Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán đại số

Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán đại số: 1. Bất đẳng thức 2. Phương trình, bất ptương trình và hệ đại số

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc  Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

10 GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Vấn đề 1: Chứng minh đẳng thức

Vấn đề 2: Chứng minh bất đẳng thức

Vấn đề 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phơng trình

Vấn đề 4: Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

giải phơng trình

Vấn đề 5: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải bất phơng trình

Vấn đề 6: Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

giải bất phơng trình

Vấn đề 7: Giải hệ phơng trình và hệ bất phơng trình

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngừ 86  Đường Tụ Ngọc Võn  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

Giải các bài toán đại số

Vấn đề 1: chứng minh đẳng thức

Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng (a, b) thì đạo hàm luôntriệt tiêu trong khoảng đó Đảo lại ta có định lí sau :

Định lí 1 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a, b) và f'(x) = 0,

x(a, b) thì hàm số y = f(x) không đổi trong khoảng (a, b).

Từ đó để thực hiện các dạng toán :

Dạng 1: Chứng minh rằng :

A(x) = c, xD

Ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Tính A'(x), rồi khẳng định A'(x) = 0, xD

Bớc 2: Chọn x0D  A(x0) = c

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để biểu thức A(x) không phụ thuộc

vào x

Ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Tính A'(x), rồi tìm điều kiện để A'(x) = 0, x

Bớc 2: Kết luận

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi x ta đều có :

cos2(xa) + sin2(xb)2cos(xa).sin(xb).sin(ab) =

 Hàm số không đổi

Ngoài ra ta còn có y = y(b) = cos2(ab)

Vậy y = cos2(ab)

Chú ý : Trong các tài liệu tham khảo về lợng giác bài toán trên thờng đợc

3 không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 3: Tìm a sao cho biểu thức :

A = cos2xa.sin2x + 2cos2x không phụ thuộc x

Vậy với a = 4 thì A không phụ thuộc x

Ví dụ 4: Tìm a, b để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x

) 0 ( f

) 1 ( x , 0 ) x ( ' f

Từ (3), (4), ta đợc a = b = 1.

Vậy, với a = b = 1 phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Nhận xét : Trong hầu hết các tài liệu tham khảo hiện nay bài toán trên đều

đ-ợc giải bằng phơng pháp điều kiện cần và đủ Nh vậy từ đây chúng ta ghi nhận

thêm một phơng pháp mới " Sử dụng đạo hàm tìm điều kiện của tham số để phơng trình nhận xD làm nghiệm ".

Ví dụ 5: Tìm m để phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:

4 f

) 1 ( x , 0 ) x ( ' f

0 m

2 m 2

Vậy, với m = 2 phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Vấn đề 2: chứng minh bất đẳng thức

Bằng việc xét hàm số f(x) trên đoạn [a, b], ta có :

a Nếu f '(x)  0, x[a, b]  hàm số f(x) đồng biến trên [a, b]

Chú ý : Đôi khi chúng ta không thể khẳng định đợc ngay rằng f '(x)  0,

x[a, b] (hoặc f '(x)  0, x[a, b]), ví dụ nh hàm số f(x) = x

 f '(x) nghịch biến với x > 0  f '(x) < f '(0) với x > 0

 f '(x) < 0 với x > 0  f(x) nghịch biến với x > 0

Chú ý : Trong các ví dụ trên chúng ta đã chỉ ra ngay đợc hàm số cần xét sự

biến thiên Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét sựbiến thiên, khi bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức nhiều biến

Ví dụ 3: Chứng minh rằng trong mọi ABC nhọn ta đều có :

Cộng theo vế (1), (2), (3) ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh

Chú ý : Trong nhiều trờng hợp sử dụng thêm các bất đẳng thức quen thuộc

nh bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với 0 < x <

2



Giải

Theo bất đẳng thức Côsi ta có :

1

2 3 > 2cos2x +

xcos

Nh vậy, (2) đợc chứng minh Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Chú ý : Trong các ví dụ trên chúng ta đã sử dụng nguyên tắc theo chiều

thuận, tức là từ bất đẳng thức giữa a và b, dùng tính đơn điệu của hàm số f đểchứng minh bất đẳng thức giữa f(a) và f(b) Bây giờ chúng ta đã sử dụngnguyên tắc theo chiều ngợc lại

sin600 = 3sin2004sin3200,

do đó sin200 là nghiệm của phơng trình :

 27 3 > 46  2187 > 2116, luôn đúng.

Ví dụ 6: Với n là một số nguyên dơng lẻ không nhỏ hơn 3 Chứng minh rằng

với mọi số thực x  0, ta luôn có :

(1 + x +

!2

x2 +

!3

x3 + +

!n

xn )(1x +

!2

x2 

!3

x3 + 

!n

x2 +

!3

x3 + +

!n

xn ,

g(x) = 1x +

!2

x2 

!3

x3 + 

!n

x2 +

!3

x3 + +

)!

1 n (

xn ,

g '(x) = 1 + x

!2

x2 

!3

x3 + 

)!

1 n (

xn ,

 F '(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

= [ f(x) 

!n

xn ]g(x) + f(x)[ g(x) 

!n

xn ]

= 

!n

xn [f(x) + g(x)] = 

!n

xn [1 +

!2

x2 + +

)! 1 n (

F

0 x khi 0 ) x ( '

Từ đó chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 và a2 + b2 + c2 = 1 thì

2 2

cb

a

 +

2 2

ac

b



+

2 2

ba

b

 + 2 2

ba

c

 = 2

a1

a

 + 2

b1

b

 + 2

c1

(3)  uv víi u, vDf.

VÝ dô 1: T×m c¸c nghiÖm ©m cña ph¬ng tr×nh :

0 x víi 3 x 2 x 3

2 2

4

0 1 x

2

 +

1 x 4

x 4

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x

Giải

Số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y3x4 x

với đờng thẳng ym



Vậy, với mọi m phơng trình luôn có duy nhất nghiệm

Chú ý : Hầu hết phơng trình đợc giải bằng phơng pháp này ở dạng ban đầu

đều không đa ra đợc nhận xét " VT đồng biến còn VP là hàm hằng hoặc nghịch biến " khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi đại số, ví dụ với ph-

ơng trình :

A.af(x) + B.bg(x)C.ch(x)  A

) x ( h

) x (

c

a + B

) x ( h

) x ( g

Vậy, phơng trình có nghiệm duy nhất x2.

Chú ý : Nhiều bài toán cần sử dụng phơng pháp đặt ẩn phụ để chuyển chúng

về dạng f(x)k Từ đó mới có thể áp dụng đợc phơng pháp hàm số để giải

1 x

2 x

) 1 x ( log y

2 x

3 1 x

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng y1 là nghiệm của phơng trình

Với y1 suy ra

0 3

0 3 x 2 x

5 1 x

Viết lại phơng trình dới dạng :

) 3 x 2 x ( log 5   log (x2 2x 4)

5 1

5

1 5

5

1 5

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Nhận xét rằng y1 là nghiệm của phơng trình

Với y1, suy ra

.Vậy, phơng trình có nghiệm x4, x2

 Vế phải của phơng trình là một hàm nghịch biến

 Vế trái của phơng trình là một hàm đồng biến

Do vậy, nếu phơng trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

0 4

x2  x > 2

Viết lại phơng trình dới dạng :

log2(x24)log2(x + 2)3x  log2

2x

 Miền xác định D[1, + )

 Đạo hàm :

g’(x)3x24 < 0, xD  hàm số nghịch biến trênD

x2

3    2

a x 2 a





(1)

a Giải phơng trình với a0

b Hãy tìm a sao cho phơng trình trên có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc

đoạn [4, 0]

Giải

Điều kiện xa

Viết lại phơng trình dới dạng :

1 ) 2 a ( )

2 x

.Vậy, với a0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x2

b Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt trên đoạn [4, 0] điều kiện là :

0 a 2 2 4

 





 2 a

3 a 1

Ví dụ 15: Giải phơng trình :

3x28x + 24

|5x2

0 5 x

5 x

Viết lại phơng trình dới dạng :

(2x5)2

|5x2

2

1 x 5 x

.Vậy, phơng trình có hai nghiệm x4 và x2

VÝ dô 16: Cho ph¬ng tr×nh :

2 mx 2

2 x

f[f(x)]x, trong đó f(x) là hàm đồng biến trên tập xác định D.

Khi đó ta thực hiện theo các bớc :

) 1 ( x ) y ( f

.(I)

Cộng theo vế hai phơng trình của (I), ta đợc :

log

3

0 1

0 1 x 3

) 1 ( x ) 1 y 3 ( log

2

(I)

Cộng theo vế hai phơng trình của (I), ta đợc :

log2(3y1) + y log2(3x1) + x (3)Xét hàm số f(t) log2(3t1) + t

log2(3x1)x  3x12  23x + 10 (4)Xét hàm số g(x) 2x3x + 1.

 g'(x) là hàm đồng biến trên D

Vậy, theo định lý Rôn phơng trình g(x)0 có không quá hai nghiệmtrên D

Nhận xét rằng g(1)g(3)0

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x1 và x3

Vấn đề 4: sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số Giải phơng trình

Để sử dụng giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số vào việc giải phơng trình :

f(x, m) = g(m)

ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số

(C) : y = f(x, m) và đờng thẳng (d) : y = g(m)

Bớc2: Xét hàm số y = f(x, m)

 Tìm miền xác định D

 Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bớc3: Kết luận :

 Phơng trình có nghiệm



D x

min

 f(x, m)  g(m) 

D x

a Với m = 1, phơng trình có mấy nghiệm ?

b Tìm m để phơng trình có ba nghiệm phân biệt Khi đó hãy xét dấu cácnghiệm

y' = 3x6x,y' = 0  3x26x = 0  x = 0 hoặc x = 2.

a Với m = 1, số nghiệm phơng trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số và

đờng thẳng y = 1 Từ bảng biến thiên ta thấy có một giao điểm

 phơng trình có nghiệm duy nhất

b Để phơng trình có ba nghiệm phân biệt điều kiện cần và đủ là

1 x

2  





1 x x 2

1 x

1 x

2  





1 x x 2

1 x

0 ) 1 x )(

1 x (

2 2 2

x 2 2

lim

1 x x 1 x x

x 2 2

Vậy, phơng trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.

Chú ý : Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định



 x

lim y và



 x

lim

y rất có thể các em học sinh ngộ nhận rằng tập giá trị I của hàm số là R và dẫn tới

kết luận sai lầm rằng phơng trình có nghiệm với mọi m Điều này khẳng định thêmrằng bớc tìm các giới hạn trong bài toán khảo sát hàm số là cần thiết

Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình :

3 x

3 x

x 1 2

- Với m 1 hoặc m > 10 : phơng trình vô nghiệm

- Với 1 < m  1 hoặc m = 10 : phơng trình có nghiệm duy nhất

- Với 1 < m < 10 : phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x 4 x 5

3 x hoÆc 1 x khi 3

x 4 x 2 2

3 x hoÆc 1 x khi 4

x 2

VËy, víi 0 < m < 1 ph¬ng tr×nh cã bèn nghiÖm ph©n biÖt

VÝ dô 6: Víi n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 2, t×m x(0,

2



) tho¶ m·n ph¬ng tr×nh :

sinnx + cosnx =

2 n 2

 B¶ng biÕn thiªn (n lµ sè tù nhiªn ch½n)

Sử dụng các tính chất của hàm số để giải bất phơng trình là dạng toán kháquen thuộc Ta có hai hớng áp dụng sau :

 Với x > x0  f(x) > f(x0)k, do đó bất phơng trìnhnghiệm đúng

Vậy x > x0 là nghiệm của bất phơng trình

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x > 1

Ví dụ 2: Giải bất phơng trình :

 Với x  2, f(x)  f(2)1 do đó bất phơng trình (1) vô nghiệm

 Với x < 2, f(x) > f(2)1 do đó bất phơng trình (1) nghiệm đúng.Vậy x < 2 là nghiệm của bất phơng trình

Ví dụ 3: Giải bất phơng trình :

1 x 2 x nếu 9 x 2 x 3

2 2

 hàm số đồng biến trên D

Mặt khác ta có f(1)0, suy ra bất phơng trình có nghiệm là x > 1

Ví dụ 4: Giải bất phơng trình :

4 x

2

0 4 x

 Nếu 2  x  0 thì f(x)  f(0)  x 4

2   5, nên 2 

x  0 không phải là nghiệm

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là x > 0

Ví dụ 5: Giải bất phơng trình :

2

2 x 1 x

 x

Vậy bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Ví dụ 6: Giải bất phơng trình :

3 x 2

x2   x2 6x 11



 > 3  x  x  1 (1)

Giải

Điều kiện :

 3  x  0  1  x  3

(*)

Viết lại bất phơng trình dới dạng :

3 x 2

Thấy ngay hàm số đồng biến trên [1, 3]

Khi đó (2) đợc biến đổi nh sau :

f(x1) > f(3x)  x1 > 3x  x > 2

Vậy, nghiệm của bất phơng trình là 2 < x  3

Ví dụ 7: Giải bất phơng trình :

24

x233

x

x 2

(

g

0 x 2 3 3

) x

(

) 2 ( g 0 2 4 ) x

(

g

) 2 ( 0 x 2 3 3

) x

(

x x 2 x 2

2 x

2 x

2 x



21

< x  2

Vậy

2

1

< x  2 là nghiệm của bất phơng trình

Ví dụ 8: Cho bất phơng trình :

x ) 1 m ( 2

2  2x4m + 3 < (2m2)x + 34m (1)

a Giải bất phơng trình với m2

b Tìm m để bất phơng trình sau vô nghiệm

Giải

Viết lại bất phơng trình dới dạng :

x ) 1

Vậy, với m2 bất phơng trình có nghiệm x < 

0 2

2 m

 m 2 Vậy, với m 2 bất phơng trình (1) vô nghiệm

Ví dụ 9: Cho bất phơng trình :

x2(m + 3)x + 3m < (mx)log2x (1)

a Giải bất phơng trình khi m2

b Giải và biện luận bất phơng trình

Giải

Điều kiện x > 0

Biến đổi bất phơng trình (1) về dạng :

x2(m + 3log2x)x + 3mmlog2x < 0 (2)Coi (2) là bất phơng trình bâc hai theo ẩn x, ta có :

1 VT

x

m

x

0 x log 3

2 x m x

(I)

a Với m2

(I) vô nghiệm  (1) vô nghiệm

b Biện luận

 Với m0, bất phơng trình có nghiệm 0 < x < 2

 Với 0 < m < 2, bất phơng trình có nghiệm m < x < 2

 Với m2, bất phơng trình vô nghiệm

 Với m > 2, bất phơng trình có nghiệm 2 < x < m

Ví dụ 10: Cho bất phơng trình :

4 x )

a Giải bất phơng trình với m3

b Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x[0, 1]

0 2 m

m 2

Viết lại bất phơng trình dới dang :

4 x )

1

m

(

2   + lg[(m + 1)x + 4] > 2 m2m2 + lg(m2m2) (2)Xét hàm số f(x)2x + lgx đồng biến với x > 0

Vậy, bất phơng trình (2) đợc viết dới dạng :

f[(m + 1)x + 4] > f(m2m2)  (m + 1)x + 4 > m2m2

 g(x)(m + 1)xm2 + m + 6 > 0 (3)

a Với m3, ta đợc :

(3)  4x > 0  x > 0

Vậy, với m3 bất phơng trình có nghiệm x > 0

b Bất phơng trình (1) nghiệm đúng với mọi x[0, 1]

x

(

g

0 2 m

m

2 2

1 ( g

0 )

0 ( g

1 m

2 m

1 m 2 m

 Tính đạo hàm y', rồi giải phơng trình y' = 0

 Lập bảng biến thiên của hàm số

Bớc 2: Kết luận cho các trờng hợp nh sau :

 Bất phơng trình có nghiệm với xD



D x

max

 y  g(m)

Tơng tự cho bất phơng trình f(x, m)g(m) với lời kết luận :

 Bất phơng trình có nghiệm với xD



D x

min

 y  g(m)

Trớc tiên chúng ta trình bày các ví dụ với yêu cầu " Tìm điều kiện của tham

số để bất phơng trình có nghiệm ".

Ví dụ 1: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm :

1X

1X

2 X 2 X

x sin 1

2 2

Vậy, bất phơng trình có nghiệm khi m  4

Ví dụ 3: Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm :

x24x + 3 + 2mx6 > 0 (1)

x ) 2 m ( 2 x

0 ) 3 ( f

0 ) 1 ( f

2 2

0 6 m 6

0 6 m 2

2

 m > 3

Vậy, với m > 3 bất phơng trình có nghiệm

Chú ý : Tiếp theo, chúng ta trình bày các ví dụ với yêu cầu " Tìm điều kiện

của tham số để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x ".

Ví dụ 4: Xác định m để bất phơng trình :

mx44x + m0nghiệm đúng với mọi x

x 12 4

tt

0 t

 Miền xác định D = [1, 1]

 Đạo hàm :

y' = 12X312mX212X + 12m, y' = 0  12(X21)(Xm) = 0  

0 m

Vậy, bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x khi m = 0

Ví dụ 7: Tìm m để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x :

5 x 1 x nếu 5

x ) 3 m ( 2 x ) x ( f

2 2

m 3

( f

1 ) 5 ( f

1 ) 1 ( f

1 1

1 m 2

2

 1 < m < 5

Vậy, với 1 < m < 5 bất phơng trình nghiệm đúng với mọi x

Chú ý : Tiếp theo, chúng ta trình bày các ví dụ với yêu cầu " Tìm điều kiện

của tham số để bất phơng trình nghiệm đúng với mọi xD ".

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của m để bất phơng trình :

x3 + 3mx2 

3

x1

đợc thoả mãn với mọi x1

x

1x

x    3m

Xét hàm số F(x) =

4

3 6

x

1x

x

4x

x   =

5

3 3

x

4)1x(

x   > 0, x  1

 hàm số F(x) luôn đồng biến trong khoảng [1, + )