Ứng dụng đạo hàm giải bài toán tiếp tuyến

Giải các bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Bản quyền thuộc Nhúm Cự Mụn của Lờ Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều cỏc em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhúm Cự Mụn luụn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời cỏc thắc mắc  Đăng kớ “Học tập từ xa”

ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG

TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

Vấn đề 1: Lập phơng trình tiếp tuyến biết tiếp điểm

Vấn đề 2: Lập phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Vấn đề 3: Lập phơng trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Vấn đề 4: Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại điểm đó

thoả mãn điều kiện cho trớc

Vấn đề 5: Tìm điểm kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị

Vấn đề 6: Tính chất đặc trng của tiếp tuyến của đồ thị

Học Toỏn theo nhúm (từ 1 đến 6 học sinh) cỏc lớp 9, 10, 11, 12

Giỏo viờn dạy: Lấ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngừ 86  Đường Tụ Ngọc Võn  Hà Nội Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kớ học cho con liờn hệ 0936546689

tiếp tuyến của đồ thị

A Tóm tắt lí thuyết

Ta sử dụng hai kết quả:

Định lí: Phơng trình của tiếp tuyến tại điểm M0(x0, y0) của đờng cong

) x ( g ) x ( f

.Khi đó, nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm

Lu ý: Không đợc sử dụng điều kiện nghiệm kép khi thiết lập điều kiện tiếp xúc

của đờng thẳng với đồ thị hàm số

Lu ý : Thuật ngữ thờng dùng trong trờng hợp này là :

 Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M(x 0 , y 0 )

 Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x 0

Chú ý : Nếu đờng thẳng (d) : y = ax + b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

f(x) tại điểm có hoành độ x0 thì phơng trình :

g

0 x

Đồ thị (Cm) cắt đờng thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0, 1), D, E

 phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

0 ' g

 





 0 m

0 m 4 9

 0  m <

4

9

.(**)

b Với điều kiện (**), phơng trình (*) có nghiệm thoả mãn :

x

3 x

x

E D

a Chứng minh rằng trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếptuyến tại hai điểm đó của đồ thị là vuông góc với nhau.

b Xác định k để trên đồ thị có ít nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đóvuông góc với đờng thẳng y = kx

Giải :

a Ta có :

y' = 3x2 + 6) = 0.x + 3

Giả sử hai điểm A, B có hoành độ theo thứ tự là xA, xB, thuộc đồ thị, ta có :

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B có giá trị là y'(xA) và y'(xB)

 Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau

 9(xA + 1)2(xB + 1)2 = 1 mâu thuẫn

Vậy, trên đồ thị không tồn tại hai điểm sao cho hai tiếp tuyến tại hai điểm

đó của đồ thị là vuông góc với nhau

b Điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị, ta có :

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại M có giá trị là y'(x0)

 Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng y = kx

1ax

1 x

1 ax x

xmx

) m x (

16) = 0.

m mx 6) = 0.

x 12

m

16) = 0

m  = 1  m2 = 48 vônghiệm

Vậy, tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x0 = 0 chỉ vuông góc vớitiệm cận đứng khi m =  4

Ví dụ 7: Cho hàm số :

y =

1x

2x

Giải

a Ta có :

y' =

2 2

) 1 x

(

x 2 x





Phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có hoành độ xM = a có dạng : (ta) : y = y’(a)(xa) + y(a)

 (ta) : y =

2 2)1a(

a2a





(xa) +

1a

2a2

a2a





2)1a(

2a4a

1

a

(

a2

2a4a

.

a

3 a

a

2 1

1

)1a

(

a2a





, k2 =

2 2 2 2 2

)1a(

a2a

)1a(

a2a





2 2 2 2 2

)1a(

a2a





=

2 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 2 2 2 1

)1aaaa(

aa4)aa(aa2aa

x

1x

a

1a

a

1a

2  x +

a

a

2 3 (1)

Toạ độ giao điểm A của tiếp tuyến tại M và Oy là nghiệm của hệ :

3 3

) 2 a (

3

2 3

) 2 a

(

3

2 3

) 2 a (

3

2 3

1 a

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến thoả mãn điều kiện đầu bài

Vấn đề 2: lập phơng trình tiếp tuyến biết hệ số góc

Nhận xét rằng :

 Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x0 bằng f’(x0)

 Nếu chiều dơng của Ox lập với đờng thẳng một góc  thì hệ số góc của

đờng thẳng chính là tg

Với yêu cầu " Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f(x)

biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k ", ta có thể lựa chọn một trong hai cách : Cách 1 : Thực hiện theo các bớc :

b kx ) x ( f

 b  phơng trình tiếp tuyến

Chú ý : Khi sử dụng cách 1 ngoài việc có đợc phơng trình tiếp tuyến chúng ta

còn nhận đợc toạ độ tiếp điểm

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2 : Gọi (d) là đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng (), khi đó :

x

3

b x 3 5 2 x 3 x

2

2 3

27

6) = 0.1b

0 1 x

2  x = 1

 Với x = 1, ta đợc tiếp tuyến (d) có dạng :

(d) : y = 6) = 0.(x + 1) + y(1)  (d) : y = 6) = 0.x6) = 0 Vậy, tồn tại tiếp tuyến (d) của đồ thị thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2 : Gọi (d) là đờng thẳng song song với đờng thẳng (), khi đó :

4

b x 6) = 0.

2 x x

3

2 4

 b = 6) = 0

 Với b = 6) = 0., ta đợc tiếp tuyến (d) : y = 6) = 0.x6) = 0

Vậy, tồn tại tiếp tuyến (d) của đồ thị thoả mãn điều kiện đầu bài

Chú ý: Với hàm phân thức hữu tỉ, chúng ta cần biết tới bài toán sau:

Bài toán : Cho hàm số :

(C) : y =

edx

cbx

) e dx (

d

) 1 ( m kx e dx x

2

γ α

γ β α

Viết lại (1) dới dạng :

d

1

 =

 2

1(

3x3

1

Tới đây ta có thể lựa chọn một trong hai cách :

Cách 1 : Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với

đờng thẳng () là nghiệm của phơng trình :

, ta đợc tiếp tuyến (d1) có dạng :

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện.

Cách 2 : Gọi (d) là đờng thẳng vuông góc với(), khi đó :

2 x

(

3 x 4 x

b x 3 2

x

3 x 3 x

2 2

3 b

 Với b = 3, ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 3x3

 Với b = 11, ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 3x11

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) của đồ thị hàm số thoả mãn điều kiện

Ví dụ 5: Cho hàm số :

(C) : y =

1x

1x2

x2





Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số sao cho các tiếp tuyến

đó vuông góc với đờng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số Chứng tỏ rằng tiếp

điểm là trung điểm của đoạn tiếp tuyến bị chắn bởi hai đờng tiệm cận của đồthị hàm số

Giải

Viết lại hàm số dới dạng :

y = x + 3 +

1x

 Với x = 2 phơng trình tiếp tuyến của đồ thị có dạng

1

)1k(

1

 + 3

6) = 0.

) 1 k (

1 2

3



 (d) : y = kx + 2

)1k(2

1

Vấn đề 3: lập phơng trình tiếp tuyến biết đi qua một

điểm

Giả sử biết điểm A(xA, yA) thuộc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x)

Trong trờng hợp này thuật ngữ thờng dùng là " Tiếp tuyến đi qua điểm A hoặc

tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị “ Khi A thuộc đồ thị cần phân biệt với thuật ngữ

tiếp tuyến tại A

Với yêu cầu " Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) : y = f(x)

đi qua điểm A(x A , y A ) ", ta có thể lựa chọn một trong hai cách :

Cách 1 : Thực hiện theo các bớc :

Bớc 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp

tuyến có dạng :

(d) : y = y’(x0)(xx0) + y(x0) (1)

Bớc 2: Điểm A(xA, yA)(d)

 yA = y’(x0)(xAx0) + y(x0)  x0  tiếp tuyến

y ) x x ( k ) x

3x

2x

0 0

0

 Với x0 = 2, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 2

 Với x0 = 3, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 9x25

x

3

2 ) 9 23 x ( k 2 x 3 x

2

2 3

6) = 0.

x

3

2 ) 9

23 x )(

x 6) = 0.

x 3 ( 2 x

3

x

2

2 2

x 3 k

3 / 1 x

3 x

2 x

 Với k = 0, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 2.

 Với k = 9, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 9x25

2

kx x

2 1 x

2

1

3

2 4

) x x 2 ( x 2 x x

3

3 2

3 / 1 x

0 x

1 k

0 k



 Với k = 0, ta đợc tiếp tuyến (d1) : y = 0

 Với k = 

3 3

1, ta đợc tiếp tuyến (d2) : y = 

3 3

1x

 Với k =

3 3

1, ta đợc tiếp tuyến (d3) : y =

3 3

1x

Vậy, qua O kẻ đợc ba tiếp tuyến (d1), (d2) , (d3) tới đồ thị hàm số

x

3

) 1 x ( k 2 x 3 x

2

2 3

6) = 0.

x

3

) 1 x )(

x 6) = 0.

x 3 ( 2 x

3

x

2

2 2

1 x

 Với k = 3, thay vào (1) ta đợc tiếp tuyến (d) : y = 3x + 3

Vậy qua A(1, 0) tồn tại duy nhất một tiếp tuyến (d)





Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(6) = 0., 5)

Giải

Ta có :

y’ =  2

)2x(

4

Tới đây ta có thể lựa chọn một trong hai cách :

Cách 1 : Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến códạng

(d) : y = y’(x0)(xx0) + y(x0)

 (d) : y =  2

0 2)x(

4

 (xx0) +

2x

2x

4

 (6) = 0.x0) +

2x

2x

0

0



  4 2

Vậy, qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tiếp xúc với đồ thị

Cách 2 : Phơng trình tiếp tuyến đi qua A(6) = 0., 5) có dạng

(

4

5 ) 6) = 0.

x ( k 2 x

4 1

x

4

1

2

5 k 8 2 x 2

x 1

k 2

1 k 2 2 x

VÝ dô 5: Cho hµm sè :

y =

1x

2x

1

 Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(1, 0) cã d¹ng :

1 1

) 1 x ( k 1 x 1 1

k 2 1 x 1 ) 1 x ( 1 x 1 1 x

1

k 1

x 1

Vậy qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến (d1), (d2) tới đồ thị và vì k1.k2 = 1 nênhai tiếp tuyến này vuông góc với nhau.

Ví dụ 6: Cho hàm số :

y =

1x

x

 Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đồ thị của hàm số đi quagiao điểm I của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải

Đồ thị hàm số có :

- Tiệm cận đứng x = 1 vì xlim1y

- Tiệm cận ngang y = 1 vì xlimy = 1

- Toạ độ giao điểm I của hai tiệm cận là I(1, 1)

Phơng trình tiếp tuyến đi qua I(1, 1) có dạng

1 x

(

1

1 ) 1 x ( k 1 x

1 1

1 x ( 1

1 1 x 1 1

x 1 1

mmx

2

 Phơng trình đờng thẳng đi qua A(0, 1) có dạng :

2 2

1 kx 1 x 2 2 m x

1 k ) 1 x ( ) 1 x ( 2 2

1 x 2 2 m x

2

2

2

4 1

x

2

 22

2 4 k m 1

1x

1a

2 0

)1x(

x2x



(xx0) +

1x

1xx

0 0

2 0

2 0

)1x(

x2x



(ax0) +

1x

1xx

0 0

2 0

|

2

|x

|2

| x

|

2

| x

| 2 x

) 3 x ( k 1

| x

|

2

| x

| 2 x

, 2

x

1 x 2 x

) 3 x ( k 1

x

2 x 2 x

' 2

Trờng hợp 2 : Nếu x < 0, hệ (I) có dạng :

x

1 x 2 x

) 3 x ( k 1

x 2 x 2 x

' 2

8

17 1 k

1 x

ln

) 2 ( 1 ) 2 x ( k x ln

x

Thay (3) vào (2) ta đợc :

xlnx = (lnx + 1)(x2) + 1  x2lnx1 = 0 (4)

Số nghiệm phân biệt của phơng trình (4) bằng số tiếp tuyến của đồ thị hàm

số đi qua điểm A

Ta có, số nghiệm của phơng trình (4) là số giao điểm của đồ thị hàm số y

= x2lnx1 với trục hoành

lim y = 

 0 x

 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt

Vậy, qua A có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Chú ý Rất nhiều học sinh cho rằng x = 1 là nghiệm duy nhất của phơng trình

(4) và kết luận rằng qua A có thể kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thịhàm số

Vấn đề 4: Tìm điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại

điểm đó thoả mãn điều kiện cho trớc

Với yêu cầu " Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C) : y = f(x) sao cho tiếp

tuyến tại M thoả mãn tính chất K ", ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Xét hàm số, suy ra đạo hàm y' = f'(x)

Bớc 2: Điểm M  (C)  M(a, f(a))

Bớc 3: Phơng trình tiếp tuyến tại M có dạng :

(d) : y = f'(a)(xa) + f(a)

Bớc 4: Sử dụng điều kiện K, ta xác định đợc a

Bớc 5: Kết luận về tiếp tuyến

Ví dụ 1: Cho hàm số :

(C) : y =

1x

2x

a 2 a





Tiếp tuyến (d) vuông góc với tiệm cận xiên



2 2

)1a

(

a2a

Ví dụ 2: Cho hàm số :

(C) : y = x + 1 +

1x

1

 Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyếntại điểm đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

Giải

Ta có :

y' = 1 2

)1x(

lim (yx1) = 0

 Toạ độ giao điểm I của hai tiệm cận là I(1, 2)

Điểm M(a, y(a))(C) với a > 1, khi đó phơng trình tiếp tuyến tại M códạng :

(d) : y = y'(a)(xa) + y(a)  (d) : y =

2 2 ) 1 a (

a 2 a



(xa) +

1a

 A(1,

1a

a2

1

a

(

a 2

2  





 a 2 y

1 a 2 x

 B(2a1, 2a)

Ta có :

AI = xAxI = 

1a

a2

 2 =

|1a

(

2 

Suy ra CVmin = 442 + 2 2( 2  1), đạt đợc khi :

AI = BI 

|1a

1

 Tìm các cặp điểm trên đồ thị (C) mà các tiếp tuyến tại đó song song vớinhau

Giải

Ta có :

y' = 1 2

)1x(

1

A, B là hai điểm khác nhau thuộc đồ thị có hoành độ tơng ứng là a, b 1, khi

đó hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B tơng ứng là :

kA = y' (a) =

2 2 ) 1 a (

a 2 a



, kB = y' (b) =

2 2 ) 1 b (

b 2 b





Hai tiếp tuyến tại A, B song song với nhau

 kA = kB 

2 2 ) 1 a (

a 2 a



 =

2 2 ) 1 b (

b 2 b





 b = 2a

Vầy, các cặp điểm A(a, y(a)) và B(2a, y(2a)) trên đồ thị (C)

có các tiếp tuyến tại đó song song với nhau

Chú ý : Nếu gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (I là giao điểm hai đờng

tiệm cận ) thì I(1, 1), ta thấy rằng A, B đối xứng qua I

Vấn đề 5: Tìm điểm kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị

Cho hàm số :

(C) : y = f(x)

Với yêu cầu " Tìm điểm A thoả mãn tính chất K để từ đó kẻ đợc k tiếp

tuyến tới đồ thị (C) ", ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Tìm điểm A thoả mãn tính chất K, giả sử A(x0, y0)

Bớc 2: Phơng trình đờng thẳng đi qua A(x0, y0) với hệ số góc k có dạng :

) x ( ' f

) 1 ( y ) x x ( k ) x

Do đó để từ A kẻ đợc k tiếp tuyến tới đồ thị (C)

 (3) có k nghiệm phân biệt  điểm A (nếu có)

Xét điểm A(a, a3 + 3a22) thuộc đồ thị hàm số

Tiếp tuyến qua A tiếp xúc với đồ thị hàm số tại M(x0, y(x0)) có dạng (d) : y = (3 2

ax

Các điểm thuộc đờng thẳng y = 2 có dạng A(a, 2)

Đờng thẳng (d) đi qua A(a, 2) với hệ số góc k có phơng trình

3 x

3

) 1 ( 2 ) a x ( k x 3 x

2

3

Thay (2) vào (1) ta đợc :

x33x = (3x23)(xa) + 2  (x + 1)[2x2(3a + 2)x + 3a + 2] =0

g

0 1 x

0 ) 2 a 3 ( 8 ) 2 a 3

2 a

2 a

2 a

(4)Vậy, những điểm A(a, 2) trên đờng thẳng y = 2 có a thoả mãn hệ (4) từ đó

kẻ đợc ba tiếp tuyến tới đồ thị

Ví dụ 3: Cho hàm số:

y = x42x21

Tìm những điểm trên trục tung mà từ đó kẻ đợc ba tiếp tuyến tới đồ thị

Giải

Các điểm thuộc Oy có dạng A(0, b)

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau :

Cách 1 : Đờng thẳng (d) đi qua A với hệ số góc k có phơng trình

x 4 x

4

) 1 ( b kx 1 x 2 x

3

2 4

0 P

0 '

 b = 1

Vậy, qua A(0, 1) kẻ đợc ba tiếp tuyến tới đồ thị

Cách 2 : Với nhận xét, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, do vậy một

đờng thẳng (d1) với hệ số góc k qua A tiếp xúc với (C) thì đờng thẳng (d2) qua

A với hệ số góc k cũng tiếp xúc với (C)

Vì vậy, để qua A kẻ đợc ba tiếp tuyến tới đồ thị (C) thì tiếp tuyến với hệ sốgóc bằng 0 (tiếp tuyến song song với Ox) cũng qua A  A là giao điểm củatiếp tuyến của (C) song song với Ox

Đồ thị (C) có hai tiếp tuyến song song với Ox là :

1 kx 1 x 2 x

3 2 4

4

1 x ) x 4 x 4 ( 1 x 2 x

3

3 2

4 k

0 k

, thoả mãn có 3 tiếp tuyến

Vậy, qua A(0, 1) kẻ đợc ba tiếp tuyến tới đồ thị

Các điểm thuộc đờng thẳng x = 2 có dạng A(2, b)

Đờng thẳng (d) đi qua A(2, b) có phơng trình

9 x 12 x

3

) 1 ( b ) 2 x ( k 1 x 9 x 6) = 0.

x

2

2 3

Thay (2) vào (1) ta đợc

x36) = 0.x2 + 9x1 = (3x212x + 9)(x2) + b

 b = 2x3 + 12x224x + 17

(3)

Số tiếp tuyến kẻ đợc từ A tới đồ thị là số nghiệm của phơng trình (3)

 số giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x3 + 12x224x + 17 và

Suy ra, đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = b tại một điểm duy nhất

 Từ A kẻ đợc duy nhất một tiếp tuyến tới đồ thị hàm số

Với yêu cầu " Tìm điểm A thoả mãn tính chất K để từ đó kẻ đợc k tiếp

tuyến tới đồ thị (C) ", ta thực hiện theo các bớc sau :

Bớc 1: Tìm điểm A thoả mãn tính chất K, giả sử A(x0, y0)

Bớc 2: Phơng trình đờng thẳng đi qua A(x0, y0) với hệ số góc k có dạng :

(d) : y = kx + m

Bớc 3: Đờng thẳng (d) là tiếp tuyến của đồ thị (C) khi hệ sau có

nghiệm :

) e dx ( d

) 1 ( m kx e dx x

d

1

 =

d2

)m(deke

Thay (4) vào (2), đợc :

Bớc 4: Khi đó :

a Để qua A không kẻ đợc tiếp tuyến tới đồ thị

 (5) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất thoả mãnbiểu thứcke+e+ d(m) = 0 (do VT của(4))

b Để qua A kẻ đợc đúng một tiếp tuyến tới đồ thị

 (5) có nghiệm duy nhất thoả mãn biểu thức

ke + e + d(m)  0

c Để qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới đồ thị

 (5) có hai nghiệm thoả mãn biểu thức

ke + e + d(m)  0

d Để qua A kẻ đợc hai tiếp tuyến thoả mãn tính chất K tới (C)

 (5) có hai nghiệm thoả mãn K và biểu thức

ke + e + d(m)  0

Ví dụ 5: Cho hàm số :

y =

1x

1x





.Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ kẻ đợc đúng một tiếptuyến tới đồ thị hàm số

Giải

Các điểm thuộc Oy có dạng A(0, b)

Phơng trình đờng thẳng đi qua A(0, b) có dạng :

1 x

(

2

b kx 1 x

2 1

b k ) 1 x ( k 1 x 2 1

2