Tất cả các dạng Tích phân ôn thi đại học

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP ÔN THI ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG z =0.8 A B C a uv F Gò Công Tây, năm 2014 to my family, my pippy and my friends (ˆ .ˆ ) 2 nd −L A T E X−2014 01.1 TÍCH PHÂN VÀỨNG DỤNG Copyright © 2014 by Nguyễn Hồng Điệp LỜI MỞ ĐẦU Xin bắt đầu bằng một chuyện vui toán học “Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam, các học sinh cũ quây quần bên thầy giáo dạy Toán. Gặp lại học trò cũ, thầy hồ hởi: – Thầy rất mừng là các em đều đã thành đạt trong cuộc sống. Trong các thứ thầy dạy, có cái gì sau này các em dùng được không ? Tất cả học sinh đều im lặng. Một lúc sau, có một học sinh rụt rè nói: – Thưa thầy, có một lần em đi bộ ở bờ hồ thì gió thổi bay mũ em xuống nước. Em loay hoay mãi không biết làm thế nào để vớt mũ lên. Bỗng nhiên em thấy đoạn dây thép và nhớ lại các bài giảng của thầy. Em lấy dây thép uốn thành dấu tích phân rồi dùng nó kéo mũ lên. – Thầy: ?!?!?!” Chuyện vui nhưng cũng có vấn đề để suy nhẫm. Tích phân có ứng dụng gì? Chỉ cần chịu khó lên google là có kha khá kết quả (ˆ .ˆ ), nhưng học tích phân chỉ để lấy 1 điểm trong kì thi tuyển sinh thì đó là đích hướng tới của đại đa số học sinh. Trong các năm gần đây thì điểm số phần tích phân không còn là vấn đề quá khó khăn. Hy vọng tài liệu nhỏ này giúp ích được cho ai đó. Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 06 tháng 08 năm 2014 1 —Nguyễn Hồng Điệp. 1 Còn vài ngày nữa là đại lễ Vu Lan năm Giáp Ngọ. Mục lục LỜI MỞ ĐẦU iii MỤC LỤC iv I TÍCH PHÂN 1 1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.3 Dạng phân thức 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . 37 7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 iv 8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 9 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 75 1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.1 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.1 Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 III BÀI TẬP TỔNG HỢP 81 1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 © Nguyễn Hồng Điệp v I TÍCH PHÂN 1. CÁC CÔNG THỨC Chương I. TÍCH PHÂN 1 Các công thức 1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng  0d x =C  d x = x +C  x α d x = x α+1 α+1 +C  (ax +b) α d x = 1 a x α+1 α+1 +C  1 x d x =ln | x | +C  1 ax+b d x = 1 a ln | ax +b | +C  e x d x =e x +C  e ax+b d x = 1 a e ax+b +C  a x d x = a x ln a +C  u  a u d x = a u lna +c  cos xd x =sin x +C  cos(ax +b)d x = 1 a sin(ax +b) +C  sin xd x =−cosx +C  sin(ax +b)d x =− 1 a cos(ax +b) +C)  1 cos 2 x d x =tan x +C  1 cos 2 ax d x =tan(ax) +C  1 sin 2 x d x =−cotx +C  1 sin 2 ax d x =−cot(ax) +C 1.2 Tích phân xác định Định nghĩa Cho y = f (x) là một hàm số liên tục trên [a,b] và y = F (x) là một nguyên hàm của nó. Tích phân xác định từ a đến b được định nghĩa và kí hiệu như sau: b  a f (x)d x =F (b) −F(a) Tính chất • 0  0 f (x)d x =0, a  a f (x)d x =0 • b  a k f (x)d x =k b  a f (x)d x • b  a f (x)d x = − a  b f (x)d x 2 © Nguyễn Hồng Điệp Chương I. TÍCH PHÂN 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH • b  a  f (x)±g (x)  d x = b  a f (x)d x ± b  a g (x)dx • b  a f (x)d x = c  a f (x)d x + b  c f (x)d x • Nếu f (x) ≥0 trên [a;b] thì b  a f (x)d x ≥0 • Nếu f (x) ≥ g (x) trên [a;b] thì b  a f (x)d x ≥ b  a g (x)dx 2 Phương pháp phân tích Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau: (a) I 1 = 2  1 x 2 −2x x 3 d x (b) I 2 = 3  1 (x 2 −1) 2 x d x (c) I 3 = 1  0 e x +1 e 2x d x (d) I 4 = 1  0   e x −1  2 d x (e) I 5 = 2  0 6x −3 x 2 −x +5 d x Giải (a) Ta có: I 1 = 2  1  1 x − 2 x 2  d x =  ln|x|+ 2 x      2 1 =ln2 −1. (b) Ta có: I 2 = 3  1 x 4 +2x 2 +1 x d x = 3  1  x 3 +2x + 1 x  d x =  1 4 x 4 +x 2 +ln|x|      3 1 =28 +ln3. (c) Ta có: I 3 = 1  0  1 e x + 1 e 2x  d x = 1  0  e −x +e −2x  d x =  −e −x − 1 2 e −2x      1 0 = 3 2 − 1 e − 1 2e 2 . (d) Ta có: I 4 = 1  0  e x −2  e x +1  d x = 1  0  e x −2e x 2 +1  d x  e x −4e x 2 +x     1 0 =e −4  e +4. (e) Ta có: I 5 =3 2  0 2x −1 x 2 −x +5 d x =3  ln|x 2 −x +5|    2 0 (dạng  u  u d x) =3ln 7 5 © Nguyễn Hồng Điệp 3 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Chương I. TÍCH PHÂN Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau: (a) I 1 = 1  0 x(1 −x) 2004 d x (b)I 2 = 1  0 1  x −2 −  x −3 d x Giải (a) Ta có: I 1 = 1  0 [(x −1)+1](x −1) 2004 d x = 1  0 [(x −1) 2005 +(x −1) 2004 ]dx = 1  0 (x −1) 2005 d x + 1  0 (x −1) 2004 d x =  (x −1) 2006 2006 − (x −1) 2005 2005      1 0 =− 1 4022030 . (b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu. Ta có: I 2 = 1  0   x −1 −  x  d x = 2 3  (x +1) 3 2 −x 3 2     4 3 = 4 3 (  2 −1)  Bài toán tương tự 1. 4  3 1  x +2 −  x −3 d x. Đáp số: 2 15 (6  6 −5  5 +1). 2. π 2  − π 2 sin7x sin2x d x. Đáp số: 4 45 . 3. π 2  π 6 1 +sin 2x +cos2x sin x +cos x d x. Đáp số: 1. 4. π 4  0 sin 2  π 4 −x  d x. Đáp số: π−2 8 . 5. π 2  0 sin 4 x d x. Đáp số: 3π 16 6. π 4  0 tan 2 x d x. Đáp số: 1 − π 4 . 7. π 2  0 tan 3 x d x. Đáp số: 3 2 −ln2. 4 © Nguyễn Hồng Điệp Chương I. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX 8. 16  0 1  x +9 −  x d x. Đáp số: 12. 9. 5  2 1  x +2 +  x −2 d x. Đáp số: 10. 1  0  e 2x + 3 x +1  d x. Đáp số: e 2 2 +3ln2− 1 2 11. 1  0 x x +  x 2 +1 d x. Đáp số: − 2 3 + 2 3  2 3 Tích phânchứa trị tuyệt đối, min, max 1. Tính I = b  a |f (x)|dx ta xét dấu f (x) trên [a,b] để khử dấu giá trị tuyệt đối. 2. Tính I = b  a max[f (x), g (x)]dx, I = b  a min[f (x), g (x)]dx ta xét dấu hàm h(x) = f (x) −g (x) trên [a,b] để tìm min[f (x), g (x)], max[f (x), g(x)]. Ví dụ 3.1. Tính I = 2  0 |x 2 −x|d x Giải Cho x 2 −x =0 ⇔x =0 ∨ x =1 Bảng xét dấu x x 2 +x 0 1 2 0 − 0 + Khi đó: I = 1  0 (−x 2 +x) d x + 2  1 (x 2 −x) d x =1 Ví dụ 3.2. Tính I = 2π  0  1 +sin x dx © Nguyễn Hồng Điệp 5 [...]... π 12 Chương I TÍCH PHÂN 6 6 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Tích phân hàm hữu tỉ 6.1 Tích phân chứa nhị thức 1 d x ta đổi biến t = ax + b (ax + b)n Dạng I = 6.2 Tích phân chứa tam thức Dạng 1 I= 1 ∆ > 0 2 ∆ = 0 Khi đó: I = 3 ∆ < 0 Khi đó: I = d x , xét các trường hợp của ∆ = b 2 − 4ac 1 dx a(x − x 1 )(x − x 2 ) Khi đó: I = = 1 ax 2 + bx + c 1 a(x 1 − x 2 ) 1 1 − dx x − x1 x − x2 1 a 1 d x (tích phân hàm chứa... A   ⇔ B =4   C =1 =3 =5 = −4 Dạng tổng quát Để tính bài toán tích phân có dạng phân thức 4 I = 1 Xét xem f (x) d x ta thực hiện theo các bước: g (x) f (x) đã là phân thức thực sự chưa Cụ thể: g (x) (a) Nếu bậc f (x) nhỏ hơn bậc của g (x) ta đã có phân thức thực sự 4 Ta chỉ xét trường hợp mẫu có nghiệm © Nguyễn Hồng Điệp 25 6 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Chương I TÍCH PHÂN (b) Nếu bậc của f (x) lớn hơn... 5 6 © Nguyễn Hồng Điệp dx Chương I TÍCH PHÂN 6.3 6 TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ Dạng tổng quát Phân tích phân thức Cho f (x) là đa thức bậc bé hơn n khi đó ta có phân tích f (x) A1 A2 A n+1 = + +···+ (x − a)n (x − a)n (x − a)n−1 a−a A A1 A1 A2 A m+1 f (x) = + +··· + + · · · + n+1 • (x − a)m (x − b)n (x − a)m (x − a)m−1 x − a (x − b)n x −b Ta qui đồng, khử mẫu và xác định các hệ số A i bằng phương pháp đồng... PHÂN (b) Nếu bậc của f (x) lớn hơn hoặc bằng bậc của g (x) ta chia f (x) cho g (x) để làm xuất hiện phân thức thật sự 2 Căn cứ vào dạng tích của mẫu thức mà ta phân tích thành tổng các phân thức đơn giản Ví dụ 6.4 Tính I = 34 x 2 − 4x x 3 − 4x 2 + 5x − 2 Giải x 2 − 4x Ta có: 3 là phân thức thật sự Cách phân tích đã xét trong Ví dụ 6.3 trang x − 4x 2 + 5x − 2 62 4 3 5 4 + − dx 2 (x − 1) x −1 x −2 Khi đó:... π 6 (i) (b) 1 dx 4x 2 − 24x + 36 4 (g) −1 1 dx 2 + 5x + 2 2x sin x − 6 sin x + 2 dx dx Dạng 2 Tích phân có dạng I = mx + n d x ta phân tích ax 2 + bx + c mx + n = A(ax 2 + bx + c) + B từ đó ta đưa được về các dạng tích phân biết cách giải 3 Ví dụ 6.2 Tính I = 4 2x + 3 x 2 − 3x + 2 dx Giải Phân tích: 2x + 3 = A(2x − 3) + B = 2Ax − 3A + B Đồng nhất hệ số hai vế ta được: 2A −3A + B 3 Khi đó: I = 4 3 •... 2 1 − x5 d x x + x6 © Nguyễn Hồng Điệp Chương I TÍCH PHÂN 1 6 0 1 7 0 1 8 0 7 7.1 7 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC x4 d x x 4 − 16 1 Đáp số:1 − 2 ln 3 − arctan 1 2 19 2 16 x + x + 1 d x (x 2 + 4)(x 2 + 2x + 5) 1 52 7π Đáp số: 4 ln 25 − 34 arctan 1 128 32 2 x2 − 1 d x x4 + 1 Đáp số: 1 ln 2− 2 2 2 2+ 2 Tích phân hàm lượng giác Các công thức lượng giác (a) Công thức cộng sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos... (x + 1) 2 và mẫu số chung của các số mũ nên ta đổi biến x + 1 = t 6 1 1 , là 6 3 2 Bài toán tương tự 729 1 1 3 64 3 3 2 2 x− x dx x −1 1 · d x x +1 x +1 Hướng dẫn: đặt x+1 x−1 = t 3 và kết hợp phương pháp giải mục 5.3 trang 19 © Nguyễn Hồng Điệp 11 4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I TÍCH PHÂN Dạng phân thức 1 4.3 Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng f (x) nói chung g (x) trong... ) d t −π 6 cos2 t d t = π + 3 −π 6 Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặt t = 4 − x 2 thì sẽ gặp khó khăn do: 1 Từ t 2 = 4 − x 2 ⇒ t d t = −xd x nhưng dưới dấu tích phân chỉ có d x nếu làm xuất hiện vi phân xd x thì ta phải chia cho x Trong khi đó cận tích phân từ −1 đến 3 có chứa x = 0 khi đó phép chia không hợp lệ 2 Khi đổi sang biến t cần tính t theo x lại xuất hiện dấu... không thích hợp Bài toán tương tự 3 2 1 1 3 9 − x2 0 d x Đáp số: 1 9 3 1 3 Đáp số: d x Đáp số: π − 1 8 4 1 − x2 d x 2 3π 16 0 2 2 3 x2 1 − x2 0 1 4 x2 + 1 4 − x2 0 1 5 Đáp số: π − 2 d x 1 − x2 d x x2 3 2 Đáp số: 1 − π 4 2 2 2 6 0 x2 4 − x2 Đáp số: π − 1 2 d x Dạng tổng quát Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng này ta đặt 16 a 2 − b 2 x 2 , a > 0, với bài tập có dạng © Nguyễn Hồng Điệp Chương I TÍCH PHÂN... t −2 t +2 1 1 5 = (ln |t − 2| − ln |t + 2|)|4 = · ln 3 4 4 3 Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân xd x ta thấy hàm ban đầu chưa có kết quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x Sau đó ta cần chuyển x 2 theo biến t thì phép đổi biến mới thành công 10 © Nguyễn Hồng Điệp Chương I TÍCH PHÂN 4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Bài toán tương tự ln 8 1 1 1 + ex ln . x =2  −cos x 2 +sin x 2     3π 2 0 +2  cos x 2 −sin x 2     2π 3π 2 =4ln2. Ví dụ 3.3. Tính I = 2  −1 (|x|−|x −1|) d x Giải Bảng xét dấu chung x x x −1 −1 0 1 2 − 0 + + − − 0 + Khi đó: I = 0  −1 (−x +x −1) d x + 1  0 (x +x −1)d x + 2  1 (x. trên mũ. 4.1 Dạng căn thức Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng n  f (x) nói chung trong nhiều trường hợp ta đặt t = n  f (x) Ví dụ 4.1. Tính 1  0 x  x 2 +1dx 8 © Nguyễn Hồng. dạng  ax +b) cx +d  m n , ,  ax +b) cx +d  r s ta đặt ax +b) cx +d = t k với k là mẫu số chung nhỏ nhất của các số mũ m n , , r s . Ví dụ 4.5. Tính I = 63  0 1 3  x +1 +  x +1 d x Giải Đặt