đăng: 06/01/2020, 17:15

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan