Chuyên đề Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Các Bài Toán Đại Số pdf

Tìm tất cả các giá trị của tham số a, để phương trình cĩ đúng 2 nghiệm phân biệt... Tìm m để các pt sau có nghiệm: cos sin os sin +.

Chuyên đề I: Ứng Dụng Đạo Hàm Trong Các Bài Tốn Đại Số

I.Các vài tốn liên quan đến nghiệm của pt-bpt:

Định lí 1: Số nghiệm của pt f(x)=g(x) chính là số giao điểm của hai đồ thị y=f(x) và

y=g(x)

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) lt trên D và mmin ( )x D f x , M M x Dax ( )f x thì pt: f(x)=k cĩ nghiệm khi và chỉ khi m k M 

Định lí 3: Bất phương trình ( ) f x g x( )nghiệm đúng mọi x thuộc D khi và chỉ khi

Min f x Max g x



Các ví dụ:

Bài 1:Tìm m để pt sau cĩ nghiệm: x2  x 1 x2  x   (HSG Nghệ an 2005)1 m

Lời giải: Xét hàm số f x( ) x2 x  1 x2  x cĩ tập xác định là D=R1

 

1 [( - )1 3] 1 [( 1) 3] 0 thay vào (1)ta thấy không

thỏa mãn Vậy f'(x)=0 vô nghiệm, mà f'(0)=1>0, do

 

 

x +

x +

đó f'(x)>0 x 2

Vậy pt đã cho có nghiệm -1 1

x

R x

m

Bài 2:Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax2  1 cosx cĩ đúng một nghiệm 0;

2

x  

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương Lớp 12 năm 2005)

Giải: Ta thấy để pt cĩ nghiệm thì a 0



 

 

 

2

sin

Khi đó pt =a -2 Xét hàm số ( ) với t 0;

4 2

cos -.cos sin

t

x

t

t t tgt

t

 



 

 

 

2

0

sin

2

Vậy pt đã cho có đúng 1 nghiệm (0; ) 2 1

t

x

x

Bài 3: Cho phương trình x6 3x5  6x4  ax3  6x2 3x  1 0 Tìm tất cả các giá trị

của tham số a, để phương trình cĩ đúng 2 nghiệm phân biệt (HSG Nam Định 2004)

Giải: Vì x 0khơng phải là nghiệm pt Chia hai vế pt cho x3 ta được



( ) 3( ) 6( ) a=0 (1) Đặt t= ta thu được pt

Từ cách đặt t ta có: 1 0 (2)pt này có = - 4 0 2 Từ đây ta có

*Nếu 2 thì pt

t



đã cho có một nghiệm

*Nếu 2 thì với mỗi giá trị của cho tương ứng hai giá trị của x

Nên pt (1) có đúng hai nghiệm phân biệt pt(1') có đúng hai nghiệm t= 2

hoặc (1') có đúng



 



  

 





1nghiệm thỏa mãn 2

1: Nếu (1') có đúng hai nghiệm t= 2 vô nghiệm

2 :(1') có đúng một nghiệm 2

Xét hàm số ( ) 3 9 với 2, ta có '( ) 3 6 9 3( 1

a TH

a

Ta cĩ bảng biến thiên:

Dựa vào bảng bt ta thấy pt(1’) cĩ đúng một nghiệm  2t khi và chỉ khi

f(t)

f’(t)

2 22

27

Bài 4:Cho hàm số  y x (x a x b với a,b là hai số thực dương khác nhau cho  )(  ) trước.Cmr với mỗi số thực s0;1 đếu tồn tại duy nhất số thực

     

1

0 : ( )

2

Giải: Trước hết ta cos BĐT :  (  )

s

a b a b (1) ta có thể cm (1) bằng hàm số hoặc

bằng BĐT Bécnuli

Áp dụng BĐT Côsi và (1) ta có :

1

s

ab     (*) (do a b )

Mặt khác ta có: '( ) 2 2 ( )( )

f x

x a x b



  ta dễ dàng cm được f’(x) >0 mọi

x>0 suy ra f(x) đồng biến với x>0 nên

0

2

x x

a b Lim f x ab f x Lim f x





Vì f(x) liên tục khi x>0 nên từ (*) và (**) ta có điều phải cm

Bài tập:

1 Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất thuộc [0; ]

4

(4 6 )sinm x 3(2m 1)sinx 2(m 2)sin cosx x (4m 3)cosx 0

2.Tìm m để số nghiệm của pt: 15x2 2(6m21)x 3m42m2 0không nhiều hơn số nghiệm của pt: (3m 1) 122 x 2x36x(36m 9) 28m 0,25 (HSG Nghệ an 1998)

3 Tìm tất cả các giá trị a để bpt: ln(1x) x ax2 nghiệm đúng  x 0

4 a)Cmr nếu a >0 là số sao cho bpt: a x   1 x đúng với mọi x 0 thì a e

b) Tìm tất cả các giá trị của a để : a x   1 x x (HSG 12 Nam Định 2006)

II.Giải pt bằng phương pháp hàm số:

Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luơn đb (hoặc luơn ngb) thì số nghiệm của pt : f(x)=k

Khơng nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y

Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luơn đb (hoặc luơn ngb) và hàm số y=g(x) luơn ngb (hoặc

luơn đb) trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) khơng nhiều hơn một

Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) cĩ đạo hàm đến cấp n và pt f( )k ( ) 0x  cĩ m nghiệm, khi

đĩ pt f(k1)( ) 0x  cĩ nhiều nhất là m+1 nghiệm

Các ví dụ:

Bài 1:Giải pt:3 (2x  9x2 3) (4 x2)( 1 x x2 1) 0

(Olympic 30-4 ĐBSCL 2000)

Giải: Ta thấy pt chỉ cĩ nghiệm trong ( 1;0)

2



3 (2 ( 3 ) 3) (2 1)(2 (2 1) 3)

Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0 Xét hàm số f t( ) 2 t t4 3t2 với t>0

Ta cĩ

3

4 2

3



 (1) u=v  -3x=2x+1 1

5

x

  là nghiệm duy nhất của pt

Bài 2: Giải pt:     

2

osx=2 với - ;

2 2

tg x

Giải: Xét hàm số :      

2

( ) osx với - ;

2 2

tg x

2

x

2e tg x 2 cos x 0

Nên dấu của f’(x) chính là dấu của sinx Từ đây ta cĩ f x( )f(0) 2

Vậy pt đã cho cĩ nghiệm duy nhất x=0

Bài 3: Giải pt: 2003x 2005x 4006x 2 (HSG Nghệ an 2005)

Giải: Xét hàm số : f x( ) 2003 x 2005x  4006x  2

Ta cĩ: f x'( ) 2003 ln2003 2005 ln2005 4006 x  x 

''( ) 2003 ln 2003 2005 ln 2005 0 "( ) 0 vô nghiệm

f'(x)=0 có nhiều nhất là một nghiệm f(x)=0 có nhiều nhất là hai nghiệm

Mà ta thấy f(1)=f(0)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1

Bài 4: Giải pt: 3x   1 x log (1 2 )3  x (TH&TT)

Giải: Đk: x>-1/2

 3x   1 2 log (1 2 )3   3x log 33 x  1 2 log (1 2 )3 

Xét hàm số: f t( ) t log3t ta có f(t) là hàm đồng biến nên

(1) f(3 )x f(1 2 )x 3x 2x 1 3x 2x 1 0 (2)

Xét hàm số: f x( ) 3 x  2x 1 f x'( ) 3 ln3 2 x   f x"( ) 3 ln 3 0 x 2 

 f x( ) 0 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà f(0)=f(1)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm

x=0 và x=1

Bài 5: Giải hệ pt: 















sinx-siny=3x-3y (1) x+y= (2)

5 , 0 (3)

x y

Giải: Từ (2) và (3) ta có : , (0; )

5

x y



(1) sinx-3x=siny-3y Xét hàm số f(t)=sint-3t với (0; )

5

t ta có f(t) là hàm nghịch biến nên f(x)=f(y) x=y thay vào (2) ta có x y 10 là nghiệm của hệ

Bài 6: Giải hệ:    



(1)

1 1 8 (2)

tgx tgy y x

Giải: Đk:  



1 8

y

(1)  tgx x tgy y    x y (do hàm số f t( )tgt t là hàm đồng biến)

Thay vào (2) ta có: y 1 1 y y8  y 1 y y8 1

Vậy x y 8 là nghiệm duy nhất của hệ đã cho

HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH:

Định nghĩa:Là hệ có dạng:













1

( ) ( ) ( ) ( )

( )n ( )

f x g x

f x g x

f x g x

(I)

Định lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và ( , , , )x x1 2 x là n nghiệm của hệ trên A thì x1x2   x n

Định lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và ( , , , )x x1 2 x là nghiệm của hệ trên A n thì x1x2   x nếu n lẻ và n     





2 4

n n

Bài 7:Giải hệ:









Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ Xét hàm số f t( )t3 3 3 ln(t  t2  t 1)

 

2

2

2 1

t

f t t

t t nên f(t) là hàm đồng biến

Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì y f x( )f y( ) z z f y ( )f z( )x

Vậy ta có x=y=z Vì pt x3 2x 3 ln( x2  x1) 0 có nghiệm duy nhất x=1 nên hệ

đã cho có nghiệm là x=y=z=1

Bài 8:Giải hệ:













2

3 2

3 2

3

2 6 log (6 )

2 6 log (6 )

2 6 log (6 )

(HSG QG Bảng A năm 2006)

Giải: Hệ















log (6 )

log (6 )

x y

y

z x

Trong đó ( ) log (63 ) ; ( ) 2

t

  với t   ( ;6)

Ta có f(t) là hàm nghịch biến,

6

t



Nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có:

log (6 )

x x

  pt này có nghiệm duy nhất x=3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3

Bài tập:

2

81

256

3 (x-1)(x+2)=(x 2) ; 4 3 2 osx; 5 (1 )(2 4 ) 3.4

6 3 2 5 (HSG QG 2006)











7 Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất

n













8 Tìm m để các pt sau có nghiệm:

cos sin

os sin

+

-III Các bài toán cực tri- chứng minh BĐT:

Bài 1: Cho 4 số thực a,b,c,d thoả mãn: a2+b2=1; c-d=3 Cmr:

9 6 2 4

F ac bd cd     (HSG Nghệ an 2005)

Giải: ta có: F  (a2b2)(c2d2)  cd  2d26d 9 d2  3d f d( )

Ta có

2 2

'( ) (2 3)

d

vì

2 2

d



nên

f d f    ta có đpcm

Bài 2: Cho 0 x y z 1.:3x2y z 4.Tìm gtln F 3x22y2z2(TH&TT)

Giải: Từ gt ta có: 4 2

3

y z

x   thay vào F ta được

y

Ta xét 2 1

3 y (vì y<2/3 thì Max không xảy ra), khi đó

2 ( ) ( ) 16

3

g y g  16

3

F

  dấu “=” có khi 2; 1

z y x Vậy 16

3

Max F 

Bài 3: Cho x y z   0.CMR: x z  z y y x  x y y z x z

Giải: Xét hàm số : f x( ) x z y x y z

       

  Với đk đã cho x y z   0

Ta có: f x'( ) (1 1) ( y2 z2) (y z)( 1 12) 0

         f(x) là hàm đồng biến ( ) ( ) 0

f x f y

Bài 4:Cho a>b>c>0 CMR: a b3 2 b c3 2 c a3 2 a b2 3 b c2 3 c a2 3

Giải: Xét hàm số: f a( ) a b3 2 b c3 2 c a3 2  a b2 3 b c2 3 c a2 3

Ta có : f a'( ) 3  a b2 2  2ac3  2ab3  3a c2 2 Tiếp tục lấy đạo hàm:

f a  ab  ac  c  b  b c a b c b  c  bc  do a>b>c>0

'( )

f a

 là hàm đb f a'( ) f b'( ) b4  2bc3  3b c2 2  0 (ta có thể cm được nhờ Côsi)

Như vậy do f'(a) >0 nên f(a) đồng biến hay là f(a)>f(b)=0 như vậy ta có đpcm

Bài 5:Cho x y z o, ,  Cmr: x4 y4 z4 xyz x y z(   ) xy x( 2 y2 ) yz y( 2 z2 ) zx z( 2 x2 )

Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử: x y z Xét hàm số

f x x y z xyz x y z   xy x y  yz y z  zx z x

Ta có : f x'( ) 4  x3  3 (x y z2  ) xyz yz x y z (   ) (  y3 z3 )  f x"( ) 12  x2  6 (x y z ) 2  yz

"( ) 0

f x

  (do x y z)  f x'( ) f y'( ) z y z2  3 z y z2 (  ) 0  nên f(x) là hàm đb

Bài 6: Cho n,k là các số nguyên dương n7;2 k n Cmr: k n 2n k

(HSG QG bảng B 96-97)

Giải : Bđt  n k kln  lnn ln 2  n k kln  lnn ln 2

Xét hàm số f x( ) n x x nln  ln  ln 2 với x [2; -1]n '( ) ln '( ) 0

ln

2

ln

n

n

n      Xét hàm số g x( ) e x x2  g x'( ) e x 2x g x"( ) e x 2 0 

Vậy f x( ) Min f{ (2), ( -1)}f n Ta cm Min f{ (2), ( -1)} 0f n 

* f(2) 0 2n 1 n2

   ta dễ dàng cm được bằng quy nạp hoặc đạo hàm

* f n( 1) 0 (n 1)n 2n n 1 t 2(1 1) t t 6

t



          (*) trong đó t=n-1

Ta có (1 1)t e 3 2(1 1)t 6 t

        (*) đúng

Vậy ta có đpcm

Bài 7: Cho 0 a b c   CMR: 2 2 2 3 ( )2



Giải:Đặt b

a  và c x

a  ĐK : 1    x Khi đó bđt cần cm trở thành

2

2





Xét hàm số ( ) 2 1 (2 1 2 2 ( 1))

1

Ta có: '( ) 2 1 2(2 1) 2 12 ( 1)[2x+1 2 2] 0

x





Như vậy hàm f(x) là đồng biến do đó f x( ) f ( ) 2 3  3 1



( ) ( ) (1) 0

f x f  f

Bài 8: cho a,b,c>0 Cmr: 3

2

a b b c c a     

Giải: Đặt x b,y c,z a xyz 1

     và bđt đã cho  11x11y11z 32

Giả sử z  1 xy 1 nên ta có: 11 11 2 2

z

2

( )

f t

Ta có: '( ) 2 2 22 2 2(1 )2 2 0 ( ) (1) 3 1

2



Nhận xét:Từ bài toán trên ta dễ dàng giải quyết được bài toán sau:

Cho a,b,c>0 Cmr: ( )3 ( )3 ( )3 3

8

a b  b c  c a  (chọn đội tuyển thi IMO 2005)

Bài tập áp dụng:

1 Cho , (0; ). : .sin   sin 2(cos  cos )

2 Cmr

2 Cho x y R,  và 2x y  2.Tìm gtnn của P x2  (y 3) 2  x2  (y 1) 2

(HSG QG Bảng B năm 1998)

3.Cho a,b>0 Cmr: (a 1) ln(a 1) e b  (a 1)(b 1) (HSG 12 Nam Định 2004)