Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán đại số

Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán đại số: 1. Bất đẳng thức 2. Phương trình, bất ptương trình và hệ đại số

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG 10 GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÊn ®Ị 1: VÊn ®Ị 2: VÊn ®Ị 3: VÊn ®Ị 4: VÊn ®Ị 5: VÊn ®Ị 6: VÊn ®Ị 7: Chøng minh ®¼ng thøc Chøng minh bÊt ®¼ng thức Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải phơng trình Sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số giải phơng trình Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải bất phơng trình Sử dụng giá trị lớn nhỏ hàm số giải bất phơng trình Giải hệ phơng trình hệ bất phơng trình Hc Toỏn theo nhúm (t đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liờn h 0936546689 Giải toán đại số Vấn đề 1: chứng minh đẳng thức Ta đà biết hàm số không đổi khoảng (a, b) đạo hàm triệt tiêu khoảng Đảo lại ta có định lí sau : Định lí Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a, b) f'(x) = 0, x(a, b) hàm số y = f(x) không đổi khoảng (a, b) Từ để thực dạng toán : D¹ng 1: Chøng minh r»ng : A(x) = c, xD Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau : Bíc 1: Tính A'(x), khẳng định A'(x) = 0, xD Bíc 2: Chän x0D  A(x0) = c D¹ng 2: Tìm điều kiện tham số để biểu thức A(x) không phụ thuộc vào x Ta thực theo bớc sau : Bớc 1: Tính A'(x), tìm điều kiƯn ®Ĩ A'(x) = 0, x Bíc 2: KÕt ln VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng víi mäi x ta ®Ịu cã : cos2(xa) + sin2(xb)2cos(xa).sin(xb).sin(ab) = cos2(ab) Gi¶i XÐt hµm sè y = cos2(xa) + sin2(xb)2cos(xa).sin(xb).sin(ab) Ta cã : y' = 2sin(xa)cos(xa) + 2sin(xb)cos(xb) + + 2sin(ab)[sin(xa).sin(xb) cos(xa).cos(xb)] =  sin2(xa) + sin2(xb) 2sin(ab).cos(2xab) = 2cos(2xab).sin(ab) 2sin(ab).cos(2xab) = Hàm số không đổi Ngoài ta có y = y(b) = cos2(ab) VËy y = cos2(ab) Chó ý : Trong tài liệu tham khảo lợng giác toán thờng đợc phát biểu dới dạng : " Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = cos2(xa) + sin2(xb)2cos(xa).sin(xb).sin(ab) ®éc lËp víi x " VÝ dơ 2: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x : A = sin2(x 2 2 ) + sin2x + sin2(x + ) 3 Giải Xét hàm số A = sin2(x 2 ) + sin2x + sin2(x + 2 ) 3 Ta cã : 2 ).cos(x 2 ) + 2sinx.cosx + 2sin(x + 2 ).cos(x + 3 2 ) = sin(2x 4 ) + sin2x + sin(2x + 4 ) 3 = 2sin2x.cos 4 + sin2x = sin2x + sin2x = Hàm số không đổi Ngoài ta có A = A(0) = VËy A = không phụ thuộc vào x A 'x = 2sin(x VÝ dơ 3: T×m a cho biĨu thøc : A = cos2xa.sin2x + 2cos2x kh«ng phơ thc x Giải Ta có : A không phụ thuộc x A'x = x  2sin2x2a.cosx.sinx4sinx.cosx = x  (a + 4)sin2x = x  a = 4 Vậy với a = A không phụ thuộc x Ví dụ 4: Tìm a, b để phơng trình sau nghiƯm ®óng víi mäi x a.cos2x + b[cos2(x + 2 ) + cos2(x 2 )] = 3 Giải Đặt f(x) = a.cos2x + b[cos2(x + 2 ) + cos2(x 2 )] 3 Tõ ®ã :  f(x) = , víi x  Gi¶i (1)  f ' ( x )  0,   f ( 0)   (1)  asin2xb[sin(2x +  asin2x2bsin2x.cos   a = b Gi¶i (2) x (1) (2 ) 4 4 ) + sin(2x )] = 0, x 3 4 = 0, x  (ba)sin2x = 0, x (3) (2)  a + b(cos2 2 + cos2 2 ) =  a + b = 3 2  2a + b = Tõ (3), (4), ta đợc a = b = Vậy, với a = b = phơng trình nghiệm với x (4) Nhận xét : Trong hầu hết tài liệu tham khảo toán đợc giải phơng pháp điều kiện cần đủ Nh từ ghi nhận thêm phơng pháp " Sử dụng đạo hàm tìm điều kiện tham số để phơng trình nhận xD làm nghiệm " Ví dụ 5: Tìm m để phơng trình sau nghiƯm ®óng víi mäi x: sinmx + cosmx = Giải Đặt f(x) = sinmx + cosmx f(x) = 1, x Giải (1) : Ta đợc : m.cosx sinm1xmsinx.cosm1x = 0, x  m.sinx.cosx(sinm2xcosm2x) = 0, x f ' ( x ) 0,      f   1      m 0  m x  cos m   sin x , x x (1) (2)   m 0  m 2  Gi¶i (2) : Ta xÐt tõng trêng hỵp :  Víi m = 0, ta đợc : f  =      Víi m = 2, ta đợc : 2   +  2    = 2, không thoả mÃn       f   =   +   = 1, tho¶ m·n     2  4     VËy, víi m = ph¬ng trình nghiệm với x Vấn đề 2: chứng minh bất đẳng thức Bằng việc xét hàm số f(x) đoạn [a, b], ta có : a Nếu f '(x) 0, x[a, b] hàm số f(x) đồng biÕn trªn [a, b]  f(a)  f(x)  f(b) b NÕu f '(x)  0, x[a, b]  hµm số f(x) nghịch biến [a, b] f(b) f(x)  f(a) VÝ dô 1: Cho < x <  Chøng minh r»ng : a sinx < x b tgx > x Giải a Xét hàm sè f(x) = sinxx víi < x <  Đạo hàm : f '(x) = cosx1 < víi < x <   hàm số f(x) nghịch biến (0, ) Do ®ã : f(x) < f(0) víi < x <   sinxx < víi < x <  2   sinx < x víi < x < b XÐt hµm sè f(x) = tgxx víi < x <  Đạo hàm : f'(x) = = tg2x > víi < x <  2 cos x hàm số f(x) đồng biến (0, ) Do ®ã : f(x) > f(0) víi < x <   tgxx > víi < x <  2   tgx > x víi < x < Chó ý : Đôi khẳng định ®ỵc r»ng f '(x)  0, x[a, b] (hc f '(x)  0, x[a, b]), vÝ dơ nh hµm sè f(x) = x x sinx víi x > ta cã f '(x) = 1 x cosx rõ ràng khẳng định đợc với x > 0, trờng hợp nh vậy, thủ thuật thông thờng đợc áp dụng liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần ®a thøc Èn x VÝ dô 2: Chøng minh r»ng víi x > 0, ta cã : x x < sinx Giải Xét hàm số f(x) = x x sinx với x > Đạo hàm : f '(x) = 1 x cosx, f ''(x) = x + sinx, f '''(x) = 1 + cosx < víi x >  f ''(x) nghÞch biÕn víi x >  f ''(x) < f ''(0) víi x >  f ''(x) < víi x >  f '(x) nghÞch biÕn víi x >  f '(x) < f '(0) víi x >  f '(x) < víi x >  f(x) nghÞch biÕn víi x >  f(x) < f(0) víi x >  x x sinx < víi x >  x x < sinx víi x > Chó ý : Trong c¸c vÝ dơ đà đợc hàm số cần xét biến thiên Ví dụ minh hoạ việc lựa chọn hàm số thích hợp để xét biến thiên, bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức nhiều biến Ví dụ 3: Chứng minh r»ng mäi ABC nhän ta ®Ịu cã : (sinA + sinB + sinC) + (tgA + tgB + tgC) > 3 Giải Viết lại bất đẳng thức dới dạng : ( sinA + tgAA) + ( sinB + tgBB) + ( sinC + 3 3 3 tgCC) > XÐt hµm sè : f(x) = sinx + tgxx víi < x < 3 Đạo hàm : f'(x) = cosx + 1 3 cos x = ( cosx + cosx + ) 1  31 = 0, 3 cos x hàm số f(x) đồng biến với < x <  f(x) > f(0)  sinx + tgxx > víi < x <  3 VËy : sinA + tgAA > 3 (1) sinB + tgBB > 3 (2) sinC + tgCC > (3) 3 Céng theo vế (1), (2), (3) ta nhận đợc bất đẳng thøc cÇn chøng minh Chó ý : Trong nhiỊu trêng hợp sử dụng thêm bất đẳng thức quen thuộc nh bất đẳng thức Côsi, Bunhiacôpxki Ví dụ 4: Chøng minh r»ng víi < x <  , ta cã : 22sinx + 2tgx > Gi¶i 3x 22 Theo bất đẳng thức Côsi ta cã : 22sinx + 2tgx2 2 sin x tgx = Ta sÏ ®i chøng minh : > 2 sin x  tgx 3x 1 22 2 sin x  tgx (1)  2sinx + tgx > 3x  2sinx + tgx3x > (2) Xét hàm số f(x) = 2sinx + tgx3x Đạo hµm : f'(x) = 2cosx + cos2 x 3 NhËn xÐt r»ng víi < x <  ta cã : 2cosx + 3 > 2cos2x + cos x cos2 x 3 > 2 3 >  f'(x) > víi < x < hàm số f(x) đồng biến (0,  ) 2  f(x) > f(0) víi < x <   2sinx + tgx3x > Nh vậy, (2) đợc chứng minh Từ suy bất đẳng thức cần chứng minh Chú ý : Trong ví dụ đà sử dụng nguyên tắc theo chiều thuận, tức từ bất đẳng thức a b, dùng tính đơn điệu hàm số f để chứng minh bất đẳng thức f(a) f(b) Bây đà sử dụng nguyên tắc theo chiều ngợc lại Ví dụ 5: Chøng minh r»ng : sin200 > Gi¶i Ta có : sin600 = 3sin2004sin3200, sin200 nghiệm phơng trình : = 3x4x3 Xét hàm số f(x) = 3x4x3, Đạo hàm : f '(x) = 312x2, f '(x) =  3x2 = x = Bảng biến thiên : x  1/2 1/2 + y' y  +  +  Ta cã : nên : sin200, ( , ) khoảng đồng biến hàm số f(x), 2 sin200 >  f(sin200) > f( )  > 23 3 27  27 > 46 2187 > 2116, Ví dụ 6: Với n số nguyên dơng lẻ không nhá h¬n Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x  0, ta lu«n cã : n n (1 + x + x + x + + x )(1x + x  x +  x ) 2! 3! n! 2! 3! n! < Giải Đặt : n f(x) = + x + x + x + + x , 2! 3! n! n g(x) = 1x + x  x +  x 2! 3! n!  F(x) = f(x).g(x) Ta ®i chøng minh : F(x) < víi x  Ta cã : f '(x) = + x + x + x + + 2! 3! x n  = f(x)  x n , ( n  1)! n! g '(x) = 1 + x x  x +  2! 3! n xn = g(x)  x , ( n  )! n!  F '(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) n n = [ f(x)  x ]g(x) + f(x)[ g(x)  x ] n! =  x n n! [f(x) + g(x)] =  x n!  F ' ( x )   F ' ( x )  Bảng biến thiên : x F' + F n n! khi 0 x  x  +  [1 + x 2! + + x n ] ( n  1)! VËy, F(x) < x  VÝ dơ 7: Chøng minh r»ng víi mäi x(0, 1) có : x(1x2) Từ chøng minh r»ng nÕu a, b, c > vµ a2 + b2 + c2 = th× a b c b + c a c + a b  3 2 Giải Xét hàm số f(x) = x(1x2) Miền xác định D = R Đạo hàm : f'(x) = 13x2, f'(x) =  x =   Bảng biến thiên : x 1/ 1/   y' + 3 + y  0 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã : f(x) = x(1x2)  víi mäi x(0, 1) ¸p dơng, ta cã : x(1  x )  3  2  3x x  x2 (*) Do ®ã : a b c + b c a + c a b = a 1 a + b 1 b + c  c2 2  3a + 3b + 3c 2 = 3 (a2 + b2 + c2) = 3 2 VÝ dô 8: Chøng minh r»ng nÕu x + y = th× : x4 + y4  Gi¶i Tõ x + y = suy ra: y = 1x nên x4 + y4 = x4 + (1x)4 Xét hàm số f(x) = x4 + (1x)4 Đạo hàm : f '(x) = 4x34(1x)3, f '(x) =  x = Bảng biến thiên : x 1/2  y' +  y + 1/8 Tõ ®ã suy : f(x)  , x dấu đẳng thức xảy x = y = + + VÊn ®Ị 3: sư dụng tính đơn điệu hàm số Giải phơng trình Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải phơng trình dạng toán quen thuộc Ta cã c¸c híng ¸p dơng sau : Híng : Thực theo bớc : Bớc1: Chuyển phơng trình dạng : f(x)k (1) Bớc2: Xét hàm số yf(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sư ®ång biÕn ) Bíc3: NhËn xÐt :  Víi xx0 f(x)f(x0)k , xx0 nghiệm Víi x > x0  f(x) > f(x0)k, ®ã phơng trình vô nghiệm Với x < x0 f(x) < f(x0)k, phơng trình vô nghiệm Vậy xx0 nghiệm phơng trình Hớng : Thực theo bớc : Bớc1: Chuyển phơng trình dạng : f(x)g(x) (2) Bớc2: Xét hàm số yf(x) yg(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số yf(x) đồng biến hàm số yg(x) hàm nghịch biến Xác định x0 cho f(x0)g(x0) Bớc3: Vậy phơng trình có nghiệm xx0 Hớng : Thùc hiƯn theo c¸c bíc : Bíc1: Chun phơng trình dạng : f(u)f(v) (3) Bớc2: Xét hàm số yf(x) Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn ®iƯu (gi¶ sư ®ång biÕn ) Bíc3: Khi ®ã : 10 ... chứng minh đẳng thức Ta đà biết hàm số không đổi khoảng (a, b) đạo hàm triệt tiêu khoảng Đảo lại ta có định lí sau : Định lí Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm khoảng (a, b) f''(x) = 0, x(a, b) hàm. .. thông thờng đợc áp dụng liên tiếp tính đạo hàm để hạ bậc dần đa thøc Èn x VÝ dơ 2: Chøng minh r»ng víi x > 0, ta cã : x x < sinx Giải Xét hàm số f(x) = x x sinx với x > Đạo hàm : f ''(x) =... thức xảy x = y = + + VÊn ®Ị 3: sư dơng tính đơn điệu hàm số Giải phơng trình Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số để giải phơng trình dạng toán quen thuộc Ta có c¸c híng ¸p dơng sau : Híng : Thùc