2 Giải gần đúng các phương trình
2.3 Phương pháp lặp
Xét phương trình f(x) =0với giả thiết nó có nghiệm thựcα phân ly trong khoảng (a,b). Trước hết chuyển phương trình về dạng
x=ϕ(x) (4.8)
và tương đương f(x) =0.
Sau đó ta chọn một số x0 nào đó thuộc (a,b)làm xấp xỉ đầu rồi tính dần dãy số
{xn} theo quy tắc
xn =ϕ(xn−1), n=1,2, . . . (4.9)
Nếu dãy{xn} hội tụ đến nghiệmα và ta lấyxn vớinlớn làm giá trị gần đúng cho nghiệm α, thì ta nói rằng đã giải gần đúng phương trình f(x) =0 nhờ phương pháp lặp, Do quá trình tính này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp này gọi là phương pháp lặp, hàmϕ gọi là hàm lặp.
Định nghĩa 4.2.8 (Sự hội tụ) Nếu dãy {xn} hội tụ về α khi n → ∞ thì ta nói phương pháp trên hội tụ.
Khi nói phương pháp lặp hội tụ thì xn càng gần α nếu n càng lớn. Cho nên ta có thể xemxnvới nxác định là giá trị gần đúng củaα. Nếu phương pháp lặp không hội tụ thìxncó thể rất xa α. Vì vậy chỉ có phương pháp lặp hội tụ mới có giá trị. Để kiểm tra phương pháp lặp có hội tụ hay không ta có định lý sau.
Định lý 4.2.9 Với các kí hiệu được nêu trong các công thức (4.8) và (4.9). Giả sử 1. Khoảng(a,b)là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) =0.
2. Mọi xn tính theo công thức (4.9) đều thuộc khoảng(a,b).
3. Hàm ϕ(x)có đạo hàm thỏa mãn
ϕ′(x)≤q<1, ∀x∈(a,b)
trong đóq là một hằng số. h
Thế thì phương pháp lặp ở trên hội tụ, nghĩa là
lim
n→∞xn =α.
Khi hàm ϕ đã thỏa mãn giả thiết 3 của Định lý 4.2.9 thì sự thỏa mãn giả thiết 2 phụ thuộc việc chọnx0và nó thỏa mãn trong điều kiện sau : Giả sử|ϕ′(x)≤q<1|.
∙ Nếu ϕ′(x)>0 thì ta có thể chọnx0 thuộc (a,b)một cách bất kì.
∘ x0=a khia<α < a+b
2
∘ x0=b khi a+b
2 <α <b.
Muốn biết α thuộc nửa khoảng nào ta chỉ việc tính f a+2b rồi so sánh dấu của nó với f(a).
2.3.1 Công thức đánh giá sai số thứ nhất
|α−xn| ≤ q
1−q|xn−xn−1|
2.3.2 Công thức đánh giá sai số thứ 2
|α−xn| ≤ |f(xn)|
m
trong đó mlà số dương xác định bởi|f′(x)| ≥m>0tại x∈(a,b).
Ví dụ 4.2.10 Tìm nghiệm gần đúng của phương trìnhx3−x−1=0trong khoảng phân ly nghiệm(1,2)bằng phương pháp lặp.
Giải Trước hết ta phải tìm hàm lặpϕ(x)thích hợp để phương pháp lặp hội tụ, tức làϕ(x) phải thỏa mãn những giả thiết của Định lý 4.2.9.
Ta có thể viết lại phương trình đã cho như saux=x3−1 và đặtϕ(x) =x3−1. Khi đóϕ′(x) =3x2≥3 tại mọix∈[1,2]. Với hàmϕ đã chọn như vậy phương pháp lặp không có hy vọng hội tụ.
Bây giờ ta viết lại phương trình đã cho như saux3=x+1, suy rax=√3
x+1 và đặtϕ(x) =√3 x+1. Lúc đó : ϕ′(x) = 1 3 3 q (x+1)2
Nên 0<ϕ′(x)< 13 tại mọix∈[1,2]. Như vậy hàm ϕ(x) =√3
x+1 thoản mãn giả thiết của Định lý 4.2.9. Do đó để bắt đầu quá trình lặp ta chọnx0 là một số bất kì thuộc [1,2], chẳng hạnx0=1. Sau đó ta tínhxntheo công thức (4.9). Dưới đây là một số giá trịxn xem là giá trị gần đúng củaα cùng với sai số được đánh giá theo công thức đánh giá sai số thứ nhất, trong đóq= 13.
x0=1
x2=1.312293837 |α−x2| ≤0.027 x3=1.322353819 |α−x3| ≤0.005 x4=1.324268745 |α−x4| ≤0.00096 x5=1.3242632625 |α−x4| ≤0.000182
Kết quả này có quá nhiều chữ số thập phân đáng nghi. Ta quy tròn nó đến bốn chữ số lẻ thập phân bằng cách viết
α−1.3246 = α−x5+x5−1.3246
|α−1.3246| ≤ |α−x5|+|x5−1.3246| ≤ 0.000182+0.00003265
≤ 0.00025
Do đó|α−1.3246| ≤0.00025. Vậy cóα =1.3246±0.00025. So với phương
pháp chia đôi thì phương pháp lặp hội tụ nhanh hơn nhiều. g
Chú ý :trong thực tế người ta dừng quá trình tính khi
|xn−xn−1|< sai số cho phépε.
2.3.3 Tóm tắt phương pháp lặp
TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP LẶP
1. Cho phương trình f(x) =0. 2. Ấn định sai số cho phépε.
3. Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b]. 4. Tìm hàm lặp hội tụϕ.
5. Chọn xấp xỉ đầux0.
6. Tínhxn=ϕ(xn−1) với sai số|α−xn| ≤ q
1−qε thì dừng. 7. Kết quả α ≈xnvới sai số |α−xn|
2.4 Phương pháp dây cung2.4.1 Mô tả phương pháp