4 Nội suy và phương pháp bình phương cực tiểu
2.1 Hình minh họa nguyên lý chuồng bồ câu
3Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 – 1859) là nhà toán học người Đức gốc Pháp.
Ví dụ 2.1.25 Trong ngăn kéo có nhiều đôi vớ, chúng có 3 màu tất cả. Các đôi vớ này nằm trong cùng ngăn kéo, không cần nhìn tôi chỉ cần lấy 4 chiếc vớ bất kì.
Theo nguyên tắc Dirichlet chắc chắn có 2 chiếc vớ cùng màu. g
Ví dụ 2.1.26 Trong số 367 người bao giờ cũng tìm được 2 người có ngày sinh
nhật giống nhau bởi vì chỉ có tất cả 366 ngày sinh nhật khác nhau. g
Định lý 2.1.27 (Nguyên lý Dirichlet tổng quát) Nếu xếp kn+1 đối tượng vàon
cái hộp thì sẽ có 1 hộp chứa ít nhất k+1 phần tử. h
Ví dụ 2.1.28 Trong 100 người, chứng minh rằng có ít nhất 9 người sinh cùng một tháng.
Giải Xếp những người cùng sinh một tháng vào cùng một nhóm. Có 12 tháng tất cả. Ta có100=12.8+4, vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một nhóm có ít
nhất là 8+1=9 người. g
Ví dụ 2.1.29 Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp. Chứng minh rằng có một lớp có ít nhất là 44 học sinh.
Giải Ta có 1000=43.23+11, vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một lớp có
ít nhất là43+1 =44 học sinh. g
Ví dụ 2.1.30 Có 5 đấu thủ thi đấu cờ, mỗi người đấu một trận với mỗi đấu thủ khác. Chứng minh rằng trong suốt thời gian thi đấu, luôn tồn tại hai đấu thủ có số trận đã đấu bằng nhau.
Giải Ta có số trận đã đấu của mỗi người có thể là0,1,2,3,4. Nhưng vì không thể có cùng lúc một người đã đấu 4 trận và một người chưa đấu trận nào, nên có tối đa 4 loại số trận đã đấu. Vận dụng nguyên lý Dirichlet ta có ít nhất có 2
người có cùng số trận đã đấu. g
Ví dụ 2.1.31 Có 5 loại học bổng khác nhau. Hỏi có ít nhất bao nhiêu học sinh nhận học bổng biết rằng có ít nhất 6 học sinh nhận học bổng giống nhau ?
Giải Theo nguyên lý Dirichlet thì số sinh viên nhận học bổng ít nhất cần có để đảm bảo chắc chắn có 6 sinh viên cùng nhận học bổng như nhau và là số nguyên nhỏ nhấtn sao cho n
5 >5. Số nguyên nhỏ nhất đó làn=5.5+1=26. g
Trong nhiều ứng dụng thú vị của nguyên tắc Dirichlet, khái niệm đối tượng và cái hộp cần được lựa chọn một cách khôn khéo hơn.
Ví dụ 2.1.32 Chứng minh rằng trong phòng họp bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong số những người dự họp là bằng nhau.
Giải Gọi số người dự họp làn, khi đó số người quen của một người nào đó trong phòng họp chỉ có thể nhận các giá trị từ 0đến n−1. Rõ ràng không có ai có số người quen là 0 vàn−1(tức là vừa không quen ai vừa quen tất cả). Vì vậy theo số lượng người quen ta chỉ có thể phân nngười không quán−1nhóm. Theo nguyên lý Dirichlet suy ra có ít nhất một nhóm phải có không ít hơn hai người, tức là luôn tìm được ít nhất hai người có số người quen là bằng nhau. g
Ví dụ 2.1.33 Trong một tháng gồm 30 ngày, một đội bóng chuyền thi đấu mỗi ngày ít nhất 1 trận nhưng chơi không quá 45 trận. Chứng minh rằng tìm được một giai đoạn gồm một số ngày liên tục nào đó trong tháng sao cho trong giai đoạn đó đội chơi đúng 14 trận.
Giải Gọi aj là số trận mà đội đã chơi từ ngày đầu tháng đến hết ngày j. Khi đó
1≤a1<a2<· · ·<a30 <45
⇔15≤a1+14<a2+14<· · ·<a30+14<59
Sáu mươi số nguyêna1,a2,· · ·,a30,a1+14,a2+14, . . . ,a30+14nằm giữa 1 và 59. Do đó theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 2 trong 60 số này bằng nhau. Vì vậy tồn tạiivà j sao choai =aj+14(j<i). Điều này có nghĩa là từ ngày j+1
đến hết ngàyiđội đã chơi đúng 14 trận. g
1.6 Bài tập
Bài 7. Trong một lớp có 18 bạn nam, 12 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn (a) Một bạn phụ trách quỹ lớp ?
(b) Hai bạn tùy ý, trong đó có một bạn nam và một bạn nữ ? (c) Hai bạn nam?
Bài 8. Trong 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sau cho
(a) Hai người đó là vợ chồng
(b) Hai người đó không là vợ chồng (c) Hai người tùy ý.
Bài 9. Giữa hai thành phố A và B có 5 đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A
Bài 10. Hỏi có thể lập bao nhiêu biển số xe trên 100 phân khối ở tỉnh Tiền Giang, biết dòng số có 5 chữ số?
Bài 11. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu
(a) Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được ? (b) Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
Bài 12. Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài là 8 hoặc bắt đầu bởi 101 hoặc là 111 ?
Bài 13. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: (a) Gồm 2 chữ số ?
(b) Gồm 2 chữ số khác nhau ? (c) Số lẻ gồm 2 chữ số ?
(d) Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau ? (e) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại ?
(f) Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5 ?
Bài 14. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả (a) Gồm 6 chữ số
(b) Gồm 6 chữ số khác nhau
(c) Gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
Bài 15. Từ các chữ số 1, 5, 6, 7 có thể lập bao nhiêu số tự nhiên (a) Có 4 chữ số
(b) Có 4 chữ số khác nhau
(c) Có 3 chữ số khác nhau và là số lẻ
(d) Có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
(e) Có 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
Bài 16. Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: (a) Khác nhau ?
(b) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300 ? (c) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 ? (d) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn ?
(e) Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ ? Bài 17.
(a) Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ hơn 400 ?
(b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng (300,500)?
Bài 18. Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau ?
Bài 19. Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi)? Bài 20. Một lớp có 40 học sinh đăng kí chơi ít nhất một trong hai môn bóng đá và
cầu lông. Có 30 em đăng kí bóng đá, 25 em đăng kí cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đăng kí cả hai môn ?
Bài 21. Từ các số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố ?
Bài 22. Trong một trường có 160 học sinh tham gia câu lạc bộ Tin học, 160 học sinh tham gia câu lạc bộ Ngoại ngữ, 50 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ và 100 học sinh không tham gia câu lạc bộ nào trong hai câu lạc bộ trên. Hỏi trường có bao nhiêu học sinh ?
Bài 23. Có bao nhiêu cách sắp chỗ ngồi cho mười người khách vào 10 ghế kê thành một dãy ?
Bài 24. Có bao nhiêu hoán vị của tập hợpa,b,c,d mà phần tử cuối làa ? Liệt kê chúng.
Bài 25. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau biết mỗi lọ cắm một bông nếu :
(a) Các bông hoa khác nhau. (b) Các bông hoa như nhau.
Bài 26. Có bao nhiêu số nguyên dương gồm 5 chữ số khác nhau và khác không ? Bài 27. Cần phân công ba bạn từ một tổ có 10 bạn để trực nhật. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công khác nhau ?
(a) Chọn 3 bạn để quét lớp.
(b) Chọn 3 bạn nhận ba giải thưởng khác nhau.
Bài 29. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Bài 30. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn ?
Bài 31. Có bao nhiêu cách chia 10 người thành :
(a) Hai nhóm, một nhóm 7 người, một nhóm 3 người (b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người.
Bài 32. Một giá sách bốn tầng xếp 40 quyển sách khác nhau, mỗi tầng xếp 10 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chọn các quyển sách sao cho từ mỗi tầng có :
(a) Hai quyển sách ? (b) Tám quyển sách ?
Bài 33. Cô giáo chia 4 quả táo, 3 quả cam và hai quả chuối cho 9 cháu (mỗi cháu một quả). Hỏi có bao nhiêu cách chia ?
Bài 34. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số :
(a) Bắt đầu bằng chữ số 5?
(b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? (c) Bắt đầu bằng 23?
(d) Không bắt đầu bằng 345?
Bài 35. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
(a) Bắt đầu bởi chữ số 9 ?
(b) Không bắt đầu bởi chữ số 1 ? (c) Bắt đầu bởi 19 ?
(d) Không bắt đầu bởi 135 ?
Bài 36. Một đoàn đại biểu có 4 học sinh chọn từ tổ gồm 5 nam và 4 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong đó có ít nhất 1 nam và ít nhất 1 nữ ?
Bài 37. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu :
(a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý. (b) Có 1 nam và 3 nữ. (c) Có 2 nam và 2 nữ. (d) Có ít nhất 1 nam.
(e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
Bài 38. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó :
(a) Có đúng 1 bông hồng đỏ ?
(b) Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ?
Bài 39. Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
(a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ?
(b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ ?
Bài 40. Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu :
(a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
(b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4 ?
Bài 41. Một lớp có 50 học sinh. Chứng minh rằng có ít nhất 5 học sinh có tháng sinh giống nhau.
Bài 42. Một trung tâm máy tính có 151 máy vi tính. Các máy của trung tâm được đặt tên bởi một số nguyên dương từ 1 đến 300 sao cho không có hai máy nào được đặt tên trùng nhau. Chứng minh rằng luôn tìm được hai máy có tên là nguyên liên tiếp.
Bài 43. Có 30 học sinh trong một lớp học. Khi làm bài trắc nghiệm có 1 học sinh phạm 12 lỗi, các học sinh khác phạm ít lỗi hơn. Chứng minh rằng có 3 học sinh có cùng số lỗi ?
Bài 44. Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra, không có ai dưới điểm 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng có ít nhất 6 học sinh có cùng số điểm (giả sử điểm số đều là số nguyên).
Bài 45. Một nhà ăn có tổng cộng 95 chiếc bàn và 465 chỗ ngồi. Có chắc rằng có 1 bàn có ít nhất 6 chỗ hay không ? 1.7 Đáp án Bài 7. (a)18+12=30cách, (b)18.12=216 cách, (c)18.17=306 cách. Bài 8. (a)10.1=10cách, (b)10.9=90cách, (c)10.10=100 cách. Bài 9. Có 5.4=20cách. Bài 10. Có26.9.10.10.10.10.10=234.105 bảng số. Bài 11. (a) 35, (b) 29. Bài 12. Có25+25.
Bài 13. (a) 25, (b) 20, (c) 15, (d) 8, (e) 120, (f) 24.
Bài 14. (a)66, (b) 6.5.4.3.2.1=720, (c)3.5.4.3.2=360
Bài 15. 1,5,7,8
Bài 16. (a) 100, (b) 60, (c) 36, (d) 52, (e) 48. Bài 17. (a) 35, (b) 24. Bài 18. 15 số. Bài 19. có9.10.10=900 (số). Bài 20. Có30+25−40=15học sinh. Bài 21. Có4+4−1=7số. Bài 22. Có160+140−50=250. Bài 23. 10!cách. Bài 24. 3! hoán vị. Bài 25. (a) 60, (b) 10. Bài 26. A59 số. Bài 27. C130 cách.
Bài 28. (a)C103 , (b)A310. Bài 29. CóA310.A36 cách. Bài 30. 4651200 cách. Bài 31. (a)C107 , (b)C105 .C53
Bài 32. (a) C102 4 cách, (b) C108 4 cách.
Bài 33. Chọn 4 trong 9 cháu phát táo, cóC94 cách. Chọn 3 trong 5 cháu cón lại đế phát cam, có C53 cách. Chuối sẽ phát cho 2 cháu còn lại. Vì vậy có
C94.C53=1260cách. Bài 34. (a)4!, (b)5!−4!, (c)3!, (d)5!−2!. Bài 35. (a) 24, (b) 96, (c) 6, (d) 118. Bài 36. 120. Bài 37. (a)C404 , (b)C251 .C153 , (c)C252 .C152 , (d)C251 .C153 +C252 .C152 +C253 .C151 +C254 , (e)C404 −C254 −C154 . Bài 38. (a) 112, (b) 150. Bài 39. (a) 2974, (b) 15048. Bài 40. (a) 55440, (b) 120.
Bài 41. Hướng dẫn:xem mỗi học sinh là 1 phần tử, mỗi tháng là 1 tập hợp khi đó ta có 50 phần tử phân vào 12 tập hợp.
Bài 42. Học sinh tự giải.
Bài 43. Hướng dẫn:có 1 học sinh phạm lỗi nhiều nhất là 12 lỗi, xem số các lỗi là 1 tập hợp khi đó ta có tất cả 11 tập hợp và 29 học sinh.
Bài 44. Hướng dẫn: có tất cả 10 loại điểm số, có 2 học sinh được 10 điểm. Vậy còn tất cả 43 học sinh và 9 loại điểm.
Bài 45. Ta xem 465 chỗ ngồi là 465 phần tử và 95 chiếc bàn là 95 tập hợp. Ta có
5.95>465. Do vậy có khả năng xảy ra là bàn chỉ có nhiều nhất là 5 chỗ ngồi. Điều đó có nghĩa là không chắc rằng có 1 bàn có ít nhất 6 chỗ ngồi.
2 Xác suất
Khoa học nghiên cứu về xác suất là một phát triển trong thời kỳ cận đại. Việc chơi cờ bạc cho chúng ta thấy rằng các ý niệm về xác suất đã có từ trước đây hàng nghìn năm, tuy nhiên các ý niệm đó được mô tả bởi toán học và sử dụng trong thực tế thì có muộn hơn rất nhiều.
Hai nhà toán học Pierre de Fermat và Blaise Pascal là những người đầu tiên đặt nền móng cho học thuyết về xác suất vào năm 1654. Christiaan Huygens 1657 được biết đến như là người đầu tiên có công trong việc đưa xác suất thành một vấn đề nghiên cứu khoa học.
Học thuyết chủ nghĩa về xác suất bắt đầu bằng những lần thư từ qua lại giữa Pierre de Fermat và Blaise Pascal . Christiaan Huygens đã đưa ra những hiểu biết đầu tiên mang tính khoa học về vấn đề này. Các cuốn Ars Conjectandi của Jakob