Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tiếp tuyến

Giải các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Mơn Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu tư cao, điều em học sinh cần là: Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Mơn ln cố gắng thực điều Một điểm tựa để trả lời thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa” ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ VÊn ®Ò 1: VÊn ®Ò 2: VÊn ®Ò 3: VÊn ®Ò 4: VÊn ®Ị 5: VÊn ®Ị 6: VÊn ®Ị 7: Vấn đề 8: Lập phơng trình tiếp tuyến biết tiếp điểm Lập phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc Lập phơng trình tiếp tuyến qua điểm Tìm điểm thuộc đồ thị cho tiếp tuyến điểm thoả mÃn điều kiện cho trớc Tìm điểm kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị Tính chất đặc trng tiếp tuyến đồ thị hàm đa thức bậc ba Tính chất đặc trng tiếp tuyến đồ thị hàm đa thức bậc bốn Tính chất đặc trng tiếp tuyến đồ thị hàm phân thức h÷u tØ Học Tốn theo nhóm (từ đến học sinh) lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com Phụ huynh đăng kí học cho liên h 0936546689 tiếp tuyến đồ thị A Tóm tắt lí thuyết Ta sử dụng hai kết quả: Định lí: Phơng trình tiếp tuyến điểm M 0(x0, y0) đờng cong yf(x) có dạng: yy0 f'(x0)(x x0) Định lí: Hai đồ thị hàm số y = f(x) vµ y = g(x) tiÕp xóc vµ chØ hệ phơng trình sau có nghiệm : f ( x )  g( x )  f ' ( x )  g' ( x ) Khi ®ã, nghiệm hệ phơng trình hoành độ tiếp điểm Lu ý: Không đợc sử dụng điều kiện nghiệm kÐp thiÕt lËp ®iỊu kiƯn tiÕp xóc cđa ®êng thẳng với đồ thị hàm số B phơng pháp giải toán Vấn đề 1: lập phơng trình tiếp tuyến biết tiếp điểm Cho hàm số : y = f(x) Nếu biết tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số M(x 0, y0) phơng trình tiếp tuyến cã d¹ng : (d) : y = y’(x0)(xx0) + y0 Lu ý : Thuật ngữ thờng dùng trờng hợp : Tiếp tuyến đồ thị điểm M(x0, y0) Tiếp tuyến đồ thị ®iĨm cã hoµnh ®é x0 VÝ dơ 1: Cho hµm sè : (C) : y = x3x2x + LËp phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm với trục hoành Giải Hoành độ giao điểm (C) với Ox nghiệm phơng trình : x3x2x + = (x1)(x21) = x1,2 = Tại điểm có hoành độ x1 = 1, ta đợc tiếp tuyến (d1) có phơng trình : (d1) : y = y(1)(x1) + y(1)  (d1) : y =  T¹i điểm có hoành độ x2 = 1, ta đợc tiếp tuyến (d2) có phơng trình : (d2) : y = y’(1)(x + 1) + y(1)  (d2) : y = 4(x + 1) Chú ý : Nếu đờng thẳng (d) : y = ax + b lµ tiÕp tun cđa đồ thị hàm số y = f(x) điểm có hoành độ x0 phơng trình : f(x) = ax + b cã nghiƯm kÐp x = x0, ®ã đợc biến đổi dạng : (xx0)2(Ax + B) = NhËn xÐt trªn cho phÐp chóng ta thực đợc yêu cầu ví dụ sau : VÝ dơ 2: Cho hµm sè : y = x43x2 + 2 Gäi (d) lµ tiếp tuyến đồ thị điểm M có hoành ®é x M = a Chøng minh r»ng hoµnh ®é giao điểm tiếp tuyến (d) với đồ thị nghiệm phơng trình : (xa)2(x2 + 2ax + 3a26) = 0.) = Giải Xét hàm số, ta có : y' = 2x36) = 0.x Phơng trình tiếp tuyến đồ thị M có hoành độ xM = a cã d¹ng : (d) : y = y’(a)(xa)y(a)  (d) : y = (2a36) = 0.a)(xa) + a43a2 + 2 Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với đồ thị nghiệm phơng tr×nh : x 3x2 + = (2a36) = 0.a)(xa) + a43a2 + 2 2  (xa)2(x2 + 2ax + 3a26) = 0.) = VÝ dơ 3: Cho hµm sè : (Cm) : y = x3 + 3x2 + mx + a Xác định m để (Cm) cắt đờng thẳng y = ba điểm phân biệt C(0, 1), D, E b Tìm m để tiếp tuyến D E vuông góc với Giải a Phơng trình hoành độ giao điểm đờng thẳng y = đồ thị : x3 + 3x2 + mx + =  x(x2 + 3x + m) =   x 0   g( x )  x  3x  m  (*) Đồ thị (Cm) cắt đờng thẳng y = ba điểm phân biệt C(0, 1), D, E phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác   4m   '       0m<  m  g( )  (**) b Với điều kiện (**), phơng trình (*) có nghiệm thoả m·n :  x  x  x m x Ta cã :  TiÕp tuyÕn t¹i D cã hÖ sè gãc kD = y'(xD) = x 2D + 6) = 0.xD + m = 3( x 2D + 3xD + m) 3xD2m = 3xD2m  TiÕp tun t¹i E cã hƯ sè gãc kE = y'(xE) = x 2E + 6) = 0.xE + m = 3( x 2E + 3xE + m) 3xE2m = 3xE2m Các tiếp tuyến D E vuông góc víi kD kE = 1  (3xD2m)( 3xE2m) = 1 g D D E E  4m29m + =  m =  6) = 0.5 , thoả mÃn (**) Ví dụ 4: Cho hàm sè : y = x3 + 3x2 + 3x + a Chứng minh đồ thị không tồn hai điểm cho hai tiếp tuyến hai điểm đồ thị vuông góc với b Xác định k để đồ thị có điểm mà tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx Giải : a Ta cã : y' = 3x2 + 6) = 0.x + Giả sử hai điểm A, B có hoành độ theo thứ tự x A, xB, thuộc ®å thÞ, ta cã :  HƯ sè gãc cđa tiếp tuyến A, B có giá trị y'(x A) y'(xB) Hai tiếp tuyến A B vu«ng gãc víi  y'(xA) y'(xB) = 1  (3 x 2A + 6) = 0.xA + 3)(3 x 2B + 6) = 0.xb + 3) = 1  9( x 2A + 2xA + 1)( x 2B + 2xB + 1) = 1  9(xA + 1)2(xB + 1)2 = mâu thuẫn Vậy, đồ thị không tồn hai điểm cho hai tiếp tuyến hai điểm đồ thị vuông góc với b Điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị, ta cã :  HƯ sè gãc cđa tiÕp tun t¹i M có giá trị y'(x 0) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx ky'(x0) = 1  k(3 x 20 + 6) = 0.x0 + 3) = 1  3k(x0 + 1)2 = 1 (1) Để tồn điểm M thoả mÃn điều kiện đầu phơng trình (1) có nghiÖm  3k <  k < VËy, với k thoả mÃn điều kiện đầu VÝ dơ 5: Cho hµm sè : y = x  ax  x ViÕt ph¬ng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm với trục tung Giải Toạ độ giao điểm đồ thị hàm số với Oy nghiệm cđa hƯ :  x  ax  y   x  x    x  y 0 1  M(0, 1) TuyÕn đồ thị điểm M(0, 1) có dạng : (d) : y = y’(0)x +  (d) : y = (1a)x + VÝ dơ 6: Cho hµm sè : y =  mx  3x 4x m Với giá trị m tiếp tuyến đồ thị điểm có hoành ®é x = vu«ng gãc víi tiƯm cËn ? Giải Hàm số có : lim y Tiệm cận đứng 4x + m = x  m 4 TiƯm cËn xiªn y =  x + m v× xlim (y + x m) =   16) = 16) = Đạo hàm : y' =  12 x  6) = mx  m  16) = ( x  m )2 Suy hÖ sè gãc tiếp tuyến đồ thị x0 = lµ k = y'(0) = m  16) = m2 Ta xÐt hai trêng hỵp : Trêng hợp : Tuyến vuông góc với tiệm cận đứng  k =  m  16) = =  m =  m2 Trêng hợp : Tiếp tuyến vuông góc với tiệm cận xiªn   k = 1   m  16) = = 1  m2 = 48 v« 4 m2 nghiƯm VËy, tiÕp tuyến đồ thị điểm có hoành độ x = vuông góc với tiệm cận đứng m =  VÝ dơ 7: Cho hµm sè : y = x  2x  x a M điểm đồ thị có hoành độ x M = a Viết phơng trình tiếp tuyến (ta) đồ thị M b Xác ®Þnh a ®Ĩ (ta) ®i qua ®iĨm (1, 0) Chøng tỏ có hai giá trị a thoả mÃn điều kiện toán, hai tiếp tuyến tơng ứng vuông góc với Giải a Ta có : y' = x2  2x ( x  1)2 Phơng trình tiếp tuyến đồ thị M có hoành độ xM = a có dạng : (ta) : y = y’(a)(xa) + y(a)  (ta) : y =  (ta) : y = a  2a (xa) + a  2a  (a  1) a 1 a  2a x+ a  4a  (a  1) (a  1) b TiÕp tun ta ®i qua ®iĨm (1, 0) : a  2a (a  1) + a  4a  (a  1) =0  a2 + 3a + =  a1, =  theo định lí Vi - ét ta cã : a  a    a a 1 VËy, cã hai giá trị a thoả mÃn điều kiện toán Các tiếp tuyến có hệ số góc tơng øng : k1 = a 12  2a (a  1) , k2 = a 22  2a (a  1) Suy : k1.k2 = a 12  2a a 22  2a (a  1) (a  1) = a 12 a 22  2a a (a  a )  4a a (a a  a  a  1) = 1 chøng tỏ hai tiếp tuyến vuông góc với VÝ dơ 8: Cho hµm sè : y = x x HÃy tìm phơng trình tất tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến với trục toạ độ giới hạn tam giác có diện tÝch b»ng Gi¶i Ta cã : y' = x  x2 M lµ điểm tuỳ ý thuộc đồ thị có hoành độ a0, M(a, y(a)) phơng trình tiếp tuyến t¹i M cã d¹ng : 3 (d) : yy(a) = y'(a)(xa)  (d) : y = 2a  (xa) + a  a2 3  (d) : y = 2a  x +  a a2 a (1) Toạ độ giao điểm A tiếp tuyến M Oy nghiệm hÖ : x    2a   a3 x  y  a a2   A(0,  a ) a To¹ độ giao điểm B tiếp tuyến M Ox lµ nghiƯm cđa hƯ : 6) = a y    2a   a3 x  y  a a2   B( a(a  2) , 0) 2a  Diện tích OAB đợc cho : (a  )2 S = yA.xB = 2 2a  Suy : (a  )2 =  (a  )2 =  2a  2a  -  a 1   a 3 Víi a = 1, thay vào (1) đợc tiếp tuyến : (d1) : y = x + Víi a = , thay vào (1) đợc tiếp tuyến : x 25 Vậy, tồn hai tiếp tuyến thoả mÃn điều kiện đầu Vấn đề 2: lập phơng tr×nh tiÕp tun biÕt hƯ sè gãc NhËn xÐt r»ng : Hệ số góc tiếp tuyến điểm x0 b»ng f’(x0)  NÕu chiỊu d¬ng cđa Ox lËp với đờng thẳng góc hệ số góc đờng thẳng tg Với yêu cầu " Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f(x) biÕt hƯ sè gãc cđa tiÕp tuyÕn b»ng k ", ta cã thÓ lùa chän mét hai c¸ch : C¸ch : Thùc hiƯn theo bớc : Bớc 1: Xét hàm số, ta tính đạo hàm y' = f'(x) Bớc 2: Hoành độ tiếp điểm nghiệm phơng trình f(x) = k x0 Bớc 3: Khi phơng trình tiếp tuyến có dạng : (d) : y = y(x0)(xx0) + y(x0) Cách : Thùc hiƯn theo c¸c bíc : Bíc 1: Phơng trình với hệ số góc k có dạng (d) : y = kx + b Bíc 2: (d) tiÕp xúc với đồ thị hàm số hệ sau có nghiÖm : f ( x )  kx  b b phơng trình tiếp tuyến f ' ( x )  k Chó ý : Khi sư dụng cách việc có đợc phơng trình tiếp tuyến nhận đợc toạ độ tiếp điểm (d2) : y = VÝ dô 1: Cho hµm sè : (C) : y = x33x2 + Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng () : 3x5y4 = Giải Cách : Ta có : y = 3x26) = 0.x vµ hƯ sè gãc cđa đờng thẳng () Do đó, hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số nghiệm phơng trình : x 3 y’ = 1  3x26) = 0.x =   9x218x + =    x 5  Víi x = , ta đợc tiếp tuyến (d1) có d¹ng : (d1) : y =  (x ) + y( )  (d1) : y =  x + 3 3 6) = 0.1 27  Víi x = , ta đợc tiếp tuyến (d1) có dạng : (d2) : y =  (x ) + y( )  (d2) : y =  x 3 3 31 27 VËy, tån t¹i hai tiếp tuyến (d1), (d2) đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu Cách : Gọi (d) đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng (), : (d) : y =  x + b (1) Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số, hệ sau có nghiệm :  x  3x    x  b    3x  6) = x     6) = 0.1   b  27    b   31  27 6) = 0.1 6) = 0.1 , ta đợc tiếp tuyến (d1) : y =  x + 27 27 31 31  Víi b =  , ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = x 27 27 VËy, tån t¹i hai tiÕp tuyến (d1), (d2) đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu Với b = Ví dụ 2: Cho hµm sè : (C) : y = x4 + x22 Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến song song với đờng thẳng () : 6) = 0.x + y1 = Giải Cách : Ta cã : y’ = 4x3 + 2x vµ hệ số góc đờng thẳng () 6) = Do đó, hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm số nghiệm phơng trình : y’ = 6) =  4x3 + 2x = 6) =  2x3 + x + =  (x + 1)(2x22x + 3) =   x  0   x  x    x = Với x = 1, ta đợc tiếp tuyến (d) cã d¹ng : (d) : y = 6) = 0.(x + 1) + y(1)  (d) : y = 6) = 0.x6) = VËy, tån t¹i tiÕp tuyÕn (d) đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu Cách : Gọi (d) đờng thẳng song song với đờng thẳng (), : (d) : y = 6) = 0.x + b Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thị hàm số, hệ sau cã nghiÖm :   x    6) = x  b x    x   6) = 4 x  b = 6) =  Víi b = 6) = 0., ta đợc tiếp tuyến (d) : y = 6) = 0.x6) = VËy, tån tiếp tuyến (d) đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu Chú ý: Với hàm phân thức hữu tỉ, cần biết tới toán sau: Bài toán : Cho hàm số : (C) : y = ax  bx  c , víi bd  0, tư, mÉu kh«ng cã nghiƯm chung dx  e HÃy tìm điều kiện để đờng thẳng (d): y = kx + m tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) phơng pháp Viết lại hàm số dới dạng :  y = x +  + dx e Đờng thẳng (d) tiếp tuyến đồ thÞ (C) hƯ sau cã nghiƯm : γ  αx  β  kx  m  dx  e   γ d α   k  ( dx  e)  (1) (2) ViÕt l¹i (1) díi d¹ng : x +  +  ke = k (dx + e) + m dx  e d d (3) Thay (2) vµo (3) víi lu ý chØ thay vµo biĨu thøc k (dx + e), ®ỵc : d x +  +   .d  = (dx + e)     ke + m 2 (dx  e)  dx  e d d   x +  +   = x + e.    ke + m dx  e d dx  e d 1 = ( ke + e. + m) 2 dx  e d d (4) Thay (4) vµo (2), ®ỵc : f(k) = Ak2 + Bk + C = (5) Khi yêu cầu cụ thể toán đợc đa việc giải biện luận điều kiện cho phơng trình (5) Ví dụ 3: Cho hàm sè : y = x  7x  x Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị song song với đờng thẳng y =x+ Giải Viết lại hàm số dới dạng : y = 2x3 x Đạo hàm : y = + ( x  2) Hoµnh độ tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y = x + nghiệm phơng trình : 2+ ( x  2) =  x24x + = vô nghiệm Vậy không tồn tiếp tuyến đồ thị thoả mÃn điều kiện đầu Ví dơ 4: Cho hµm sè : y = x 3x x2 Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng () : x3y6) = = Giải Viết lại hàm số dới dạng : y=x+1+ x Đạo hàm : y = 1 ( x 2) Tới ta cã thĨ lùa chän mét hai c¸ch : C¸ch : Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến đồ thị hàm số vuông góc với đờng thẳng () nghiệm phơng trình : y 1 = 1  1 = 3  4x2 + 16) = 0.x + 15 =  ( x  2)   x    x    10 Víi x = , ta đợc tiếp tuyến (d1) có d¹ng : ... tuyến đồ thị hàm số cho tiếp tuyến vuông góc với đờng tiệm cận xiên đồ thị hàm số Chứng tỏ tiếp điểm trung điểm đoạn tiếp tuyến bị chắn hai đờng tiệm cận đồ thị hàm số Giải Viết lại hàm số dới... thị hàm số Ví dụ 3: Cho hàm số : (C) : y = x33x2 + a Qua ®iĨm A(1, 0) kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị (C) HÃy viết phơng trình tiếp tuyến b Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị song song với tiếp. .. tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng () : 3x5y4 = Giải C¸ch : Ta cã : y’ = 3x26) = 0.x hệ số góc đờng thẳng () Do đó, hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị hàm