Giáo trình Toán ứng dụng

SỞ LAO ĐỘNG THƯƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƯỜNG TRUNG CẤP NGHỀ KHU VỰC GÒ CÔNG GIÁO TRÌNH Tên môn học: Toán ứng dụng NGHỀ: QUẢN TRỊ MẠNG - MÁY TÍNH TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP NGHỀ Ban hành kèm theo Quyết định số . . . ngày . . . tháng . . . năm . . . của . . . Gò Công, năm 2014 4 th −L A T E X−2014 03 GIÁO TRÌNH TOÁN ỨNG DỤNG Copyright c ○ 2014 by Nguyễn Hồng Điệp ii SỞ LAO ĐỘNG THƯƠNG BINH VÀ XÃ HỘI TRƯỜNG TRUNG CẤP NGHỀ KHU VỰC GÒ CÔNG GIÁO TRÌNH Tên môn học: Toán ứng dụng NGHỀ: QUẢN TRỊ MẠNG - MÁY TÍNH TRÌNH ĐỘ TRUNG CẤP NGHỀ Ban hành kèm theo Quyết định số . . . ngày . . . tháng . . . năm . . . của . . . Thị xã Gò Công, năm 2014 iv LỜI GIỚI THIỆU Toán ứng dụng trong tin học được đề cập đến trong giáo trình này chủ yếu là các phần thuộc bộ phận của Toán rời rạc. Toán học rời rạc ngày nay đã trở thành quen thuộc trong những năm gần đây bởi những ứng dụng to lớn của nó trong các ngành tin học. Toán học rời rạc là một ngành toán học giải quyết các đối tượng hay cấu trúc rời rạc. Đối tượng rời rạc là những đối tượng mà chúng có thể được phân biệt, phân tách ra khỏi nhau để có thể đếm được. Số tự nhiên, số hữu tỉ (được coi như là tỉ số của 2 số tự nhiên), môtô, nhà, người, . . . là những đối tượng rời rạc. Mặt khác số thực bao gồm số vô tỉ là không rời rạc (chúng ta biết rằng giữa hai số thực khác nhau luôn tồn tại một số thực khác chúng). Thuật ngữ “Toán học rời rạc ” cũng để phân biệt với “Toán học liên tục”. Trong khi các đối tượng rời rạc thường được coi như có sự liên quan mật thiết tới số tự nhiên thì các đối tượng liên tục là số thực. Trong giáo trình này, chúng ta sẽ nghiên cứu những đối tượng rời rạc như quan hệ trong toán học, tập hợp, bài toán đếm, ma trận, các phương pháp tính . . . tất cả chúng đều rời rạc. Chúng ta sẽ học các khái niệm, tính chất và quan hệ giữa chúng với nhau và với các đối tượng khác. Giáo trình gồm 4 chương Chương 1 : Quan hệ và suy luận toán học trình bày các kiến thức cơ bản về tập hợp, các quan hệ giữa các tập hợp; quan hệ 2 ngôi trong toán học và phương pháp chứng minh bằng quy nạp làm cơ sở kiến thức cho các chương sau. Đồng thời chương 1 cũng trình bày sơ lượt về thuật toán, đệ quy chuẩn bị cho việc học các môn học khác chuyên sâu hơn. Chương 2 : Tính toán và xác suất giới thiệu các khái niệm cơ bản về Giải tích tổ hợp, các khái niệm có liên quan tới bài toán liệt kê ở chương 3; nguyên lý v Dicrichlet cũng được trình bày ở dạng đơn giản để giải một số bài toán tồn tại. Chương 3 : Ma trận trình bày các kiến thức về ma trận, các thuật toán về ma trận, số hóa ma trận áp dụng trong khoa học máy tính và trong phương pháp tính ở chương 4. Chương 3 cũng giới thiệu sơ lược về bài toán liệt kê, bài toán tối ưu và các thuật toán quay lui, thuật toán nhánh cận. Chương 4 : Phương pháp tính tìm hiểu về các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình, hệ phương trình; phương pháp nội suy, phương pháp bình phương cực tiểu . . . . Trong đó phần nội dung trọng tâm sẽ rơi vào các chương 2, 3, 4. Một số qui ước dùng trong giáo trình 1. Các Định nghĩa, Định Lý, Ví dụ, Bài tập đều được đánh số, và là số duy nhất trong toàn giáo trình. 2. Các kí hiệu : kết thúc phần Chứng minh của Định lý, hoặc kết thúc Ví dụ. : kết thúc phần Định lý. Do giáo trình biên soạn trong thời gian gấp rút nên không thể tránh khỏi sai sót, rất mong sự đóng góp của các bạn về hongdieptg@yahoo.com. Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 19 tháng 09 năm 2014 — Nguyễn Hồng Điệp. vi MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU v MỤC LỤC vii CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN ỨNG DỤNG xi 1 QUAN HỆ VÀ SUY LUẬN TOÁN HỌC 1 1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Khái niệm về tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1 Khái niệm về quan hệ hai ngôi . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Các tính chất có thể có của quan hệ 2 ngôi trong 1 tập hợp 6 2.3 Quan hệ tương đương và phân hoạch . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Suy luận toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.1 Quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.2 Định nghĩa bằng đệ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Các thuật toán bằng đệ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4 Tính đúng đắn của chương trình . . . . . . . . . . . . . . 15 3.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.6 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 TÍNH TOÁN VÀ XÁC SUẤT 19 1 Tính toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1 Nguyên lý cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2 Nguyên lý nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 vii MỤC LỤC 1.3 Nguyên lý bù trừ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4 Nhắc lại lý thuyết tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5 Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.7 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1 Sự kiện ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Các định nghĩa xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 MA TRẬN 47 1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 1.2 Số học ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.3 Thuật toán nhân ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.4 Chuyển vị và lũy thừa các ma trận . . . . . . . . . . . . . 51 1.5 Các ma trận 0 - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.7 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Độ phức tạp của thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3 Bài toán liệt kê và thuật toán quay lui . . . . . . . . . . . 64 2.4 Bài toán tối ưu và thuật toán nhánh cận . . . . . . . . . . 67 2.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.6 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4 PHƯƠNG PHÁP TÍNH 71 1 Số xấp xỉ và sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 1.1 Số xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.2 Sai số tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.3 Sai số tương đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1.4 Số quy tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.6 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2 Giải gần đúng các phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm . . . . . . . . . . . . 77 2.2 Phương pháp chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 viii MỤC LỤC 2.3 Phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.4 Phương pháp dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.5 Phương pháp tuyến tính (Newton) . . . . . . . . . . . . . 90 2.6 Phương pháp phối hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.7 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2.8 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.1 Khái niệm về hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . 99 3.2 Phương pháp Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.4 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4 Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu . . . . . . . . . . . 106 4.1 Đa thức nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 Tính giá trị của đa thức bằng sơ đồ Horner . . . . . . . . 107 4.3 Đa thức nôi suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Đa thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.5 Phương pháp bình phương cực tiểu . . . . . . . . . . . . . 113 4.6 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.7 Đáp án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 CHỈ MỤC 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 DANH SÁCH ĐỊNH NGHĨA - ĐỊNH LÝ 121 DANH SÁCH BẢNG 123 DANH SÁCH HÌNH VẼ 125 ix x [...]... Thuật toán nhân ma trận Chuyển vị và luỹ thừa các ma trận Ma trận 0 − 1 2 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán Thời gian : 8 tiết 2.1 2.2 2.3 2.4 Thuật toán Độ phức tạp của thuật toán Bài toán liệt kê và thuật toán quay lại Bài toán tối ưu và thuật toán nhánh cận Chương 4 : Phương pháp tính Mục tiêu ∙ Thực hiện đúng các bài toán về xấp xỉ và sai số, các phương trình, hệ phương trình, ... F Chương trình chi tiết Chương 1 : Quan hệ và suy luận toán học Mục tiêu : ∙ Trình bày các phép toán trong quan hệ hai ngôi ∙ Trình bày thứ tự các phép toán trong biểu thức ∙ Biến đổi chính xác các quan hệ tương đương trong các bài toán theo dạng quan hệ ∙ Trả lời chính xác các bảng trắc nghiệm về quan hệ hai ngôi và suy luận toán học ∙ Kiểm tra tính đúng của một chương trình cụ thể ∙ Áp dụng được... l(y) + 1 = l(x) + l(ya) Đó là điều cần chứng minh 3.3 g Các thuật toán bằng đệ quy Định nghĩa 1.3.9 (Thuật toán đệ quy) Một thuật toán gọi là đệ quy nếu nó giải bài toán bằng cách rút gọn liên tiếp bài toán ban đầu tới bài toán cũng như vậy nhưng có dữ liệu đầu vào nhỏ hơn Ví dụ 1.3.10 Tìm thuật toán đệ quy tính giá trị an với a ̸= 0 và n ∈ N Giải Ta xây dựng thuật toán đệ quy nhờ định nghĩa đệ quy của... chương trình với các đầu vào mẫu Tuy nhiên, ngay cả khi chương trình cho kết quả đúng với tất cả đầu vào mẫu, do ta không chắc rằng có thể kiểm tra tất cả đầu vào mẫu, chương trình có thể sai trong một số trường hợp Chúng ta cần chứng minh rằng chương trình luôn luôn cho đầu ra đúng 3.4.2 Kiểm chứng chứng minh Một chương trình gọi là đúng đắn nếu với mọi đầu vào khả dĩ, nó cho đầu ra đúng Việc chứng minh... : ∙ Vận dụng các kiến thức đã học học sinh xây dựng các thuật toán tính : tổ hợp, hoán vị, giải hệ phương trình, phương trình, tính tích phân ∙ Sử dụng các kiến thức đó học học sinh xây dựng thuật toán quay lại, các bài toán tối ưu, bài toán tồn tại ∙ Là nền tảng để học sinh học môn cấu trúc dữ liệu và giải thuật, cài đặt các thuật toán trong tin học ∙ Bố trí làm việc khoa học đảm bảo an toàn... định nghĩa xác xuất 2.3 Xác suất có điều kiện Chương 3 : Ma trận Mục tiêu ∙ Thực hiện các phép toán đối với một ma trận (ma trận 2 chiều) ∙ Tính toán chính xác độ phức tạp của một thuật toán đơn giản ∙ Trả lời chính xác các bảng test về ma trận và độ phức tạp của thuật toán ∙ Sử dụng đúng các thuật toán áp dụng cho ma trận ∙ Thực hiện các thao tác an toàn với máy tính xiii MỤC LỤC 1 Ma trận ... bằng n Điều đó thể hiện qua thuật toán sau : Thuật toán 3 : Thủ tục lập tính giai thừa Producer giaithua( n nguyên dương) For i := 1 to n do x := i · x (x là n!) end 3.4 3.4.1 Tính đúng đắn của chương trình Mở đầu Giả sử rằng chúng ta đã thiết kế được một thuật toán để giải một bài toán nào đó và đã viết chương trình để thể hiện ra nó Liệu ta có thể tin chắc rằng chương trình luôn cho lời giải đúng ?... Số TT Tên chương, mục 1 Quan hệ và suy luận toán học 1.1 Quan hệ hai ngôi 1.2 Suy luận toán học xi Lý thuyết Bài tập Kiểm tra Tổng số 3 1 4 MỤC LỤC 2 Tính roán và xác suất 1.1 Tính toán 1.2 Xác suất Ma trận 1.1 Ma trận 1.2 Thuật toán và độ phức tạp của thuật toán Phương pháp tính 1.1 Số xấp xỉ và sai số 1.2 Giải gần đúng các phương trình 1.3 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.4 Nội suy và phương... Ruồi trâu 8 3 Suy luận toán học 3 Suy luận toán học 3.1 3.1.1 Quy nạp toán học Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan tới số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau : Bước 1 Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1 Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k ≥ 1 (gọi là giả thiết quy nạp), chứng minh rằng nó cũng... tập hợp Quan hệ tương đương và phân hoạch Quan hệ thứ tự MỤC LỤC 2 Suy luận toán học Thời gian : 02 giờ 2 1 2 2 2 3 2 4 Quy nạp toán học Định nghĩa bằng đệ quy Các thuật toán đệ quy Tính đúng đắn của chương trình Chương 2 : Tính toán và xác suất Mục tiêu ∙ Liệt kê các nguyên lý trong việc tính toán các xác xuất ∙ Mô tả chính xác các xác xuất ∙ Trả lời chính xác các bảng