Ứng dụng số phức trong các bài toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN MINH HOÀNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hoàng Trí Phản biện 1: TS Nguyên Duy Thái Sơn Phản biện 2: TS Hoàng Quang Tuyến Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn : Trung tâm Thông tin- Học liệu, Đại học Đà Nẵng Thư viện trường Đại học Sư phạm , Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong ngành toán học số phức xuất muộn kể từ kỷ XVI nhà toán học nghiên cứu phương trình đại số Mặc dù sinh sau số phức có nhiều đóng góp ngành toán học đại số, giải tích , lượng giác, hình học… Ở trường phổ thông học sinh tiếp xúc với số phức học đến lớp 12 Số phức nội dung mẻ, thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt khai thác số phức để giải toán sơ cấp khó Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu số phức, ứng dụng số phức việc giải toán sơ cấp đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ cho việc giảng dạy trường trung học phổ thông nên định chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng số phức toán sơ cấp” Mục đích nghiên cứu Nhằm nghiên cứu ứng dụng số phức việc giải số dạng toán thường gặp đề thi cao đẳng, đại học thi học sinh giỏi Phân tích cách giải có sử dụng số phức so sánh với cách giải không sử dụng số phức để rút ưu, nhược điểm cách giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng số phức toán sơ cấp phổ thông : đại số, giải tích, lượng giác, hình học 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Từ nguồn tài liệu, giáo trình thầy, cô có nhiều kinh nghiệm lĩnh vực, tài liệu mạng tài liệu ôn thi cao đẳng, đại học, bồi dưỡng học sinh giỏi, tạp chí toán học… Phương pháp nghiên cứu - Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để thu thập thông tin tập hợp toán phục vụ cho yêu cầu đề tài - Trao đổi, thảo luận với Thầy hướng dẫn khoa học Ý nghĩa khoa học Xây dựng đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán bậc trung học phổ thông Góp phần thiết thực cho việc dạy học toán nhà trường, đem lại niềm say mê, hứng thú, sáng tạo cho giáo viên học sinh Cấu trúc luận văn Dự kiến cấu trúc luận văn gồm: Chương 1: Số phức khái niệm Chương 2: Ứng dụng số phức lượng giác, đại số Chương 3: Ứng dụng số phức hình học Mặc dù cố gắng để hoàn thành luận văn Tuy nhiên thời gian trình độ có hạn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy, cô bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG SỐ PHỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Tương truyền vào năm đầu kỉ XVI, có lẽ giới chưa biết cách giải phương trình bậc Có nguồn tin nói giáo sư toán trường ĐH Bologne (Ý) tên Scipione del Ferro ( 1465-1526) biết cách giải phương trình x  px  q , ông không công bố, người nghĩ cách giải ông chưa hoàn chỉnh Mãi đến ông qua đời, ông truyền lại cách giải (chưa hoàn chỉnh) cho học trò ông nhà toán học tên tuổi Antonio Mario Fior Nhưng dù có nguồn tin vậy, Tartaglia tìm cách giải độc lập Nhưng Fior không tin, tìm cách giảm uy tín Tartaglia thách thức Tartaglia giả 30 phương trình bậc 2h Ngược lại , Fior nhận thách thức giải 30 phương trình bậc Tartaglia đặt Thời giờ, việc giải phương trình bậc nói làm cách mò mẫm Trong đêm 12 sáng ngày 13 tháng hai năm 1535 hạn cuối thi Tartaglia Fior Tartaglia tìm cách giải tổng quát 30 phương trình mà Fior cho ông Fior bí giải phương trình mà chi sau vài Tartaglia giải xong toàn để lãnh thưởng 30 bữa tiệc liên tiếp Ông giữ kín phương pháp giải, hy vọng dự thi lần để lấy thưởng Cardano (1501-1576) lúc chưa tìm cách giải phương trình bậc trường hợp tổng quát Khi nghe tin Tartaglia thắng Fior , Cardano muốn gặp Tartaglia Tháng năm 1539 nhân gặp Tartaglia Milan, Cardano chớp hội nhơ Tartaglia bày cho cách giải tổng quát phương trình bậc Cardano phải thề không truyền cho “bí mật” công bố sách, báo chí Nhưng sau nghe loáng thoáng giáo sư Scipione del Ferro tìm cách giải trước Tartaglia nên Cardano không giữ lời hứa với Tartaglia cho công bố tác phẩm ông Ars magna vào năm 1545 Tartaglia vô tức giận, tâm vạch mặt Cardano sách nhan đề “New Problems and inventions” Từ xảy cải vã hai người này, cải vã hồi kết thúc xuất công trình nghiên cứu Bombelli số ảo Vì giải phương trình bậc Tartaglia Cardano chưa biết số phức gặp phải bậc số âm hai cho vô lý Nhân nói Cardano ông nhà bác học người Ý Ông sinh năm 1501, đạt học vị tiến sĩ y khoa năm 1526, không hành nghề y, mà trở thành thầy giáo dạy toán Ông có 200 công trình lĩnh vực Toán học, Y học, Triết học, Thiên văn học, Âm nhạc Thần học Năm 1545 ông xuất sách “Nghệ thuật lớn giải phương trình đại số” Trong sách ông trình bày cách giải phương trình bậc 3, bậc đề cập tới bậc hai số âm Có thể nói nghiên cứu số phức khởi nguồn từ công trình Còn R.Bombelli (1526-1573), người ta xem ông kỹ sư đồng thời nhà toán học, biết lai lịch ông Sự đóng góp nhà khoa học người Ý chủ yếu hệ thống hóa kiến thức phép tính số phức Năm 1560 R.Bombelli viết tác phẩm Đại số có điều thú vị ông xét phương trình bậc 3: x  mx  n ông phương trình có nghiệm thực n m  âm Trong trường hợp công thức Tartaglia-Cardano không dùng trường hợp ta gặp phải bậc số âm, trở ngại vào thời chưa vượt qua Với sáng tạo , Bombelli dùng công thức tìm cách vượt qua trở ngại Ví dụ với phương trình x  15x  , ông làm việc với số có dạng a  b 1 số thực, ông nhận xét  1 bậc  121 công thức Cardano-Tartaglia cho ông kết x  nghiệm phương trình x  15x  , nghiệm khác có nhờ ba bậc  121 Điều đưa ông đến chỗ tìm qui tắc tính toán số phức Đời sau đánh giá Bombelli người có công việc tìm hiểu số phức Đến kỷ XVIII chất đại số chất hình học đại lượng ảo không hình dung cách rõ ràng mà đầy bí ẩn Chẳng hạn, lịch sử ghi lại I.Newton không thừa nhận đại lượng ảo không xem đại lượng ảo thuộc vào khái niệm số, G.Leibniz lên rằng: “Các đại lượng ảo- nơi ẩn náy đẹp đẽ huyền diệu tinh thần đấng tối cao, dường giống lưỡng cư sống chốn có thật thật” Thuật ngữ số phức dùng K.Gauss( năm 1831) Vào kỷ XVII-XVIII nhiều nhà toán học khác nghiên cứu tính chất đại lượng ảo (số phức!) khảo sát ứng dụng chúng Chẳng hạn L.Euler mở rộng khái niệm logarit cho số phức (1738) , Moa-vrơ nghiên giải toán bậc tự nhiên số phức (1736) Sự nghi ngờ số ảo ( số phức) tiêu tan nhà toán học người Nauy C.Wessel đưa minh họa hình học số phức phép toán chúng công trình công bố năm 1799 Đôi phép biểu diễn minh họa số phức gọi “sơ đồ Argand” để ghi nhận công lao nhà toán học Thụy Sỹ R.Argandngười thu kết Wessel cách độc lập Lí thuyết túy số học số phức với tư cách cặp số thực có thứ tự ( a; b), a  R, b  R xây dựng nhà toán học Ailen W.Hamilton(1837) Ở đơn vị “ảo” i đơn giản cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1) , tức đơn vị “ảo” lí giả cách thực Cho đến kỷ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Tên tuổi Gauss gắn liền với phép chứng minh xác Định lí Đại số khẳng định trường số phức C phương trình đa thức có nghiệm 1.2 ĐỊNH NGHĨA SỐ PHỨC Xét tập R  R * R  {( x, y ) | x, y  R} Hai phần tử (x1, y1) (x2, y2) :  x1  x2   y1  y2 Ta xây dựng phép toán R2 sau: z1  ( x1 ; y1 ), z2  ( x2 ; y2 )  R2 Phép cộng : z1  z2  ( x1  x2 , y1  y2 ) Phép nhân: z1 z2  ( x1 x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 ) Định nghĩa 1.2 Tập R2 với hai phép toán cộng nhân định nghĩa gọi tập số phức C, phần tử ( x, y )  C số phức Kí hiệu C* để tập hợp C\{(0;0)} Định lý 1.2.2 (C,+,.) trường ( nghĩa C với phép toán định nghĩa có tính chất tương tự R với phép toán cộng nhân thông thường) 1.3 DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1.3.1 Xây dựng số i Xét tương ứng f : R  R  {0} x  ( x; 0) Dễ thấy f ánh xạ song ánh Ngoài ta có: ( x, 0)  ( y , 0)  ( x  y , 0); ( x, 0)( y , 0)  ( xy , 0) Vì song ánh nên ta đồng ( x, 0)  x Đặt i  (0,1) i  (0,1)(0,1)  ( 1, 0)  1 z  ( x, y )  ( x, 0)  (0, y )  ( x, 0)  ( y , 0)(0,1)  x  yi Từ ta có kết sau: Định lí 1.3.1 Mỗi số phức z  ( x, y )  R biểu diễn dạng z  x  yi, x, y  R i  1 Biểu thức x  yi gọi dạng đại số số phức z  ( x; y ) Kí hiệu : x  Re( z ) gọi phần thực số phức z y  Im( z ) gọi phần ảo số phức z Chú ý Số phức z  a  0i có phần ảo coi số thực viết a  0i  a  R  C Số phức có phần thực gọi số ảo ( gọi số ảo) : z   bi  bi (b  R ); i   1i  1i Số   0i  0i vừa số thực vừa số ảo Hai số phức z  a  bi( a, b  R ), z '  a ' b ' i (a ', b '  R ) gọi a  a ', b  b ' Khi ta viết z  z ' 1.3.2 Biểu diễn hình học số phức Xét mặt phẳng Oxy Mỗi số phức z  ax  bi( a, b  R ) biểu diễn điểm M có tọa độ (a;b) Ngược lại, rõ ràng điểm M(a;b) biểu diễn số phức z  ax  bi ( a , b  R ) Ta viết M ( a  bi ) hay M ( z ) Vì mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số Các điểm trục hoành Ox biểu diễn số thực, nên gọi trục thực Các điểm trục tung Oy biểu diễn số ảo nên gọi trục ảo 1.3.3 Phép cộng phép trừ số phức a Tổng hai số phức Định nghĩa 1.3.3 Tổng hai số phức z  a  bi ( a, b  R ), z '  a ' b ' i ( a ', b '  R ) số phức z  z '  a  a ' (b  b ')i Tinh chất phép cộng số phức: Tính chất kết hợp: ( z  z ')  z ''  z  ( z '  z "), z, z ', z "  C Tính chất giao hoán: z  z '  z ' z, z, z '  C Cộng với 0: z    z  z, z  C Với số phức z  a  bi( a, b  R ) , kí hiệu số phức a  bi  z ta có: z  ( z)  ( z)  z  Số  z gọi số đối số phức z b Phép trừ hai số phức Hiệu hai số phức z z’ tổng z với –z’ tức là: z  z '  z  (  z ') Nếu z  a  bi( a, b  R ), z '  a ' b ' i (a ', b '  R ) thì: z  z '  a  a ' (b  b ')i Ý nghĩa hình học phép cộng phép trừ Trong mặt phẳng phức , ta coi điểm M có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z  a  bi  Ta coi vecto u có tọa độ (a;b) biểu diễn số phức z  a  bi  Khi đó, nói điểm M biểu diễn số phức z có nghĩa vecto OM biểu diễn số phức   Dễ thấy rằng, u, u ' theo thứ tự biểu diễn số phức z, z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z '   u  u ' biểu diễn số phức z  z ' 1.3.4 Phép nhân số phức a Tích hai số phức Cho hai số phức z  a  bi ( a, b  R ), z '  a ' b ' i ( a ', b '  R ) Thực phép nhân cách hình thức biểu thức a  bi với biểu thức a ' b ' i thay i  1 , ta ( a  bi )( a ' b ' i )  aa ' bb ' i  ( ab " a ' b)i  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Định nghĩa 1.3.4 Tích hai số phức z  a  bi ( a, b  R ), z '  a ' b ' i ( a ', b '  R ) số phức zz '  aa ' bb '  ( ab ' a ' b)i Nhận xét 1.3.4 Với số thực k số phức a  bi ( a, b  R ) thì: k ( a  bi )  (k  0i )( a  bi )  ka  kbi Đặc biệt : 0z  0, z  C b Tính chất phép nhân số phức Tính chất giao hoán: zz '  z ' z, z, z '  C 10 Định lý Cho số phức z  | z | Re( z ) | z |  | z | Im( z ) | z | | z | | z ||  z || z | | z1 z2 || z1 || z2 | | z1 |  | z2 || z1  z2 || z1 |  | z2 | | z 1 || z |1 z1 |z |  , z2  z2 | z2 | 1.3.6 Phép chia cho số phức khác Định nghĩa 1.3.6 Số nghịch đảo số phức z khác z 1  Thương z | z |2 z' phép chia số phức z’ cho số phức z khác tích z’ với số z phức nghịch đảo z, tức z'  z ' z 1 z 1.3.7 Căn bậc hai số phức phương trình bậc hai a Căn bậc hai số phức Định nghĩa Cho số phức w  a  bi (a, b  R ) Mỗi số phức z  x  yi ( x, y  R ) gọi bậc hai w :  x2  y  a z2  w   2xy  b b Phương trình bậc hai Phương trình bậc hai có dạng: Az  Bz  C  0( A  0) Trong A, B, C số phức Cách giải: Nếu   phương trình có nghiệm kép 11 z1  z2   B 2A Nếu   phương trình có hai nghiệm phân biệt z1  B   B   , z2  2A 2A  bậc hai  1.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 1.4.1 Acgumen số phức z  Định nghĩa 1.4.1 Cho số phức z  Gọi M điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Số đo (rađian) góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM đươc gọi acgumen z Nhận xét 1.4.1 Nếu  agumen z acgumen z có dạng   k 2 , k  Z Hai số phức z lz ( với z  l số thực dương) có acgumen sai khác k 2 ,vì điểm biểu diễn chúng thuộc tia gốc O 1.4.2 Dạng lượng giác số phức Xét số phức z  a  bi  0(a, b  R ) Kí hiệu r môđun z  acgumen z dễ thấy: a  rcos , b  r sin  Từ ta có Định nghĩa 1.4.2 Dạng z  r (cos  i sin  ) r  gọi dạng lượng giác số phức z  1.4.3 Nhân chia số phức dạng lượng giác Định lí 1.4.3 Nếu z  r ( cos  i sin  ) z '  r '(cos '  i sin  ') (r,r'  0) zz '  rr '[cos(   ')  i sin(   ')] z r  [cos(   ')  i sin(   ')] ( r  ) z' r' 12 1.4.4 Công thức Moa-vrơ Từ công thức nhân số phức dạng lượng giác, quy nạp toán học dễ dàng suy với số nguyên dương n [r (cos  i sin  )]n  r n (cos n  i sin n ) Đặc biệt: r  thì: ( cos  i sin  )n  cos n  i sin n 1.4.5 Căn bậc n số phức dạng lượng giác Định nghĩa 1.4.5 Ta gọi số phức z bậc n số phức w z n  w ( n số nguyên cho trước, n  ) Định lí 1.4.5 Khi w  , ta viết w dạng lượng giác w  R( cos  i sin  ), R  Khi  bậc n w số phức z  n R [(cos(  n n bậc n phân biệt w k 2  k 2 )  i sin(  )] Lấy k  0,1, , n  ta n n n 13 CHƯƠNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC 2.1 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG LƯỢNG GIÁC Trong phần ta xét toán lượng giác hay gặp tính giá trị lượng giác biểu thức, chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, Đôi có toán khó khăn để giải túy lượng giác Việc áp dụng kiến thức số phức, công thức Moa-vrơ, khai triển nhị thức Newton giúp ta giải toán nhẹ nhàng, tự nhiên Bài toán 2.1.1 Tính giá trị biểu thức : A  sin 2 ? Bài toán 2.1.2  Tính giá trị biểu thức B  cos  cos 2 3  cos ( IMO lần 5) 7 Bài toán 2.1.3 Tính giá trị biểu thức: C  cos  11  cos 3 5 7 9  cos  cos  cos ? 11 11 11 11 Bài toán 2.1.4 Tính giá trị biểu thức: D  cos   cos 2 3 2016  cos   cos 3 Bài toán 2.1.5 Tính giá trị biểu thức với n  Z*, a  2k , k  Z : E  cosx  cos( x  a )  cos( x  2a)   cos( x  na ) ? Bài toán 2.1.6  Tính tích F  cos cos 2 4 cos 9 14 Bài toán 2.1.7 Cho x, y , z  R, sin x  sin y  sin z  0, cos x  cos y  cos z  Chứng minh: sin 2x  sin y  sin 2z  cos x  cos y  cos z  Bài toán 2.1.8 Chứng minh cos2  18  cos2 5 7  cos2  18 18 Bài toán 2.1.9 Chứng minh: cos3x  4cos3 x  3cosx;sin 3x  3sin x  sin x Bài toán 2.1.10 Chứng minh sin x  5cos4 x sin x  10 cos2 x sin x  sin x cos x  cos5 x  10 cos4 x sin x  cos x sin x Bài toán 2.1.11 Biểu diễn cos nx;sin nx theo lũy thừa cosx;sin x Bài toán 2.1.12 Chứng minh : 1 cos4 x  ( cos4 x  cos x  3), sin x  (cos x  cos x  3) 8 cos5 x  1 (cos x  5cos 3x  10 cos x );sin5 x  (sin x  5sin 3x  10 sin x ) 16 16 Bài toán 2.1.13 Biểu diễn cosn x, sin n x theo hàm sin x, cos x Bài toán 2.1.14 Giải phương trình : cos x  cos x  cos 3x  2.2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 2.2.1 Ứng dụng số phức giải hệ phương trình Xét hai số phức z  a  bi, z '  a ' b ' i a  a ' Như số phức dẫn tới b  b ' Ta có : z  z '  a  bi  a ' b ' i   hệ phương trình Điều giúp ta có ý tưởng ngược lại sử dụng số phức để giải hệ phương trình 15 Cụ thể gặp hệ có dạng đẳng cấp, đối xứng, ta nhân hai vế phương trình với ki cộng với phương trình lại Đưa giải phương trình theo số phức Khi biến đổi ta ý hay sử dụng đẳng thức số phức sau : z  ( x  yi )  x  y  2xyi z  ( x  yi )3  x  3xy  (3x y  y )i z  x  6x y  y  (4x y  4xy )i Sau ta xét toán minh họa cho cách làm  x  3xy  (1) Bài toán 2.2.1 Giải hệ :  3x y  y  1 (2)  x  3xy  1 (1) Bài toán 2.2.2 Giải hệ:   y  3x y  (2)  x  6x y  y  (1) Bài toán 2.2.3 Giải hệ  3 (2) x y  y x    xy  2x  y   Bài toán 2.2.4 Giải hệ :  (1)  x  y  10x  y  21  (2)   x  Bài toán 2.2.5 Giải hệ :  y   3x  y  (1) x2  y2 (Tạp chí Kvant) x  3y  (2) x2  y2   3x (1  x  y )  Bài toán 2.2.6 Giải hệ :   y (1  )   x y  x  xy  7x  y  5x  y  Bài toán 2.2.7 Giải hệ :   y  x y  x  y  16 2.2.2 Ứng dụng số phức chứng minh bất đẳng thức Xét hai số phức z1  x1  y1i; z2  x2  y2 i | z1  z2 || z1 |  | z2 |  x2  tx1 (t  0)  y2  ty1 Dấu “=” xảy  Chứng minh: | z1  z2 || z1 |  | z2 |  ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  x12  y12  x22  y22  ( x1  x2 )  ( y1  y2 )2  x12  y12  x22  y22  ( x12  y12 )( x22  y22 )  x1 x2  y1 y2  ( x12  y12 )( x22  y22 ) Mà x1 x2  y1 y2 | x1 x2  y1 y2 | ( x12  y12 )( x22  y22 ) (Đúng theo BĐT Bunhiacopxki)  x1 x2  y1 y2   x1 y2  x2 y1 Dấu “=” xảy  Đặt x2  kx1  y2  ky1  kx12  ky12   k  Vậy BĐT cần chứng minh Mở rộng : | z1  z2   zn || z1 |  | z2 |   | zn | x  k x Dấu “=” xảy  i 1 (k  0)  yi  k2 y1 ( Dễ dàng chứng minh BĐT qui nạp ) Bài toán 2.2.8 Chứng minh : x  4x   x  4x   28(x  R) Bài toán 2.2.9 Chứng minh : x  y  2x   x  y  6x  12 y  18  5(x  R ) Bài toán 2.2.10 Chứng minh rằng: x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z x, y , z  R Bài toán 2.2.11 Chứng minh x, y, z  R : sin x sin y  sin ( x  y )  cos2 x cos2 y  sin ( x  y )  17 Bài toán 2.2.12 Chứng minh a, b, c  : a  ab  b2  b2  bc  c  c  ca  a  3( a  b  c) (Đại học quan hệ quốc tế năm 1997) Bài toán 2.2.13 a , b, c  Cho  a  b  c  Chứng minh a  1  b   c   82 a b c Dấu “=” xảy ? 18 CHƯƠNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC 3.1 KIẾN THỨC SỬ DỤNG Ta biết số phức z  x  yi biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng phức Oxy Do phương pháp tọa độ, đồng điểm mặt phẳng phức số phức toán hình học trở thành toán với số phức Do ta sử dụng số phức để giải toán hình học 3.1.1 Khoảng cách hai điểm Giả sử số phức z1, z2 có biểu diễn hình học điểm M1, M2 khoảng cách hai điểm M1 M2 cho công thức M M | z2  z1 | 3.1.2 Điều kiện để điểm nằm hai điểm Cho A(a), B(b) hai điểm phân biệt mặt phẳng phức Khi điểm M(m) nằm A B thỏa mãn hệ thức sau : m  a, m  b  | a  m |  | m  b || a  b | 3.1.3 Chia đoạn thẳng theo tỉ số Cho hai điểm A(a), B(b) phân biệt Một điểm M(z) nằm đường thẳng AB chia đoạn AB theo tỉ số k  R \ {1} hệ thức vecto sau thỏa mãn:   MA  k MB  a  z  k (b  z ) z Nhận xét: Nếu đặt t  a  kb k  a b 1 k 1 k 1 k k M, A, B thẳng hàng  z  (1  t )a  tb 1 k 3.1.4 Góc định hướng, góc hai đường thẳng Một tam giác định hướng đỉnh rõ thứ tự Tam giác có hướng dương hướng đỉnh ngược chiều kim đồng hồ, hướng âm ngược chiều kim đồng hồ Lấy M1(z1) M2(z2) hai điểm phân biệt khác gốc tọa độ mặt phẳng phức Oxy Góc M1OM2 gọi góc định hướng điểm M1, M2 có thứ tự thuận chiều kim đồng hồ 19 z2  Khi M 1OM  arg z1 Cho bốn điểm Mk(zk), k  1, 2, 3, góc định hướng tạo đường thẳng M1M3 với M2M4 arg z4  z2 z3  z1 3.1.5 Hai tam giác đồng dạng Hai tam giác ABC A’B’C’ đồng dạng hướng : c  a c ' a '  b  a b ' a ' Và hai tam giác ABC, A’B’C’ đồng dạng ngược hướng : c  a c'  a'  b  a b'  a' 3.1.6 Tích vô hướng hai số phức Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M1(z1), M2(z2).Khi đó: Nếu zk có môđun rk có argument ak   OM OM  OM OM cos M 1OM  r1 r2 cos( a2  a1 )  r1 r2 (cos a1cosa  sin a1 sin a2 ) Nên tích vô hướng hai số phức z1,z2 :  z1 ; z2  ( z1 z2  z1 z2 )   z1 ; z2   z1 ; z2  R Tính chất 3.1.6  z, z  zz | z |2  z, w  w, z   z1  z2 , w  z1 , w    z2 , w> , k  R  z, kw  k  z , w , k  R Nhận xét 3.1.6 Nếu A(a), B(b), C(c), D(d) bốn điểm phân biệt mặt phẳng phức Oxy AB  CD  b  a; d  c   Re( ba )0 d c 20 3.1.7 Phép quay Phép quay tâm M0(z0) góc quay  phép biến hình biến M(z) thành điểm M’(z’)   mà M M  M M '; ( M M ; M M ')   Khi ta có công thức: z ' z0  ei ( z  z0 ) 3.1.8 Định lí( điều kiện để điểm thẳng hàng) Ba điểm M1(z1) , M2(z2), M3(z3) thẳng hàng z3  z1 z z  R  Im( )  z2  z1 z2  z1 3.1.9 Tam giác Cho điểm M1(z1), M2(z2), M3(z3) đỉnh tam giác định hướng M M  M M góc định hướng quay M1M2 quanh M1 đến vị trí M1M3 600 , nghĩa z3  z1  w( z2  z1 )  z3  z1  w( z2  z1 ) ; với w  cos600  i sin 600  i 2 3.1.10 Phương trình đường thẳng Đường thẳng d qua M1(z1), M2(z2) mặt phẳng phức có phương trình : z  z2 z  z2   ( z1  z2 ) z  ( z1  z2 ) z  ( z1 z2  z1 z2 )  z1  z2 z1  z2 3.1.11 Đường tròn Bốn điểm phân biệt M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4) nằm đường thẳng đường tròn k  z3  z z3  z4 : R z1  z2 z1  z4 Số k gọi tỉ số kép bốn điểm M1(z1), M2(z2),M3(z3), M4(z4) 3.1.12 Định lí Trong mặt phẳng phức cho tam giác ABC với tọa vị a, b, c Gọi G, H trọng tâm, trực tâm tam giác ABC với tọa vị g, h tương ứng Khi đó: (i) g  abc (ii) Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn đơn vị h  a  b  c 21 3.2 BÀI TẬP Bài toán 3.2.1 Cho tứ giác ABCD, cạnh AB,BC, CD, DA ta dựng phía tứ giác hình vuông có tâm O1, O2, O3, O4 Chứng minh O1O3  O2O4 ; O1O3  O2O4 Bài toán 3.2.2 Về phía tam giác ABC, dựng tam giác ABR, BCP cho :   CAQ   450 PBC   QCA   300 BCP    150 AB R  RAB  Chứng minh: Q RP  900 , RQ  RP (IMO 17th,1975) Bài toán 3.2.3 Dựng phía tam giác ABC ba tam giác có hướng dương AC’B, BA’C, CB’A Chứng minh trọng tâm ba tam giác đỉnh tam giác (Bài toán Napoleon) Bài toán 3.2.4 Cho lục giác ABCDEF, K trung điểm BD, M trung điểm EF Chứng minh AMK tam giác đều? Bài toán 3.2.5 Cho tứ giác ABCD Chứng minh : AB.CD  AD BC  AC.BD Dấu đẳng thức xảy A, B, C, D theo thứ tự tạo thành đỉnh tứ giác lồi nội tiếp đường tròn (BĐT Ptolemy) Bài toán 3.2.6 Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC ta dựng tam giác đồng dạng hướng ADB, BEC, CFA Chứng minh tam giác ABC tam giác DEF có trọng tâm 22 Bài toán 3.2.7 Cho tam giác ABO với tâm S, tam giác khác A’B’O có hướng với tam giác ABO S  A ', S  B ' Gọi M, N trung điểm A’B AB’ Chứng (IMO 30th) minh tam giác SB’M SA’N đồng dạng Bài toán 3.2.8 Trên cạnh AB, AC tam giác ABC lấy điểm E D tương ứng cho AD BE   900   Chứng minh rằng, P giao điểm BD, CE APC DC EA Bài toán 3.2.9 Về phía tam giác ABC vẽ tam giác cân MAB, NAC PCB theo thứ tự nhận điểm M, N,P làm đỉnh góc vuông Chứng minh rằng: AP  MN , AP  MN Bài toán 3.2.10 Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M N theo thứ tự trung điểm cạnh AB CD, E F giao đường thẳng AD BC với MN Chứng minh   AD  BC A EM  BFM Bài toán 3.2.11 Gọi tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D trung điểm đoạn thẳng AB E trọng tâm tam giác ACD Chứng minh CD OE vuông góc AB  AC Bài toán 3.2.12 Cho tam giác A1A2A3.Lấy điểm B1, B2, B3 đường thẳng       A2A3, A3A1, A1A2 cho A2 B1  k1 B1 A3 ; A3 B2  k2 B2 A1 ; A1 B3  k3 B3 A2 Chứng minh đường thẳng A1B1, A2B2, A3B3 đồng quy điểm k1k2 k3  (định lí CéVa) Bài toán 3.2.13 Cho tam giác A1A2A3.Lấy điểm B1, B2, B3 đường thẳng       A2A3, A3A1, A1A2 cho A2 B1  k1 B1 A3 ; A3 B2  k2 B2 A1 ; A1 B3  k3 B3 A2 Chứng minh ba điểm B1, B2, B3 nằm đường thẳng k1k1k3  1 (Định lí Menelaus) 23 Bài toán 3.2.14 Cho đa giác A1A2A3 An nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Chứng minh với điểm M thì: ( MA1 MA2 MA3 MAn )2  (OM  R )n Bài toán 3.2.15 Cho tam giác ABC cạnh t điểm M Chứng minh rằng: MA MB  MB.MC  MC.MA  t Bài toán 3.2.16 Cho tam giác ABC điểm M tùy ý Chứng minh : MB.MC MC.MA MA.MB   1 AB AC BC.BA CA.CB Dấu “=” xảy ? Bài toán 3.2.17 Cho G trọng tâm tam giác ABC M điểm Chứng minh MA2  MB  MC  GA2  GB  GC Từ xác định vị trí điểm M cho MA2  MB  MC đạt giá trị nhỏ Bài toán 3.2.18 Cho tam giác ABC có R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh AB  BC  CA2  9R Bài toán 3.2.19 Gọi G, H , O trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi A2, B2, C2 chân đường cao hạ từ đỉnh A, B, C Gọi A3, B3, C3 trung điểm đoạn thẳng AH, BH, CH Chứng minh điểm A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 nằm đường tròn ? (đường tròn euler) Bài toán 3.2.20 Cho tam giác ABC có trực tâm H BD đường cao Gọi K trung điểm     900 biết BH  3HD đường cao Chứng minh AKC 24 KẾT LUẬN Qua luận văn tác giả trình bày lịch sử phát triển số phức ứng dụng số phức cách khác để giải toán sơ cấp Cụ thể sau: Sử dụng số phức để giải toán lượng giác, đại số Sử dụng số phức để giải toán hình học sơ cấp Hi vọng công cụ số phức đem đến điều thú vị, mẻ cho em học sinh khá, giỏi bồi dưỡng lực giải toán em Luận văn chắn tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy (cô) bạn đọc để luận văn hoàn thiện tốt ... thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt khai thác số phức để giải toán sơ cấp khó Nhằm mục đích đào sâu tìm hiểu số phức, ứng dụng số phức việc giải toán sơ cấp đáp ứng. .. dụng số phức so sánh với cách giải không sử dụng số phức để rút ưu, nhược điểm cách giải Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Các ứng dụng số phức toán sơ cấp phổ thông : đại số, ... Chứng minh AKC 24 KẾT LUẬN Qua luận văn tác giả trình bày lịch sử phát triển số phức ứng dụng số phức cách khác để giải toán sơ cấp Cụ thể sau: Sử dụng số phức để giải toán lượng giác, đại số