4 Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu
4.3Hình minh họa định lý (4.2.3)
Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó, nhưng đôi khi ta chỉ cần tìm gần đúng 1 nghiệm nằm trong khoảng nào đó.
Định nghĩa 4.2.4 Khoảng(a,b)nào đó gọi làkhoảng phân ly nghiệmcủa phương trình (4.1) nếu chứa một và chỉ một nghiệm của phương trình đó.
Trong thực hành tính toán thì khoảng phân ly này càng nhỏ càng tốt. Khoảng phân ly nhỏ thì việc tìm nghiệm gần đúng sẽ cho độ chình xác cao và rút gọn được quá trình tính toán. Trong hình 4.3 phương trình f(x) =0 có hai khoảng phân ly nghiệm là(a,c) và(c,b).
Định lý 4.2.5 Nếu [a,b] là một khoảng đóng trong đó hàm f(x) liên tục, đạo hàm f′(x) không đổi dấu, không bằng 0 trên một khoảng và f(a),f(b) trái dấu thì(a,b) là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1). h
Muốn tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình (4.1) người ta khảo sát hàm sốy= f(x) rồi áp dụng Định lý 4.2.5.
Ví dụ 4.2.6 Cho phương trình
f(x) =x3−x−1=0 (4.7)
Hãy chứng tỏ phương trình này có nghiệm thực và tìm khoảng phân ly nghiệm.
Giải Trước hết ta xét sự biến thiên của hàm số f(x). Nó xác định và liên tục tại mọixđồng thời
f′(x) =3x2−1=0 và x=±√1
3
Ta suy ra bảng biến thiên
x −∞ − √ 3 3 √ 3 3 +∞ f′(x) + 0 − 0 + f(x) −∞% −1+2 √ 3 9 &−1−2 √ 3 9 % +∞ Ta có f − √ 3 3 ! · f √ 3 3 !
<0. Vậy đồ thị cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất, do đó phương trình4.7 có 1 nghiệm thực duy nhất, kí hiệu làα. Ta tính thêm
∙ f(1) =13−1−1<0
Vậy khoảng(1,2)chứa nghiệm của phương trình(4.7). Nhưng vì phương trình này chỉ có 1 nghiệm nên chính nghiệm ấy phân ly trong(1,2).
Tóm lại, phương trình (4.7)có 1 nghiệm thực duy nhấtα, phân ly trong khoảng
(1,2). g
2.2 Phương pháp chia đôi 2.2.1 Mô tả phương pháp
Xét phương trình f(x) = 0 với giả thiết nó có nghiệm thực là α đã phân ly trong khoảng (a,b). Lấy x ∈ [a,b] làm giá trị gần đúng cho α thì sai số tuyệt đối |x−α| ≤b−a. Để có sai số nhỏ ta tìm cách thu nhỏ dần khoảng phân ly nghiệm bằng cách chia đôi liên tiếp các khoảng phân ly nghiệm đã tìm ra.
∙ Trước hết ta chia đôi đoạn [a,b], điểm chia là c= a+b
2 . Ta tính f(c). Nếu f(c) = 0 thì c chính là nghiệm của đúng α. Thường thì f(c)̸= 0. Khi ấy khoảng phân ly nghiệm mới là(a,c)hoặc (c,b).
∙ Để xác định khoảng phân ly mới ta tính f(c) và so sánh dấu của f(c) với
f(a)
– Nếu f(c)trái dấu f(a) thì khoảng phân ly mới là(a,c).
– Nếu f(c)cùng dấu f(a)thì khoảng phân ly mới là (c,b).
Như vậy sau khi chia đôi đoạn[a,b]ta được khoảng phân ly mới thu nhỏ là (a,c) hay(c,b), ký hiệu(a1,b1). Đoạn[a1,b1]nằm trong đoạn [a,b]và chỉ dài bằng nửa[a,b]tức là
b1−a1= b−a 2
∙ Tiếp tục chia đôi đoạn[a1,b1]và làm như trên. Nếu a1+b1
2 không là nghiệm
đúngα, ta sẽ được khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ mới, ký hiệu là(a2,b2), nó nằm trong[a1,b1]tức là trong[a,b]và chỉ dài bằng nửa đoạn [a1,b1] (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b2−a2= b1−a1
2 =
b−a 22
∙ Lặp lạiviệc làm trên đến lần thứ n mà ta vẫn không thu được nghiệm đúng α thì ta sẽ được khoảng phân ly nghiệm thu nhỏ thứn, ký hiệu (an,bn), nó nằm trong [a,b]và dài bằng 1
2n của [a,b]
bn−an= b−a
Có thể lấy an làm giá trị gần đúng củaα, lúc đó sai số là
|α−an| ≤bn−an= b−a 2n
Cũng có thể lấy bn làm giá trị gần đúng củaα, lúc đó sai số là
|α−bn| ≤bn−an= b−a 2n
Cũng có thể lấy an+bn
2 làm giá trị gần đúng củaα, lúc đó sai số là
α−an+bn 2 ≤bn−an = b−a 2n+1
Do đó vớin đủ lớn, an haybn đều đủ gầnα. Khin →∞thì an→α và bnα. Nên ta nói phương pháp chia đôi hội tụ.
Ví dụ 4.2.7 Tìm nghiệm gần đúng của phương trìnhx3−x−1=0trong khoảng phân ly nghiệm(1,2).
Giải Ta có: f(1) =−1<0, f(2) =5>0
Ta chia đôi đoạn[1,2]với điểm chia là 32. Ta có: f(32) = 78 trái dấu f(1). Vậy α ∈ 1,32.
Ta chia đôi đoạn1,32, điểm chia là 54. Ta có f(54) =−1964 <0cùng dấu f(1). Vậy α ∈ 54,32.
Ta chia đôi đoạn54,32, điểm chia là 118 . Ta có f(118) =−115512 <0 cùng dấu f(54). Vậy α ∈ 54,118 .
Ta chia đôi đoạn54,118 , điểm chia là 2116. Ta có f(2116) =−4096211 <0 cùng dấu
f(54). Vậyα ∈ 2116,118 .
Ta chia đôi đoạn2116,118, điểm chia là 4332. Ta có f(4332)>0cùng dấu f(2116). Vậy α ∈ 2116,4332.
Ta dừng quá trình chia đôi tại đây và lấy 2116 =1.3125hay 4332 =1.34375 làm giá trị gần đúng của α thì sai số không vượt quá 1
25 = 321 =0.03125. Nếu ta lấy
85
64 =1.328125làm giá trị gần đúng củaα thì sai số không vượt quá
1
n an bn cn f(cn) 0 1 2 3 2 + 1 1 3 2 5 4 − 2 5 4 3 2 11 8 + 3 5 4 11 8 21 16 − 4 21 16 11 8 43 32 + 5 21 16 43 32 85 64 + g
2.2.2 Sơ đồ tóm tắt phương pháp chia đôi
TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP CHIA ĐÔI (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1. Cho phương trình f(x) =0
2. Ấn định sai số cho phép chiaε.
3. Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b] 4. c:= a+b 2 ; while f(c)̸=0và b−a 2 >ε do if f(a)f(c)<0 then b:=c; elsea:=c; c:= a+b 2 ;
2.3 Phương pháp lặp
Xét phương trình f(x) =0với giả thiết nó có nghiệm thựcα phân ly trong khoảng (a,b). Trước hết chuyển phương trình về dạng
x=ϕ(x) (4.8)
và tương đương f(x) =0.
Sau đó ta chọn một số x0 nào đó thuộc (a,b)làm xấp xỉ đầu rồi tính dần dãy số
{xn} theo quy tắc
xn =ϕ(xn−1), n=1,2, . . . (4.9)
Nếu dãy{xn} hội tụ đến nghiệmα và ta lấyxn vớinlớn làm giá trị gần đúng cho nghiệm α, thì ta nói rằng đã giải gần đúng phương trình f(x) =0 nhờ phương pháp lặp, Do quá trình tính này có tính lặp đi lặp lại nên phương pháp này gọi là phương pháp lặp, hàmϕ gọi là hàm lặp.
Định nghĩa 4.2.8 (Sự hội tụ) Nếu dãy {xn} hội tụ về α khi n → ∞ thì ta nói phương pháp trên hội tụ.
Khi nói phương pháp lặp hội tụ thì xn càng gần α nếu n càng lớn. Cho nên ta có thể xemxnvới nxác định là giá trị gần đúng củaα. Nếu phương pháp lặp không hội tụ thìxncó thể rất xa α. Vì vậy chỉ có phương pháp lặp hội tụ mới có giá trị. Để kiểm tra phương pháp lặp có hội tụ hay không ta có định lý sau.
Định lý 4.2.9 Với các kí hiệu được nêu trong các công thức (4.8) và (4.9). Giả sử 1. Khoảng(a,b)là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x) =0.
2. Mọi xn tính theo công thức (4.9) đều thuộc khoảng(a,b).
3. Hàm ϕ(x)có đạo hàm thỏa mãn
ϕ′(x)≤q<1, ∀x∈(a,b)
trong đóq là một hằng số. h
Thế thì phương pháp lặp ở trên hội tụ, nghĩa là
lim
n→∞xn =α.
Khi hàm ϕ đã thỏa mãn giả thiết 3 của Định lý 4.2.9 thì sự thỏa mãn giả thiết 2 phụ thuộc việc chọnx0và nó thỏa mãn trong điều kiện sau : Giả sử|ϕ′(x)≤q<1|.
∙ Nếu ϕ′(x)>0 thì ta có thể chọnx0 thuộc (a,b)một cách bất kì.
∘ x0=a khia<α < a+b
2
∘ x0=b khi a+b
2 <α <b.
Muốn biết α thuộc nửa khoảng nào ta chỉ việc tính f a+2b rồi so sánh dấu của nó với f(a).
2.3.1 Công thức đánh giá sai số thứ nhất (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
|α−xn| ≤ q
1−q|xn−xn−1|
2.3.2 Công thức đánh giá sai số thứ 2
|α−xn| ≤ |f(xn)|
m
trong đó mlà số dương xác định bởi|f′(x)| ≥m>0tại x∈(a,b).
Ví dụ 4.2.10 Tìm nghiệm gần đúng của phương trìnhx3−x−1=0trong khoảng phân ly nghiệm(1,2)bằng phương pháp lặp.
Giải Trước hết ta phải tìm hàm lặpϕ(x)thích hợp để phương pháp lặp hội tụ, tức làϕ(x) phải thỏa mãn những giả thiết của Định lý 4.2.9.
Ta có thể viết lại phương trình đã cho như saux=x3−1 và đặtϕ(x) =x3−1. Khi đóϕ′(x) =3x2≥3 tại mọix∈[1,2]. Với hàmϕ đã chọn như vậy phương pháp lặp không có hy vọng hội tụ.
Bây giờ ta viết lại phương trình đã cho như saux3=x+1, suy rax=√3
x+1 và đặtϕ(x) =√3 x+1. Lúc đó : ϕ′(x) = 1 3 3 q (x+1)2
Nên 0<ϕ′(x)< 13 tại mọix∈[1,2]. Như vậy hàm ϕ(x) =√3
x+1 thoản mãn giả thiết của Định lý 4.2.9. Do đó để bắt đầu quá trình lặp ta chọnx0 là một số bất kì thuộc [1,2], chẳng hạnx0=1. Sau đó ta tínhxntheo công thức (4.9). Dưới đây là một số giá trịxn xem là giá trị gần đúng củaα cùng với sai số được đánh giá theo công thức đánh giá sai số thứ nhất, trong đóq= 13.
x0=1
x2=1.312293837 |α−x2| ≤0.027 x3=1.322353819 |α−x3| ≤0.005 x4=1.324268745 |α−x4| ≤0.00096 x5=1.3242632625 |α−x4| ≤0.000182
Kết quả này có quá nhiều chữ số thập phân đáng nghi. Ta quy tròn nó đến bốn chữ số lẻ thập phân bằng cách viết
α−1.3246 = α−x5+x5−1.3246
|α−1.3246| ≤ |α−x5|+|x5−1.3246| ≤ 0.000182+0.00003265
≤ 0.00025
Do đó|α−1.3246| ≤0.00025. Vậy cóα =1.3246±0.00025. So với phương
pháp chia đôi thì phương pháp lặp hội tụ nhanh hơn nhiều. g
Chú ý :trong thực tế người ta dừng quá trình tính khi
|xn−xn−1|< sai số cho phépε.
2.3.3 Tóm tắt phương pháp lặp
TÓM TẮT PHƯƠNG PHÁP LẶP
1. Cho phương trình f(x) =0. 2. Ấn định sai số cho phépε.
3. Xác định khoảng phân ly nghiệm [a,b]. 4. Tìm hàm lặp hội tụϕ.
5. Chọn xấp xỉ đầux0.
6. Tínhxn=ϕ(xn−1) với sai số|α−xn| ≤ q
1−qε thì dừng. 7. Kết quả α ≈xnvới sai số |α−xn| (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.4 Phương pháp dây cung2.4.1 Mô tả phương pháp 2.4.1 Mô tả phương pháp
Xét phương trình f(x) =0 trong khoảng phân ly nghiệm là (a;b). Nội dung của phương pháp dây cung là ta thay đường cong y = f(x) bằng dây cung của nó trong (a;b).Trong hình 4.4 ta thay cungABbởi dây cungABrồi lấy hoành độ x1
của giao điểmPcủa dây cung với trục hoành làm giá trị gần đúng của nghiệmα. Phương trình dây cungAB
y− f(a)
f(b)− f(a) =
x−a b−a
Tại giao điểmPta cóy=0 vàx=x1, nên ta có
−f(a) f(b)− f(a) = x1−a b−a Từ đó suy ra x1= a f(b)−b f(a) f(b)− f(a) (4.10)
Phương pháp tínhx1 như vậy gọi là phương pháp dây cung.
Hình 4.4: Phương pháp dây cung
Sau khi tínhx1và nếu nó không là nghiệm đúng ta có thể xem xét khoảng phân ly nghiệm mới là (a,x1) hay (x1,b), và đặt nó là (a1,b1), rồi tiếp tục áp dụng phương pháp dây cung vào khoảng phân ly nghiệm mới, nhỏ hơn khoảng cũ. và cứ thế tiếp tục ta sẽ được các giá trịx2,x3,x3, . . . ngày càng gầnα.
Ta chứng minh được công thức tổng quát
xn+1 = anf(bn)−bnf(an)
f(bn)− f(an) (4.11)
Sai số được xác định bằng định lý sau.
Định lý 4.2.11 Cho hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và {xn} là một dãy trong đoạn[a,b]. Nếu f′xkhông đổi dấu trên[a,b]và với mọix∈[a,b]ta có
0<m≤ f′(x)≤M <∞ thì |xn−α| ≤ M−m m |xn−xn−1|. h
Ví dụ 4.2.12 Tìm nghiệm gần đúng nghiệm của phương trìnhx3−x−1=0trong khoảng phân ly nghiệm (1,2)bằng phương pháp dây cung.
Giải Ta có: a=1, b =2; f(a) = f(1) =−1<0, f(b)
2.4.2 Tóm tắt phương pháp dây cung
Tóm tắt phương pháp dây cung
1. Cho phương trình f(x) =0
2. Ấn định sai số cho phépε
3. Tìm khoảng phân ly nghiệm(a;b) 4. x1:=b; whlie f(x)̸=0và b−a>ε do x1:=a− b−a f(b)− f(a)f(a); if f(a)f(x1)<0then b:=x1; elsea:=x1; Kết quảα ≈x1.Sai số|α−x1| ≤|f(x1)| m trong đó0<m≤ |f′(x)| với x∈(a,b).
2.4.3 Bài toán :
Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 trong khoảng phân ly nghiệm (a;b) bằng phương pháp dây cung.
Phương pháp giải
A. Xét hàm số f(x)trong khoảng phân ly(a;b). 1. Tính: ∙ f(a) =· · · ∙ f(b) =· · · 2. Tính: ∙ x1= a f(b)−b f(a) f(b)− f(a) =· · · ∙ f(x1) =· · ·
3. Kiểm tra sai số. Xác định khoảng phân ly mới (f(x1)· f(?)<
0). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
B. Xét hàm số f(x)trên khoảng phân ly mới. Lập lại các bước1,2,3,4
cho đến khi đạt kết quả như mong muốn.
Ví dụ 4.2.13 Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) =x3−x−1=0trong khoảng phân ly nghiệm(1; 2)bằng phương pháp dây cung. Lấy 3 chữ số lẻ phần thập phân.
Giải
* Xét hàm số f(x) =x3−x−1trong khoảng phân ly (1; 2). 1. Ta có: ∙ f(a) = f(1) =13−1−1=−1<0 ∙ f(b) = f(2) =23−2−1=5>0 2. Ta có: ∙ x1= a f(b)−b f(a) f(b)− f(a) = 1.5−2.(−1) 5−(−1) ≈1,167 ∙ f(x1) =−0,578<0
3. Sai số:|2−1,167|=0,833
Do f(x1)· f(2)<0 nên ta được khoảng phân ly mới là(1,167; 2) * Xét trên khoảng phân ly mới(1,167; 2)
1. Ta có: ∙ f(1,167) =−0,578<0 ∙ f(2) =5>0 2. Ta có: ∙ x2= 1,1675.5−2.(−0,578) 5−(−0,578) ≈1,253 3. Sai số |2−1,253|=0,747 g
2.5 Phương pháp tuyến tính (Newton) 2.5.1 Mô tả phương pháp
Xét trong khoảng phân ly nghiệm(a;b). Ý tưởng chủ đạo của phương pháp tuyến tính là thay tương ứng cung ABbởi tiếp tuyến tại B.