Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT. Tóm tắt các công thức trong chương trình Toán THPT.
Chương 1 Đại số - Lượng giác - Giải tích 1.1 Tam thức bậc 2 Tam thức bậc hai f (x) =ax 2 +bx +c =0, (a =0) có hai nghiệm x 1 , x 2 • Định lí Viete: S = x 1 +x 2 =− b a ; P =x 1 x 2 = c a • ∆ <0 thì f (x) cùng dấu với a • f (x) ≥0,∀x ∈R ⇔ ∆ ≤0 a >0 • f (x) ≤0,∀x ∈R ⇔ ∆ ≤0 a <0 • x 1 <α <x 2 ⇔a f (α) <0 • α <x 1 <x 2 ⇔ ∆ >0 a f (α) >0 S 2 −α >0 • x 1 <x 2 <α ⇔ ∆ >0 a f (α) >0 S 2 −α <0 • α <x 1 <x 2 x 1 <x 2 <α ⇔ ∆ >0 a f (α) >0 • x 1 <α <β <x 2 ⇔ a f (α) <0 a f (β) <0 • α <x 1 <β <x 2 ⇔ a f (α) >0 a f (β) <0 • x 1 <α <x 2 <β α <x 1 <β <x 2 ⇔ f (α). f (β) <0 • α <x 1 <x 2 <β ⇔ ∆ >0 a f (α) >0 a f (β) >0 S 2 −α >0 S 2 −β <0 1.2 Bất đẳng thức 1.2.1 Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối • − | a | ≤a ≤ | a | ∀a ∈R • | x | ≤a ⇔−a ≤x ≤ a • | x | >a ⇔ x <−a x > a • | a | − | b | < | a +b | < | a | + | b | 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy • a +b 2 ≥ ab dấu bằng xảy ra khi a =b • a +b +c 3 ≥ 3 abc dấu bằng xảy ra khi a =b =c 1.2.3 Bất đẳng thức Bunyakovsky • ab +cd ≤ (a 2 +c 2 )(b 2 +d 2 ) Dấu “ =” xảy ra khi ad =bc • a 1 b 1 +a 2 b 2 +c 3 b 3 ≤ a 2 1 +a 2 2 +a 2 3 b 2 1 +b 2 2 +b 2 3 Dấu “ =” xảy ra khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = a 3 b 3 1 1.3 Cấp số cộng • Số hạng thứ n : u n =u 1 +(n −1)d • Tổng của n số hạng đầu tiên: S n = n 2 (u 1 +u n ) = n 2 [2u 1 +(n−)d] 1.4 Cấp số nhân • Số hạng thứ n: u n =u 1 .q n−1 • Tổng của n số hạng đầu tiên: S n =u 1 1 −q n 1 −q 1.5 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối • | A | = | B | ⇔ A =±B • | A | =B ⇔ B ≥0 A =±B • | A | <B ⇔ A <B A >−B • | A | < | B | ⇔ A 2 <B 2 • | A | >B ⇔ A >B A <−B 1.6 Phương trình, bất phương trình chứa căn thức: • A = B ⇔ A ≥0 hoặc B ≥0 A =B • A =B ⇔ B ≥0 A =B 2 • A < B ⇔ A ≥0 A <B • A <B ⇔ A ≥0 B >0 A <B 2 • A >B ⇔ B <0 A ≥0 B ≥0 A >B 2 1.7 Nhị thức Newton 1.7.1 Công thức khai triển • (a +b) n = n k=0 C k n a n−k b k • (a +b) n =C 0 n a n +C 1 n a n−1 b +···+C n−1 n ab n−1 +C n n b n 1.7.2 Các dạng đặc biệt của nhị thức Newton • (1 +x) n =C 0 n +C 1 n x +C 2 n x 2 +···+C n n x n • (1 −x) n =C 0 n −C 1 n x +C 2 n x 2 −···+(−1) n C n n x n • (x +1) n =C 0 n x n +C 1 n x n−1 +C 2 n x n−2 +···+C n n • 2 n =(1 +1) n =C 0 n +C 1 n +C 2 n +···+C n n 1.8 Lũy thừa • a α .a β =a α+β • a α a β =a α−β • (a α ) β =a αβ • β a α =a α β • a α b α = a b α • a α b α =(a.b) α • a −α = 1 a α • n m a k = n.m a k =a k n.m 2 1.9 Logarit • log a N =M ⇔ N =a M • log a a M =M • a log a N =N • N 1 log a N 2 =N 2 log a N 1 • log a (N 1 N 2 ) =log a N 1 +log a N 2 • log a N 1 N 2 =log a N 1 −log a N 2 • log a N α =αlog a N • log a α N = 1 α log a N • log a N = log b N log b a • log a b = 1 log b a 1.10 Phương trình, bất phương trình logarit • log a f (x) =log a g (x) ⇔ 0 <a =1 f (x) >0 hoặc g (x) >0 f(x)=g(x) • log a f (x) >log a g (x) ⇔ 0 <a =1 f (x) >0 g (x) >0 (a −1) f (x) −g (x) >0 1.11 Phương trình, bất phương trình mũ • a f (x) =a g (x) ⇔ 0 <a =1 f (x) =g (x) a =1 f (x), g (x)có nghĩa • a f (x) >a g (x) ⇔ a >0 (a −1) f (x) −g (x) >0 1.12 Phương trình, bất phương trình mũ • a f (x) =a g (x) ⇔ 0 <a =1 f (x) =g (x) a =1 f (x), g (x) có nghĩa • a f (x) >a g (x) ⇔ a >0 (a −1) f (x) −g (x) >0 1.13 Côngthức lượng giác cơ bản • sin 2 x +cos 2 x =1 • tan x = sin x cos x • cot x = cos x sin x • tan x.cotx =1 • 1 +tan 2 x = 1 cos 2 x • 1 +cot 2 x = 1 sin 2 x 1.14 Cung liên kết 1.14.1 Cung đối • cos(−x) =cos x • sin(−x) =−sin x • tan(−x) =−tan x • cot(−x) =−cot x 1.14.2 Cung bù • sin(π −x) =sin x • cos(π −x) =−cos x • tan(π −x) =−tan x • cot(π −x) =−tan x 3 1.14.3 Cung phụ • sin( π 2 −x) =cos x • cos( π 2 −x) =sin x • tan( π 2 −x) =cot x • cot( π 2 −x) =tan x 1.14.4 Hơn kém nhau π • sin(π +x) =−sin x • cos(π +x) =−cos x • tan(π +x) =tan x • cot(π +x) =cot x 1.14.5 Hơn kém nhau π 2 • sin π 2 +x =cos x • cos π 2 +x =−sin x • tan π 2 +x =−cot x • cot π 2 +x =−tan x 1.15 Công thức cộng • sin(x ±y) =sinx cos y ±sin y cos x • cos(x ±y) =cosx cos y ∓sin x sin y • tan x(x ±y) = tan x ±tan y 1 ∓tan x tan y 1.16 Công thức nhân đôi • sin2x =2sinx cos x • cos2x =cos 2 x −sin 2 x =2cos 2 x −1 =1 −2sin 2 x • tan2x = 2tan x 1 −t g 2 x • cos 2 x = 1 +cos2x 2 • sin 2 x = 1 −cos2x 2 1.17 Công thức nhân ba • sin3x =3sinx −4si n 3 x • cos3x =4cos 3 x −3cosx • tan3x = 3tan x −tan 3 x 1 −3tan 2 x • cos 3 x = 3cos x +cos3x 4 • sin 3 x = 3sin x −sin3x 4 1.18 Công thức Đặt t =tan x 2 thì • sin x = 2t 1 +t 2 • cos x = 1 −t 2 1 +t 2 • tan x = 2t 1 −t 2 1.19 Công thức biến đổi 1.19.1 Tích thành tổng • cos x.cos y = 1 2 cos(x −y)+cos(x +y) • sin x.sin y = 1 2 cos(x −y)−cos(x +y) • sin x.cos y = 1 2 sin(x −y)+sin(x +y) 4 1.19.2 Tổng thành tích • cos x +cos y =2 cos x +y 2 cos x −y 2 • cos x −cos y =−2 sin x +y 2 sin x −y 2 • sin x +sin y =2 sin x +y 2 cos x −y 2 • sin x −sin y =2 cos x +y 2 sin x −y 2 • tan x +tan y = sin(x +y) cos x cos y • tan x −tan y = sin(x −y) cos x cos y • cot x +cot y = sin(x +y) sin x sin y • cot x −cot y = sin(x −y) sin x sin y • sin x +cos x = 2sin(x + π 4 ) = 2cos x − π 4 • sin x −cos x = 2sin x − π 4 =− 2cos x + π 4 • 1 ±sin2x =(sin x ±cos x) 2 1.20 Phương trình lượng giác 1.20.1 Phương trình cơ bản • sin x =sinu ⇔ x =u +k2π x =π −x +k2π • cos x =cosu ⇔ x =u +k2π x =−u +k2π • tan =tanu ⇔ x =u +kπ • cot =cotu ⇔ x =u +kπ 1.20.2 Công thức nghiệm thu gọn • sin x =1 ⇔ x = π 2 +k2π • sin x =−1 ⇔ x =− π 2 +k2π • sin x =0 ⇔ x =kπ • cos x =1 ⇔ x =+k2π • cos x =−1 ⇔ x =π+k2π • cos x =0 ⇔ x = π 2 +kπ 1.21 Hệ thức lượng trong tam giác 1.21.1 Định lý cosin • a 2 =b 2 +c 2 −2bc cos A • b 2 =a 2 +c 2 −2ac cosB • c 2 =a 2 +b 2 −2ab cosC • cos A = b 2 +c 2 −a 2 2bc • cosB = a 2 +c 2 −b 2 2ac • cosC = a 2 +b 2 −c 2 2ab 1.21.2 Định lý hàm số sin a sin A = b sinB = c sinC =2R 1.21.3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến • m 2 a = b 2 +c 2 2 − a 2 4 • m 2 b = a 2 +c 2 2 − b 2 4 • m 2 c = a 2 +b 2 2 − c 2 4 1.21.4 Công thức độ dài đường phân giác trong • l a = 2bc cos A 2 b +c 5 • l b = 2ac cos B 2 a +c • l c = 2ab cos C 2 a +b 1.21.5 Công thức tính diện tích tam giác • S = 1 2 a.h a = 1 2 b.h b = 1 2 c.h c • S = 1 2 bc.sin A = 1 2 ab.sinC = 1 2 ac.sinB • S = p.r = abc 4R • S = p(p −a)(p −b)(p −c) 1.22 Đạo hàm 1.22.1 Đạo hàm các hàm đơn giản • (x α ) =α.x α−1 • ( x) = 1 2 x • 1 x =− 1 x 2 • (sin x) =cos x • (cos x) =−sin x • (t g x) = 1 cos 2 x • (cot g x) =− 1 sin 2 x • (e x ) =e x • (a x ) =a x ln a • (ln x) = 1 x • (log a x) = 1 x.lna 1.22.2 Đạo hàm hàm hợp • (u α ) =α.u α−1 .u • ( u) = u 2 u • 1 u =− u u 2 • (sinu) =u .cosu • (cosu) =−u .sinu • (t g u) = u cos 2 u • (cot gu) =− u sin 2 u • (e u ) =u e u • (a u ) =u a u ln a • (lnu) = u u • (log a u) = u u. lna 1.23 Nguyên hàm • d x = x +C • x α d x = x α+1 α +1 +C (α =1) • d x x =ln | x | +C • d x x 2 =− 1 x +C • e x d x =e x +C • a x d x = a x ln a +C • cos xd x =sinx +C • sin xd x =−cos x +C • d x cos 2 x =tan x +C 6 • d x sin 2 x =−cot x +C 1.24 Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay 1.24.1 Công thức tính diện tích S = a b f (x) −g (x) d x 1.24.2 Công thức tính thể tích • Hình phẳng quay quanh trục Ox V =π a b f 2 (x) −g 2 (x) d x • Hình phẳng quay quanh trục O y: V =π a b f 2 (y) −g 2 (y) d y 7 Chương 2 Hình học 2.1 Tọa độ của vectơ, tọa độ điểm • −→ AB =(x B −x A , y B −y A ) • Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k =1: −−→ M A MB =k ⇔ M x M = x A −kx B 1−k y M = y A −k y B 1−k • Điểm I là trung điểm của AB: I x I = x A +x B 2 y I = y A +y B 2 • Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC: G x G = x A +x B +x C 3 y G = y A +y B +y C 3 • Cho tam giác ABC có −→ AB =(a 1 ; a 2 ), −→ AC =(b 1 ;b 2 ) ⇒S ∆ABC = 1 2 | a 1 b 2 −a 2 b 1 | 2.2 Phương trình đường thẳng ∆ • Phương trình tổng quát: ∆ : Ax +B y +C =0 Vectơ pháp tuyến −→ n =(A;B); A 2 +B 2 =0 • Phương trình tham số: ∆ : x = x 0 +at y = y 0 +bt Vectơ chỉ phương −→ u =(a;b), qua điểm M(x 0 ; y 0 ) • Phương trình chính tắc: ∆ : x −x 0 a = y −y 0 b • Phương trình đoạn chắn: ∆ qua A(a;0);B(0;b) ∆ : x a + y b =1 2.3 Góc tạo bởi hai đường thẳng: Góc tạo bởi d : Ax +B y +C =0 và ∆ : A x +B y +C =0 là ϕ xác định bởi cosϕ = A.A +B.B A 2 +B 2 . A 2 +B 2 2.4 Khoảng cách Khoảng cách từ một điểm M(x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng ∆ : ax +bx +c =0: d(M,∆) = Ax 0 +B y 0 +C A 2 +B 2 2.5 Phương trình đường phân giác Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d : Ax +B y +C =0 và ∆ : A x +B y +C =0 là: AX +B y +C A 2 +B 2 =± A x +B y +C A 2 +B 2 Xác định phương trình đường phân giác trong và phân giác ngoài • Khoảng cách đại số t 1 = Ax 1 +B y 1 +C A 2 +B 2 ; t 2 = A x 2 +B y 2 +C A 2 +B 2 • Hai điểm M(x 1 ; y 1 ) và M (x 2 ; y 2 ) nằm cùng phía so với ∆⇔t 1 .t 2 >0: phân giác ngoài. • Hai điểm M(x 1 ; y 1 ) và M (x 2 ; y 2 ) nằm khác phía so với ∆⇔t 1 .t 2 <0: phân giác trong. 8 2.6 Đường tròn • Phương trình đường tròn có tâm I(a;b) và bán kính R (C) : ( x −a ) 2 + y −b 2 =R 2 • Phương trình có dạng (C) : x 2 +y 2 −2ax −2by +c =0 Với a 2 +b 2 −c >0 là phương trình đường tròn (C) có tâm I (a;b) và bán kính R = a 2 +b 2 −c 2.7 Elip • Phương trình chính tắc Elip (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 với a 2 =b 2 +c 2 • Tiêu điểm: F 1 (−c;0), F 2 (c;0) • Đỉnh trục lớn: A 1 (−a;0), A 2 (a;0) • Đỉnh trục nhỏ: B 1 (0;−b), B 2 (0;b) • Tâm sai: e = c a <1 • Phương trình đường chuẩn: x =± a e • Bán kính qua tiêu điểm: MF 1 =a +ex M , MF 2 =a −ex M • Phương trình tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ; y 0 ) ∈(E) x 0 x a 2 + y 0 y b 2 =1 • Điều kiện tiếp xúc của (E) : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 và ∆ : Ax +B y +C =0 là: A 2 a 2 +B 2 b 2 =C 2 2.8 Vectơ trong không gian Trong không gian cho các vectơ −→ u 1 = x 1 , y 1 , z 1 , −→ u 2 = x 2 , y 2 , z 2 và số k tùy ý • −→ u 1 = −→ u 2 ⇔ x 1 = x 2 y 1 = y 2 z 1 = z 2 • −→ u 1 ± −→ u 2 = x 1 ±x 2 , y 1 ±y 2 , z 1 ±z 2 • k −→ u 1 = kx 1 ,k y 1 ,kz 1 • Tích có hướng: −→ u 1 . −→ u 2 =x 1 .x 2 +y 1 .y 2 +z 1 .z 2 −→ u 1 ⊥ −→ u 2 ⇔ −→ u 1 . −→ u 2 =0 ⇔x 1 .x 2 +y 1 .y 2 +z 1 .z 2 =0 • −→ u 1 = x 2 1 +y 2 1 +z 2 1 • Gọi ϕ là góc hợp bởi hai vectơ 0 ◦ ϕ 180 ◦ cosϕ = −→ u 1 . −→ u 2 −→ u 1 . −→ u 2 = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 x 2 1 +y 2 1 +z 2 1 . x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 • −→ AB = x B −x A , y B −y A , z B −z A AB = ( x B −x A ) 2 + y B −y A 2 + ( z B −z A ) 2 • Tọa độ các điểm đặc biệt: Tọa độ trung điểm I của AB: I x A +x B 2 , y A +y B 2 , z A +z B 2 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G x A +x B +x C 3 , y A +y B +y C 3 , z A +z B +z C 3 Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: • Tích có hướng của hai vectơ là 1 vectơ vuông góc cả hai vectơ xác định bởi −→ u = −→ u 1 , −→ u 2 = y 1 z 1 y 2 z 2 , z 1 x 1 z 2 x 2 , x 1 z 1 x 2 z 2 • Một số tính chất của tích có hướng −→ a và −→ b cùng phương ⇔ −→ a , −→ b = −→ 0 A,B,C thẳng hàng ⇔ −→ AB, −→ AC = −→ 0 9 Ba vectơ −→ a , −→ b , −→ c đồng phẳng −→ a , −→ b . −→ c =0 A,B,C, D không đồng phẳng −→ AB, −→ AC . −−→ AD = −→ 0 −→ a , −→ b = −→ a . −→ b .sin −→ a , −→ b • Các ứng dụng của tích có hướng Diện tích hình bình hành: S ABC D = −→ AB, −−→ AD Diện tích tam giác: S ABC = 1 2 −→ AB, −→ AC Thể tích khối hộp: V ABC D.A B C D = −→ AB, −−→ AD . −−→ AA Thể tích tứ diện: V ABC D = 1 6 −→ AB, −→ AC . −−→ AD 2.9 Phương trình mặt phẳng • Phương trình tổng quát ( α ) : ax +by +cz +d = 0 với (a 2 +b 2 +c 2 =0). • Phương trình mặt phẳng ( α ) qua M x 0 , y 0 , z 0 và có vectơ pháp tuyến −→ n =(a,b,c) ( α ) : a ( x −x 0 ) +b y −y 0 +c ( z −z 0 ) =0 • Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: ( α ) qua A(a,0,0); B(0,b,0);C(0,0,c) ( α ) : x −x 0 a + y −y 0 b + z −z 0 c =1, với a,b,c =0 2.9.1 Vị trí tương đối hai mặt phẳng Cho ( α ) : a 1 x +b 1 y +c 1 z +d 1 =0 và β : a 2 x +b 2 y +c 2 z + d 2 =0 • ( α ) cắt β ⇔a 1 : b 1 : c 1 =a 2 : b 2 : c 2 • ( α ) song song β ⇔ a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2 • ( α ) trùng β ⇔ a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2 • ( α ) vuông góc β ⇔a 1 a 2 +b 2 b 2 +c 1 c 2 =0 2.10 Phương trình đường thẳng Cho đường thẳng d qua M 0 x 0 , y 0 , z 0 và có vectơ chỉ phương là −→ u =(a,b,c). Khi đó: • Phương trình tham số của d d : x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + ct • Phương trình chính tắc của d (khi abc =0) d : x −x 0 a = y −y 0 b = z −z 0 c 2.10.1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Đường thẳng d 1 qua M 1 và có vectơ chỉ phương là −→ u 1 , d 2 qua M 2 và có vectơ chỉ phương là −→ u 2 thì: • d 1 trùng d 2 ⇔ −→ u 1 , −→ u 2 = −→ u 1 , −−−−→ M 1 M 2 = −→ 0 • d 1 song song d 2 ⇔ −→ u 1 , −→ u 2 = −→ 0 −→ u 1 , −−−−→ M 1 M 2 = −→ 0 • d 1 và d 2 cắt nhau ⇔ −→ u 1 , −→ u 2 . −−−−→ M 1 M 2 =0 −→ u 1 , −→ u 2 = −→ 0 • d 1 và d 2 chéo nhau ⇔ −→ u 1 , −→ u 2 . −−−−→ M 1 M 2 =0 2.11 Góc • Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến là −→ n α , mặt phẳng β có vectơ pháp tuyến −→ n β , khi đó góc giữa ( α ) và β được tính bằng cos ( α ) , β = cos −→ n α , −→ n β = −→ n α . −→ n β −→ n α . −→ n β • Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d 1 và d 2 có các vectơ chỉ phương là −→ u 1 và −→ u 2 , khi đó góc giữa d 1 và d 2 tính bằng cos ( d 1 ,d 2 ) = cos −→ u 2 , −→ u 2 = −→ u 1 . −→ u 2 −→ u 1 . −→ u 2 10