Ứng dụng đạo hàm giải các bài toán liên quan

Tổng hợp các dạng bài tập Ứng dụng đạo hàm: khảo sát hàm số và bài toán liên quan; tìm GTLN, GTNN; giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ....

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ :

1 Định lí :

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

2 Mở rộng :

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I

3 Chú ý :

a) Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó

b) Ta thấy việc xét chiều biến thiên của một hàm số có đạo hàm có thể chuyển về xét dấu đạo hàm của nó

c) Đối với hàm nhất biến y ax b

 phải kết luận hàm tăng trong từng khoảng xác định ;1 và 1; 

Nếu kết luận hàm tăng trong tập xác định D   ;1  1; thì chưa chính xác Ví dụ như 

Vậy m 1

b) Trước hết hàm số phải xác định trên 0, , điều kiện là  m 0 (phương trình xm vô nghiệm trên 0 0, ) 

Do đó hàm số đồng biến trên 0, khi và chỉ khi 

m m m m m

 Lưu ý : Nhiều trường hợp khi thực hiện bài toán trên mắc một số sai lầm:

1 Ở câu a) nhận cả nghiệm m   , bởi thiết lập điều kiện 1 1m2 0 mà quên mất “dấu bằng chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm”

2 Ở câu b) thiếu mất điều kiện hàm số xác định trên 0,

4 Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c:

 Định lí

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

5 So sánh các số  , với các nghiệm của tam thức bậc hai :

 Cho f x ax2bxc a,  Gọi 0 x x x1, 2 1x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai, S b,P c

S

3 1 2  0 0

02

1 Nếu số  nằm trong khoảng giữa hai nghiệm thì không cần điều kiện của 

2 Trường hợp số  nằm ngoài khoảng giữa hai nghiệm thì có thêm điều kiện của ,

3

+

30

g(x)g'(x)x

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện (1) tương đương với 12

7

a 

 Nhận xét :

1 Việc giải quyết bất phương trình y'  0, x 0,3 ta có thể dùng cách so sánh nghiệm tam thức bậc hai với hai số,

nhưng trong trường hợp này ta có nhận xét :

Ở (*) do 2x 1 0,  x 0, 3nên y'  0, x  0,3 ta có thể chuyển về dạng h a g x  do đó có hướng giải khác

là Phương pháp đồ thị : xét hàm phụ g(x) và dựa vào bảng biến thiên để giải bất phương trình Hướng giải này đơn

giản hơn về điều kiện

2 Nếu yêu cầu bài toán là “Xác định a để hàm số đồng biến trên 0,3 ” thì kết quả là  a  3

2 2

6+3

23

+



2xg'(x)g(x)

Điều kiện để hàm số đồng biến trên 1,  :  m 1( phương trình xm vô nghiệm trên 0 1,  , đôi khi các em 

thường quên bước kiểm tra này)

 Hàm này đồng biến trên 1,  

 Nếu m 1 Tam thức bậc hai có hai nghiệm x x1, 2 Ta có bảng xét dấu

Ta thấy khoảng 1,  chỉ có thể nằng trong 1 vùng duy nhất nên ta có nhận xét:

   



1 2 2

Kết luận : Xét chung cả hai trường hợp ta có kết quả m  3 2 2

 Nhận xét : ở (1) ta không thể đưa về dạng h m g x  nên ta không áp dụng Phương pháp đồ thị như ở Ví dụ trên

 Ví dụ : Với giá trị nào của a thì hàm số

3 3 1 2 3 2 1

y x  a x  a a x đồng biến trên   và 2, 1  1,2 ?

a-2 a

00

(1,2) (2,1)

x g(x)

00

00

00

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

     

Đáp số : m   1

Bài 4: Xác định m để hàm số

2 6 22

Nếu m2 8m0 thì điều kiện (*) được nghiệm đúng

Nếu m2 8m0 thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x x1, 2 Khi đó yêu cầu bài toán tương đương với

 xác định trên 1,  nên có điều kiện (1) 

b) 2 x  thay đổi dấu trong 8 1,  nên cách dùng bảng biến thiên của hàm phụ trở nên dài dòng, phức tạp hơn) 

Trường hợp 2 : m 0: y ' 0 có hai nghiệm x1 m 2

Bài toán 2 : Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

 Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghiệm x0 của phương trình

 Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2) Ta cần chứng

minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành

độ x0 Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*)

Chú ý : Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng

 Chuyển phương trình về dạng f u f v   1 (cùng công thức nhưng khác ẩn) Xét hàm số y  f x  Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu

 Hàm số nghịch biến trên D Do đó phương trình f x   0 có nghiệm thì đó là duy nhất

Ta thấy f 0  nên 0 x  có nghiệm là duy nhất 0

Do đó phương trình f x g x  có nghiệm thì đó là duy nhất

Với x = 0 ta thấy : 1     , đúng nên 1 0 0 0 0 x  là nghiệm duy nhất của phương trình 0

11

x x

y y

Bài 9: Giải các phương trình sau:

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Các qui tắc tính cực trị :

Qui tắc 1: Dùng định lí 1

 Tìm f (x)

 Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2

 Tính f (x)

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …)

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …)

Nếu f (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

2 Điều kiện để hàm số có cực trị :

Phương pháp chung :

 Bước 1 : Tìm miền xác định D và tính đạo hàm y’

 Bước 2 : Chọn một trong các hướng :

 Hướng 1 : Nếu xét được dấu của y’ thì lập luận :

Hàm số có k cực trị  phương trình y ' 0 có k nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các nghiệm đó

 Hướng 2 : Nếu không xét dấu được y’ hoặc bài toán yêu cầu cụ thể về cực đại (cực tiểu) :

 Đối với hàm đa thức

 Hàm số đạt cực tiểu tại x0 điều kiện là  

 

0 0 0

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et

3 Các dạng toán đối với hàm bậc 3 :

Bài toán 1 : Đường thẳng qua hai điểm cực trị

Hàm số bậc ba y f x( )ax3bx2 cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B

 Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

( )( )

y  f x  Ax B

 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B

 Ví dụ : Cho hàm số y x3m3x2 3x  Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó viết phương trình 4

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

Giải

Tập xác định : D = R

Đạo hàm y'3x22m3x 3

 Ví dụ : Cho hàm số y x33mx2 3m21xm3 Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị có phương không thay đổi

Hướng dẫn :

y  x  mx m      nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu m

Chia y cho y’ ta được : ' 2

y   y  xm



  Hoành độ các điểm cực trị thỏa phương trình y ' 0 nên phương trình

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là y  2xm Đường thẳng có hệ số góc k  2 không thay đổi, do đó nó có phương không thay đổi

 Ví dụ : Cho hàm số y 2x3 3m1x26m2x Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho đường thẳng 1

đi qua hai điểm cực trị song song với 4x  y 7 0

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi   ' 0 m  3

Phương trình đường thẳng qua hia điểm cực trị là

 Ví dụ : Cho hàm số y x33x2 m x2 m Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho hai điểm cực trị đối xứng

nhau qua đường thẳng d x: 2y 5 0

Nhận xét : Hai cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng d khi và chỉ khi d là trung trực của đường thẳng qua hai cực trị khi

đó d qua điểm uốn I và vuông góc với đường thẳng qua hai cực trị

Hướng dẫn

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi    ' 0 3 m  3

Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị

Tọa độ điểm uốn I1;m2m 2

Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua d x: 2y 5 0 khi và chỉ khi d’ qua I và vuông góc d

Bài 14: Tìm m để hàm số:

a) y 2x33(m1)x2 6(m2)x1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y 2x33(m1)x2 6 (1m 2 )m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x3 mx2 7x3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x3 3x2m x2 m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (): 1 5

y  x

Bài 15: Xác định m để hàm số :

a) y 2x33m3x2 113m có cực đại và cực tiểu và sao cho hai điểm cực trị thẳng hàng với điểm B(0,1)

b) y   x3 mx2 có cực đại và cực tiểu và sao cho hai điểm cực trị thẳng hàng với điểm M(1,10) 4

Đáp số : m  3 7

Bài toán 2 : Điều kiện để hàm số có cực trị

 Hàm số bậc ba y ax3 bx2cx có cực trị khi và chỉ khi : d

Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Viet



(Không nhất thiết phải giải điều kiện (*))

Để tìm điều kiện sao cho x12x2 1 ta xét hệ phương trình

m m

 



 

 thỏa điều kiện (*)

 Ví dụ : Tìm m để hàm số y 2x33m1x26mx đạt cực đại, cực tiểu sao cho các giá trị cực trị là cùng dấu 2

m m m

1 2 0 0

y y  m (vì 3m23m 1 0,  ) m Kết hợp điều kiện (*) ta có m > 1

Nhận xét : Việc tìm giá trị cực trị và xét dấu y y1 2 trong nhiều trường hợp rất khó khăn Do đó đối với dạng toán này ta còn cách khác Cách này dựa vào nhận xét sau:

m m m

2

2 4

3



g(x) g'(x) x

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy phương trình y = 0 có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m  0

Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  1

 Ví dụ : Cho hàm số y 2x33 2 m1x26m m 1x Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu và giá trị cực 1

y  x mx  x m Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Xác định m sao cho khảng cách giữa hai cực trị là lớn nhất

Giải

Do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Giả sử hoành độ các điểm cực trị là x x1, 2

Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là :

Xảy ra dấu “=” khi và chỉ khi m = 0

Nhận xét : ta dùng đường thẳng qua hai cực trị để tìm y1,2, cách này đơn giản hơn so với việc tìm y1,2 bằng cách thay x1,2

vào hàm ban đầu,

Ví dụ : Cho hàm số y x3 1 2m x 22m x m Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ 2

điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

Hướng dẫn giải

Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi

có ba nghiệm phân biệt

Điều này tương đương với 1 2

4

c) Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là :

3

21

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi m 0

Phương trình đường thẳng qua hai cực trị

Tọa độ điểm uốn I1, 2 

O cách đều hai điểm cực trị khi và chỉ khi O nằm trên đường trung trực của đường thẳng nối hai cực trị, phương trình đường trung trực này là 12 1 2

i) Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi m  0

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

y  m  xmTích các giá trị cực trị là: 2 2 

Bài 17: Cho hàm số y x3 3mx2 3m21x m33m Chứng minh rằng hàm số luôn có cực đại và cực tiểu đồng thời khi

m thay đổi các điểm cực trị luôn chạy trên hai đường thẳng cố định

Hướng dẫn : Hàm số đạt : Cực đại tại x   m 1,y CD 2

Cực tiểu x   m 1,y CT  2

Bài 18: Cho hàm số y x33x29x2

1 Lập phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

2 Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số :

a) Đối xứng nhau qua đường thẳng :xmy13m 1 0

b) Ở hai phía khác nhau đối với đường tròn (trong và ngoài)

a) Để hai điểm cực trị A, B đối xứng nhau qua đường thẳng  thì điều kiện là : d   và trung điểm I của AB

(điểm uốn) thuộc  Đáp số : m = 8

y  x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1x2  8

y  mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x12x2 1

Bài 20: Tìm m để đồ thị hàm số : y   x3 mx24 có hai điểm cực trị là A, B và

2

2 900729

m

Bài 21: Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y 2x3mx2 12x13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung

b) y x33mx2 4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x33mx2 4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x2y 8 0

4 Các dạng toán đối với hàm bậc 4 trùng phương :

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' 0 có 3 nghiệm phân biệt

 Ví dụ : Cho hàm số y x42mx2 m3m2 Xác định m để hàm số có 3 cực trị và các cực trị lập thành một tam giác

đều

a) y mx4m3x2 3m có ba điểm cực trị có hoành độ nằm trong khoảng 2, 2

b) y x42m x2 2 1 có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác vuông cân

c) y x42mx2 có ba điểm cực trị là ba đỉnh một tam giác nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp 3

24

y  x  mx m có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị lập thành một tam giác có diện tích bằng 32 2

24

y  x  mx m có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị này nội tiếp trong một đường tròn có bán kính bằng

(Điều kiện m 0) Tam giác ABC cân tại A Do đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp khi và chỉ khi

Bán kính đường tròn ngoại tiếp cho bởi định lí hàm sin là :

a) Hàm có có cực đại, cực tiểu với tổng bình phương các hoành độ bằng 27

b) Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ không âm

c) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

y  x  x  m x  m x m có cực đại, cực tiểu lập thành cấp số nhân

Đáp số : Không có giá trị m thỏa điều kiện

5 Cực trị hàm hữu tỉ

Hàm số phân thức

2

( )( )

P x y

 có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm trong góc phần

tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ

 có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung)

6 Bài tập nâng cao về khảo sát hàm số

Bài 33: Cho hàm số y x33x23mx 1 m Với giá trị nào của m thì hàm số cực đại, cực tiểu tại x x Gọi 1, 2 y y lần lượt 1, 2

là các giá trị cực trị tương ứng Chứng minh rằng :

Bài 34: Cho hàm số  C :y x32x2  Gọi d là đường thẳng y x mx Xác định m để d và (C) cắt nhau tại ba điểm phân

biệt O, M, N trong đó O là gốc tọa độ sao cho điểm cực tiểu của (C) nhìn đoạn MN dưới một góc vuông

Bài 35: Cho hàm số y x32m1x2 3m1xm Với giá trị nào của m thì đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân 1

biệt hoặc trùng nhau sao cho hoành độ của ba điểm đó có tổng bình phương là nhỏ nhất

Bài 36: Cho hàm số y x33x22 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1,0) Chứng minh rằng không có

tiếp tuyến nào song song với nó

Bài 37: Cho hàm số 2x33 2 a1x2 6a a 1x Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn luôn có cực đại, cực tiểu Xác 1

định a để giá trị cực đại lớn hơn 1

Bài 38: Cho hàm số y 2x33m3x218mx Xác định m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành 8

Bài 39: Cho hàm số y   x3 3m1x23m2 7m1xm21 Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành

độ nhỏ hơn 1

Bài 40: Cho hàm số y x46x24x6

a) Chứng minh rằng đồ thị có 3 cực trị phân biệt

b) Viết phương trình  P :y ax2bx  đi qua ba điểm cực trị c

Hướng dẫn :

34 Đạo hàm : y'3x26x3m Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chì khi   ' 1 m 0 m Phương trình 1đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :y 2m1x 1

Vậy y1 2m1x11; y2 2m1x2  1

Ngoài ra x x1 2 m Từ đó ta có điều cần chứng minh

35 Hoành độ giao điểm của (C) và d là nghiệm phương trình :