Công thức toán THPT 2016

Tài liệu tóm tắt các công thức quan trọng trong chương trình Toán THPT. File được soạn bằng LaTeX nên rất dễ nhìn, cách trình bày đơn giản mà chuyên nghiệp theo tinh thần của LaTeX và cho ra bản in có chất lượng rất cao. File được soạn theo khổ A5 nên nếu cần in thành file sách như cuốn tập học sinh là rất dễ dàng, tiện cho việc tham khảo.

Chương Đại số - Lượng giác - Giải tích 1.1  ∆>0      a f (α) >     a f (β) > • α < x1 < x2 < β ⇔ S  −α >         S −β < Tam thức bậc Tam thức bậc hai f (x) = ax + bx + c = 0, (a = 0) có hai nghiệm x , x • Định lí Viete: 1.2 b S = x1 + x2 = − ; a c P = x1 x2 = a 1.2.1 • ∆ < f (x) dấu với a • f (x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ • f (x) ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ • |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a • |x| > a ⇔ x < −a ∆≤0 a a f (β) < • • x>a • |a| − |b| < |a + b| < |a| + |b| • x < α < x ⇔ a f (α) <   ∆>0   a f (α) > • α < x1 < x2 ⇔  S   −α >   ∆>0   a f (α) > • x1 < x2 < α ⇔  S   −α < ∆>0 a f (α) > Bất đẳng thức có dấu trị tuyệt đối • − |a| ≤ a ≤ |a| ∀a ∈ R ∆≤0 a >0 α < x1 < x2 ⇔ x1 < x2 < α Bất đẳng thức 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy • a +b ≥ • a +b +c ≥ 1.2.3 ab dấu xảy a = b abc dấu xảy a = b = c Bất đẳng thức Bunyakovsky • ab + cd ≤ (a + c )(b + d ) Dấu “ = ” xảy ad = bc a 12 + a 22 + a 32 b 12 + b 22 + b 32 a1 a2 a3 Dấu “ = ” xảy = = b1 b2 b3 • a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ≤ 1.3 x1 < α < x2 < β ⇔ f (α) f (β) < α < x1 < β < x2 Cấp số cộng • Số hạng thứ n : u n = u + (n − 1)d Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) 1.7 • Tổng n số hạng đầu tiên: n n S n = (u + u n ) = [2u + (n−)d ] 2 1.4 1.7.1 Công thức khai triển • (a + b)n = Cấp số nhân • Số hạng thứ n : u n = u q n−1 • Tổng n số hạng đầu tiên: S n = u Nhị thức Newton n k=0 C nk a n−k b k = n k=0 C nk a k b n−k • (a + b)n = C n0 a n +C n1 a n−1 b + · · · +C nn−1 ab n−1 +C nn b n − qn 1−q 1.7.2 • Cấp số nhân lùi vô hạn: |q| < u1 Sn = 1−q Các dạng đặc biệt nhị thức Newton • (1 + x)n = C n0 +C n1 x +C n2 x + · · · +C nn x n • (1 − x)n = C n0 −C n1 x +C n2 x − · · · + (−1)n C nn x n • (x + 1)n = C n0 x n +C n1 x n−1 +C n2 x n−2 + · · · +C nn 1.5 Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối • |A| = |B | ⇔ • 2n = (1 + 1)n = C n0 +C n1 +C n2 + · · · +C nn 1.8 A=B A = −B • a α a β = a α+β   B ≥0 A=B • |A| = B ⇔  A = −B • |A| < B ⇔ • • • A>B A < −B • B⇔ • A=B ⇔ • A< • • B⇔ = a α−β β α aα = a β a aα = α b b • a −α = Phương trình, bất phương trình chứa thức: A= aβ α • a α b α = (a.b)α • |A| > |B | ⇔ A > B ⇔ (A − B ) (A + B ) > 1.6 aα • (a α )β = a αβ A −B • |A| < |B | ⇔ A < B ⇔ (A − B ) (A + B ) < • |A| > B ⇔ Lũy thừa • 1.9 A ≥ B ≥ A=B n m aα n.m ak = k a k = a n.m Logarit • loga N = M ⇔ N = a M B ≥0 A = B2 • loga a M = M • a loga N = N A≥0 A0 A B2 • loga (N1 N2 ) = loga N1 + loga N2 • loga N1 = loga N1 − loga N2 N2 • loga N α = αloga N • loga α N = loga N α Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) • loga N = • loga b = 1.10 logb N • + cot x = logb a logb a Phương trình, bất phương trình logarit sin2 x 1.14 Cung liên kết 1.14.1 Cung đối • cos(−x) = cos x • sin(−x) = − sin x   0 g (x) > • loga f (x) = loga g (x) ⇔  • tan(−x) = − tan x f(x)=g(x) • cot(−x) = − cot x   0 • loga f (x) > loga g (x) ⇔  g (x) >    (a − 1) f (x) − g (x) > 1.14.2 Cung bù • sin(π − x) = sin x • cos(π − x) = − cos x 1.11 Phương trình, bất phương trình mũ    • a f (x) = a g (x) ⇔   0 a g (x) ⇔ π −x π • cos −x π • tan −x π • cot −x 1.14.4 00 (a − 1) f (x) − g (x) > • tan(π + x) = tan x • cot(π + x) = cot x Công thức lượng giác 1.14.5 • sin2 x + cos2 x = Hơn π +x π • cos +x π • tan +x π • cot +x • sin sin x • tan x = cos x cos x • cot x = sin x • tan x cot x = • + tan x = Cung phụ • sin Phương trình, bất phương trình mũ  1.13 • cot(π − x) = − tan x a >0 (a − 1) f (x) − g (x) > • a f (x) > a g (x) ⇔ 1.12 • tan(π − x) = − tan x cos2 x = cos x = − sin x = − cot x = − tan x π Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) 1.15 Công thức cộng 1.19 • sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x • sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x Công thức Đặt t = tan x • sin x = 2t 1+ t2 • cos x = 1− t2 1+ t2 • tan x = 2t 1− t2 • cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y • cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y • tan(x + y) = tan x + tan y − tan x tan y • tan(x − y) = tan x − tan y + tan x tan y 1.16 Công thức nhân đôi 1.20 Công thức biến đổi 1.20.1 Tích thành tổng • cos x cos y = • sin 2x = sin x cos x 2 • cos 2x = cos x − sin x = 2cos2 x − = − 2sin2 x • tan 2x = tan x − tan2 x cos(x − y) + cos(x + y) • sin x sin y = cos(x − y) − cos(x + y) • sin x cos y = sin(x − y) + sin(x + y) 1.20.2 Tổng thành tích • cot 2α = 1.17 cot α − cot α • cos x + cos y = cos • cos x − cos y = −2 sin Công thức hạ bậc + cos 2x • cos2 x = • sin2 x = − cos 2x − cos 2α + cos 2α • tan2 α = 1.18 x+y x−y cos 2 Công thức nhân ba • sin x + sin y = sin x+y x−y cos 2 • sin x − sin y = cos x+y x−y sin 2 • tan x + tan y = sin(x + y) cos x cos y • tan x − tan y = sin(x − y) cos x cos y • cot x + cot y = sin(x + y) sin x sin y • cot x − cot y = sin(x − y) sin x sin y • sin 3x = sin x − 4sin3 x • cos 3x = 4cos x − cos x x−y x+y sin 2 tan x − tan3 x − tan2 x • sin x + cos x = sin x + π = cos x + cos 3x • cos x = • sin x − cos x = sin x − π π = − cos x + 4 • tan 3x = • sin3 x = • − sin 2x = (sin x − cos x)2 sin x − sin 3x • + sin 2x = (sin x + cos x)2 cos x − π Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) 1.21 Phương trình lượng giác 1.21.1 Phương trình 1.22.3 Độ dài đường trung tuyến • m a2 = b2 + c a2 − • sin x = sin u ⇔ x = u + k2π x = π − x + k2π • m b2 = a2 + c b2 − • cos x = cos u ⇔ x = u + k2π x = −u + k2π • m c2 = a2 + b2 c − 1.22.4 • tan x = tan u ⇔ x = u + kπ • cot x = cot u ⇔ x = u + kπ 2bc cos • la = 1.21.2 Công thức nghiệm thu gọn • sin x = ⇔ x = Độ dài đường phân giác b +c 2ac cos π + k2π • lb = π • sin x = −1 ⇔ x = − + k2π • sin x = ⇔ x = kπ 1.22.5 • cos x = ⇔ x = k2π a +b Công thức tính diện tích tam giác 1 • S = bc sin A = ab sinC = ac sin B 2 π • cos x = ⇔ x = + kπ • S = p.r = Hệ thức lượng tam giác 1.22.1 Định lý cosin • S= • a = b + c − 2bc cos A • b = a + c − 2ac cos B 2 abc 4R p(p − a)(p − b)(p − c) 1.23 Đạo hàm 1.23.1 Đạo hàm hàm đơn giản Giống "y xì" vầy áp dụng công thức lại áp dụng công thức hàm hợp(^^) • c = a + b − 2ab cosC • (x α ) = α.x α−1 b2 + c − a2 • cos A = 2bc • ( x) = a2 + c − b2 • cos B = 2ac • cosC = C 1 • S = a.h a = b.h b = c.h c 2 • cos x = −1 ⇔ x = π + k2π 1.22 B a +c 2ab cos • lc = A • a2 + b2 − c 2ab x x =− x2 • (sin x) = cos x • (cos x) = − sin x 1.22.2 Định lý hàm số sin • (tan x) = a b c = = = 2R sin A sin B sinC cos2 x • (cot x) = − sin2 x Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) • (e x ) = e x • sin xd x = − cos x +C • dx = tan x +C cos2 x • (a x ) = a x ln a • (ln x) = x • • (loga x) = x ln a 1.23.2 • ( u) = • u u u =− u u2 • (sin u) = u cos u sin2 x • sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) +C (a = 0) a • e ax+b d x = • 1 d x = ln |ax + b| +C ax + b a dx x2 − a • (cos u) = −u sin u • (cot u) = − u • (e ) = u e u u u • (loga u) = 1.24 u u ln a d x = x +C • x αd x = • e x d x = e x +C • ax d x = • cos xd x = sin x +C = ln x + x + a +C • x −a dx = ln +C x −b (x − a) (x − b) a − b 1.25 Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể tròn xoay 1.25.1 Công thức tính diện tích f (x) − g (x) d x S= b 1.25.2 Công thức tính thể tích • Hình phẳng quay quanh trục Ox a dx = ln |x| +C x dx = − +C x x x − a +C a x α+1 +C (α = 1) α+1 • = ln x + x −a dx = ln +C x − a 2a x +a Nguyên hàm • • x2 + a ax+b e +C , (a = 0) a • sin2 u • (a u ) = u a u ln a • (ln u) = dx • u sin(ax + b) +C (a = 0) a cos(ax + b)d x = • u • (tan u) = cos2 u = − cot x +C • Đạo hàm hàm hợp • (u α ) = α.u α−1 u dx f (x) − g (x) d x V =π b • Hình phẳng quay quanh trục O y : a f (y) − g (y) d y V =π ax +C ln a b Chương Hình học 2.1 Hệ thức lượng tam giác Cho ABC vuông A , có đường cao AH • AB + AC = BC ABC vuông A : S ABC = • ABC cạnh a : S ABC AH = • AB = BC B H , AC = BC C H 1 • = + 2 AH AB AC S ABC D = đáy × cao = AB.AD sin B AD Hình thoi ABC D S ABC D = • Định lí hàm số cosin: a = b + c − 2bc cos A b = a + c − 2ac cos B c = b + c − 2bc cosC AC B D = AB.AD sin B AD 2 Hình thang ABC D : S ABC D = (a + b) h Tứ giác ABC D có đường chéo AC B D vuông góc nhau: • Định lí hàm số sin b c a = = = 2R sin A sin B sinC S ABC D = AC B D Hình chữ nhật S = a.b với a, b độ dài hai cạnh Hình vuông cạnh S = a với cạnh a , đường chéo hình vuông AC = a • Công thức độ dài trung tuyến b2 + c a2 − 2 a +c b2 mb = − 2 a +b b2 mc = − m a2 = 2.3 Công thức thể tích • Thể tích khối hộp chữ nhật Các công thức tính diện tích V = abc Tam giác: với a, b, c kích thước khối hộp • Thể tích khối lập phương V = a 1 • S = a.h a = b.h b = c.h c 2 1 = bc sin A = ca sin B = ab sinC 2 abc = 4R = pr = a 2 Hình bình hành ABC D : Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a , b , c ; độ dài trung tuyến m a , mb , mc ; bán kính đường tròn ngoại tiếp R ; bán kính đường tròn nội tiếp r ; nửa chu vi p 2.2 AB.AC a2 = , đường cao • • Thể tích khối chóp V = B.h với B : diện tích đáy, h : chiều cao khối chóp • Thể tích khối lăng trụ: V = B.h p p −a p −b p −c Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) 2.7 • Tính thể tích công thức tỉ số thể tích Cho ba tia Ox , O y , Oz không đồng phẳng Với điểm A , A Ox ; B , B O y ; C , C Oz , ta có: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M (x ; y ) đến đường thẳng ∆ : ax + bx + c = 0: VO ABC O A OB OC = VO A B C O A OB OC 2.4 d (M , ∆) = Tọa độ vectơ, tọa độ điểm d (A, BC ) = AH • Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = 1: −−→ −kx B MA x M = x A1−k =k ⇔M y −k y MB y M = A1−k B 2.8 x A +x B y A +y B AX + B y +C A2 + B • Điểm G trọng tâm tam giác ABC :  x + x B + xC   xG = A G y + y B + yC   yG = A t1 = Ax + B y +C A2 + B ; t2 = A x + B y +C A +B • Hoặc áp dụng Định lý "Tam giác ABC có AD đường phân giác AB −−→ −−→ trong, D ∈ BC DB = − DC " AC x = x + at y = y + bt x − x0 y − y = a b 2.9 • Phương trình đoạn chắn: ∆ qua A(a; 0); B (0; b) x y + =1 a b Đường tròn • Phương trình đường tròn có tâm I (a; b) bán kính R (C ) : (x − a)2 + y − b 2.6 • Hai điểm M (x ; y ) M (x ; y ) nằm khác phía so với ∆⇔ t t < 0: phân giác − Vectơ phương → u = (a; b), qua điểm M (x ; y ) ∆: A +B • Hai điểm M (x ; y ) M (x ; y ) nằm phía so với ∆⇔ t t > 0: phân giác • Phương trình tổng quát: ∆ : Ax + B y +C = − Vectơ pháp tuyến → n = (A; B ); A + B = • Phương trình tắc: ∆ : A x + B y +C • Khoảng cách đại số Phương trình đường thẳng • Phương trình tham số: ∆ : =± Xác định phương trình đường phân giác phân giác −→ −→ • Cho tam giác ABC có AB = (a ; a ), AC = (b ; b ) ⇒ S ∆ABC = 12 |a b − a b | 2.5 Phương trình đường phân giác Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng d : Ax + B y + C = ∆ : A x + B y + C = là: • Điểm I trung điểm AB : xI = yI = A2 + B Nếu xét tam giác ABC khoảng cách từ A đến BC độ dài đường cao AH −→ • AB = (x B − x A , y B − y A ) I Ax + B y +C = R2 Góc tạo hai đường thẳng: • Phương trình có dạng Góc tạo d : Ax +B y +C = ∆ : A x +B y +C = ϕ xác định cos ϕ = (C ) : x + y − 2ax − 2b y + c = A.A + B.B A2 + B 2 A +B Với a + b − c > phương trình đường tròn (C ) có tâm I (a; b) bán kính R = a + b − c Nguyễn Hồng Điệp ( ˆ ˆ ) 2.10 −→ • AB = x B − x A , y B − y A , z B − z A Elip • Phương trình tắc Elip (E ) : 2 với a = b + c (x B − x A )2 + y B − y A AB = + (z B − z A )2 • Tọa độ điểm đặc biệt: x2 y + =1 a2 b2 Tọa độ trung điểm I AB : I • Tiêu điểm: F (−c; 0), F (c; 0) x A + xB y A + y B z A + zB , , 2 Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC : • Đỉnh trục lớn: A (−a; 0), A (a; 0) • Đỉnh trục nhỏ: B (0; −b), B (0; b) • Tâm sai: e = G c R : d (S) điểm chung trình 2 (S) : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R • d (I , d ) = R : d tiếp xúc với (S) • d (I , d ) < R : d cắt (S) điểm phân biệt Khi cần tìm xác tọa độ giao điểm d (S) ta dùng cách thứ • Phương trình x + y +z −2ax −2b y −2cz +d = có a + b + c > d phương trình mặt cầu với tâm I (a, b, c) bán kính R = a + b + c − d 2.16.3 2.16.1 Vị trí tương đối hai mặt cầu Cho hai mặt cầu S (I , R ) S (I , R ) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng • I I < |R − R | ⇔ (S ) , (S ) Cho (α) S(I , R), • I I > |R − R | ⇔ (S ) , (S ) • I I = |R − R | ⇔ (S ) , (S ) tiếp xúc • d (I , (α)) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu • I I = R + R ⇔ (S ) , (S ) tiếp xúc • d (I , (α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, mặt phẳng gọi tiếp diện mặt cầu Tọa độ tiếp điểm M0 tọa độ hình chiếu vuông góc I xuống (α) • |R − R | < I I < R + R ⇔ (S ) , (S ) cắt theo đường tròn • d (I , (α)) < R : mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn C (I , r ), gọi đường tròn giao tuyến, Tâm I tọa độ hình chiếu vuông góc I xuống mặt phẳng (α) Bán kính r = R − I I 11