Các dạng toán hình tọa độ không gian - Phương trình mặt phẳng

Các dạng toán phương trình mặt phẳng trong không gian

TÓM TẮT TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Copyright c 2014 by Nguyễn Hồng Điệp

Phần I Hình học

3

Chương 1

Phương pháp tọa độ trong không gian

A Vectơ trong không gian

Trong không gian cho các vectơ−→u1= x1, y1, z1

• Gọiϕlà góc hợp bởi hai vectơ 0◦¶ ϕ ¶ 180◦

1

−→u

2

• −→A B = x B − x A , y B − y A , z B − z A

A B=p(x B − x A)2+ y B − y A
2+ (z B − z A)2

• Tọa độ các điểm đặc biệt:

? Tọa độ trung điểmI củaA B:I

y1 z1

y2 z2

,

z1 x1

z2 x2

,

x1 z1

x2 z2

−→a .

−→

b

sin

? Diện tích tam giác:S A BC =1

2

h−→

A B ,−→

ACi

? Thể tích tứ diện:V A BC D=1

6

• Nếu−→n = (a,b,c)là vectơ pháp tuyến của(α)thìk −→n , k 6= 0cũng là vectơ pháp tuyến của

(α) Do đó một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến Trong một số trường hợp ta cóthể tìm vectơ pháp tuyến bằng cách chọn một giá trị cụ thể choa (hoặcb hoặcc) vàtính hai giá trị còn lại đảm bảo đúng tỉ lệa : b : c

C Vị trí tương đối hai mặt phẳng

Cho đường thẳngd quaM0 x0, y0, z0

và có vectơ chỉ phương là−→u = (a,b,c) Khi đó:

• Phương trình tham số củad

E Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Đường thẳngd1quaM1và có vectơ chỉ phương là−→u1,d2quaM2và có vectơ chỉ phương là

• d1vàd2chéo nhau⇔”−→u1, −u→

2

—.−−−→

M1M26= 0

F Góc

• Góc giữa hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α)có vectơ pháp tuyến là−→n α, mặt phẳng β

• Góc giữa hai đường thẳng: Cho hai đường thẳng d1vàd2có các vectơ chỉ phương là−→u1

−→u

1.−u→

2

−→u

1

−→u

2

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương là−→u ,mặt phẳng(α)có vectơ pháp tuyến là−→n , khi đó góc giữad và(α)làϕđược tính bằng

sinϕ =

−→u −→n

−→u .−→n

a2+b2+ c2

• Khoảng cách từ điểmM tới đường thẳng∆quaM0và có vectơ chỉ phương−→u là

d (A,∆) =

h−−−→

M M0, −→u i

−→u

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau∆1và∆2biết∆1quaM1và có vectơ chỉphương−→u1;∆2quaM2và có vectơ chỉ phương−→u2

d(∆1,∆2) =

”−→u

1, −u→

2

—.−−−→

M1M2

”−→u

1, −u→

2

—

• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng(α)và β
song song nhau là khoảng cách từM0∈ (α)

tới β

• Khoảng cách giữa hai đường thẳng∆1và∆2song song nhau là khoảng cách từM1∈ ∆1tới∆2.

• Khoảng cách giữa đường thẳngd và mặt phẳng(α)song song nhau là khoảng cách từđiểmM0∈ d tới(α)

I Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho(α)vàS (I ,R), khi đó nếu

• d (I , (α)) > R : mặt phẳng không cắt mặt cầu

• d (I , (α)) = R : mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu, khi đó mặt phẳng còn gọi là tiếp diện của

mặt cầu Tọa độ tiếp điểmM0là tọa độ hình chiếu vuông góc củaI xuống(α)

• d (I , (α)) < R: mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường trònC (I0, r), còn gọi là đường tròn

giao tuyến, khi đó

? TâmI0là tọa độ hình chiếu vuông góc củaI xuống mặt phẳng(α)

và mặt cầu(S) : (x −a)2+(y −b)2+(z −c)2= R2 Xét

vị trí tương đối củad và(S)ta dùng một trong hai cách:

1 Lập phương trình giao điểm (phương trình(∗)) củadvà(S), bằng cách lấyx , y , ztừ phươngtrình đường thẳng thay vào phương trình(S)và giải phương trình theo ẩnt

• Phương trình(∗)vô nghiệm:d và(S)không có điểm chung

• Phương trình(∗)có 1 nghiệm:d tiếp xúc với(S)

• Phương trình(∗)có 2 nghiệm phân biệt:d cắt(S)tại 2 điểm phân biệt

2 So sánh khoảng cáchd (I ,d )vàR

• d (I , d ) > R:d và(S)không có điểm chung

• d (I , d ) = R:d tiếp xúc với(S)

• d (I , d ) < R:d cắt(S)tại 2 điểm phân biệt

Khi cần tìm chính xác tọa độ giao điểmd và(S)ta dùng cách thứ 1

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của A B

1 Tìm tọa độI là trung điểm củaA B, tính−→A B

2 Viết phương trình mặt phẳng(α)quaI và có vectơ pháp tuyến là−→n =−→A B

Viết phương trình mặt phẳng qua M và song song β
: ax +by + cz + d = 0

1 Do(α)song song β
nên vectơ pháp tuyến của(α)là−→n = (a,b,c)

Viết phương trình mặt phẳng qua M song song với hai đường thẳng chéo nhau

1 Tìm−→a ,−→b là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng đó

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n =h−→a ,−→

b i

3 Viết phương trình mặt phẳng(α)

6 Dạng 6

Viết phương trình mặt phẳng qua N và đường thẳng d

1 Trênd chọn điểmAvà một vectơ chỉ phương−→u

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n =h−→u ,−→

ANi

3 Viết phương trình(α)

A α

d

d M

1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG(α) 11

7 Dạng 7

Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai đường thẳng cắt nhau d1, d2

1 Tìm−→a ,−→b là các vectơ chỉ phương củad1, d2

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n =h−→a ,−→

b i

3 Lấy một điểmM tùy ý thuộcd1hoặcd2

4 Viết phương trình(α)quaM và có vectơ pháp tuyến là−→n

Viết phương trình mặt phẳng đi qua d1và song song d2( d1và d2chéo nhau).

1 Tìm−→a ,−→b là các vectơ chỉ phương củad1, d2

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n =h−→a ,−→

b i

3 Lấy một điểmM tùy ý thuộcd1

4 Viết phương trình(α)quaM và có vectơ pháp tuyến là−→n

α

d1M

d2

9 Dạng 9

Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 Viết phương trình mặt phẳng (α) và β
sao cho (α)

chứa d1, β
chứa d2và (α) song song β

1 Viết phương trình mặt phẳng(α)quad1và song songd2

2 Viết phương trình mặt phẳng β
quad2và song songd1

Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và vuông góc với β
.

1 Tìm−→u là vectơ chỉ phương củad và−→n β là vectơ pháp tuyến của β

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n α=”−→u , −→ n

γ
chox (hoặcy hoặcz) hai giá trị cụ thể để xác định

hai điểmA, B trênd Khi đó bài toán quay về các dạng đã biết

Cách 2 Dùng phương trình chùm mặt phẳng

12 Dạng 12

Viết phương trình mặt phẳng qua M và vuông góc với β
và γ

1 Tìm−→n β,−→n γ là các vectơ pháp tuyến của β
và γ

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n α=”−→n

β, −n→

γ—

3 Viết phương trình mặt phẳng(α)

1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG(α) 13

13 Dạng 13

Tìm tập hợp điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và β

1 GọiM (x,y,z )là điểm cách đều(α)và β

2 Ta có:d (M ,(α)) = d M , β

3 Từ biểu thức trên ta xác định mặt phẳng cần tìm

14 Dạng 14

Viết phương trình mặt phẳng qua đường thẳng d và cách M một khoảng k

1 Phương trình mặt phẳng(α)có dạng(α) : ax +by + cz + d = 0(a2+b2+ c26= 0)

2 Chọn hai điểm khác nhauA, Bthuộcd

3 DoA, B thuộc(α)nên khi thay vào phương trình(α)ta được hai phương trình(1),(2)

4 Dod (M ,(α)) = k nên ta được phương trình(3)

5 Từ(1),(2)ta khửd, và từ(3)tìm mối liên hệ giữaa ,b, c

6 Choa một giá trị cụ thể và tìmb, c , d (đảm bảo điều kiệna2+b2+ c26= 0)

15 Dạng 15

Cho đường thẳng d và điểm A nằm ngoài d Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất.

1 Tìm tọa độ hình chiếu vuông gócM củaA lênd

2 Giả sử β
là mặt phẳng tùy ý chứad, khi đóM ∈ β

KẻAH ⊥ β

Ta luôn cóAH ≤ AM.Vậy mặt phẳng(α)chứad sao cho khoảng cách từAtới(α)là lớn nhất chính là mặt phẳngquad và vuông gócAM

3 Viết phương trình mặt phẳng(α)quaM và vuông gócAM

16 Dạng 16

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R tại điểm H

1 Tìm tâmI và bán kínhRcủa mặt cầu(S)

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→I H

3 Viết phương trình mặt phẳng(α)

17 Dạng 17

Viết phương trình mặt phẳng song với β
: ax +by + cz + d = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)

1 Tìm tâmI và bán kínhRcủa mặt cầu(S)

2 Do(α)song song với β
nên phương trình(α)có dạng

(α): ax +by + cz + D = 0 (D 6= d )

3 Do(α)tiếp xúc(S)nênd (I ,(α)) = R Giải phương trình ta tìm đượcD

18 Dạng 18

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc (S) đồng thời song song d1và d2.

1 Tìm tâmI, bán kínhRcủa mặt cầu(S) Tìm−→u1,−→u2 là các vectơ chỉ phương củad1, d2

2 Vectơ pháp tuyến của(α)là−→n =”−→u

2 Giả sử(α): ax +by + cz + d = 0vớia2+b2+ c26= 0

3 Tìm tọa độA, B là hai điểm phân biệt thuộcd

4 DoA, B thuộc(α)nên ta được phương trình(1),(2) Khửd và tìm một ẩn theo hai ẩn cònlại ta được phương trình(3)

5 Ta có:d (I ,(α)) = R, ta được phương trình(4) Thay(3)vào(4)ta được phương trình(5)gồmhai ẩn

6 Từ(5)ta cho một ẩn một giá trị cụ thể và tìm đượca ,b, c , d (lưu ýa2+b2+ c26= 0)

1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG(α) 15

22 Dạng 22

Viết phương trình mặt phẳng đi qua G và cắt các trục tọa độ tại A, B,C biết G là trọng tâm tam giác A BC

1 Gọi giao điểm của(α)với các trục tọa độ làA (a,0,0); B(0,b,0);C (0,0,c)

2 Áp dụng công thức trọng tâm vớiG ta tìm đượca ,b, c

1 Gọi giao điểm của(α)với các trục tọa độ làA (a,0,0); B(0,b,0);C (0,0,c)

2 DoHlà trực tâm tam giácA BC nên ta có:−→H A.−→

• Tương tựAO ⊥ BC , AH ⊥ BC nênBC ⊥ (AOH) ⇒ BC ⊥ OH

• VậyOH ⊥ (A BC )hayOH−→là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng(ABC )

2 Viết phương trình mặt phẳng(ABC )quaHvà có vectơ pháp tuyến làOH−→

C

B

H O

Viết phương trình mặt phẳng qua M x0, y0, z0

và cắt các trục tọa độ tại A, B,C sao cho thể tích

1.1 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG(α) 17

26 Dạng 26

Viết phương trình mặt phẳng cách đều4đỉnh tứ diện A BC D

Một mặt phẳng muốn cách đều hai điểmM , N thì

• Hoặc nó đi qua trung điểmI củaM N

• Hoặc nó song song vớiM N

Vì vậy để mặt phẳng(α)cách đều 4 đỉnh của tứ diện thì :

• Hoặc mặt phẳng (α)qua trung điểm của 3 cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh Có 4 mặtphẳng như vậy

• Hoặc mặt phẳng(α)chứa hai đường trung bình của tứ diện Có ba mặt phẳng như vậy.Tóm lại ta có tất cả 7 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán

1 Tính tọa độ trung điểmM , N , P,Q, R,ScủaA B, AC , BC ,C D, B D

• Mặt phẳng trung trực: là mặt phẳng qua trung điểm I của A B và vuông góc A B Mặt

phẳng trung trực là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút A, B tức làM A = M B vớiM làđiểm bất kì thuộc(α)

Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với mặt phẳng β
một góc là x◦

1 Tìm−→n β là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng β
và tìm tọa độ hai điểm phân biệtA, B nằmtrênd

2 Phương trình mặt phẳng(α)có dạng(α) : ax +by + cz + d = 0vớia2+b2+ c26= 0

3 DoA, B ∈ (α)nên ta được phương trình(1),(2)

4 Khửd từ(1),(2)và tìm 1 ần theo 2 ẩn còn lại ta được phương trình(3)

1.2 KHOẢNG CÁCH, ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG 19

−→n

α.−→n β

−→n

α −→n

β

, ta được phương trình(4)

6 Thay(3)vào(4)ta được phương trình(5)gồm 2 ẩn

7 Cho 1 ẩn một giá trị cụ thể ta tìm được các ẩn còn lại, lưu ý điều kiệna2+b2+ c26= 0

1 Viết phương trình đường thẳngd quaM và vuông góc với(α)

2 Khi đóH là tọa độ giao điểmd và(α)

Cách 2: tọa độ điểmHđược xác định bởi:

1 H thuộc(α)

2 −−→M H và−→n (α)cùng phương nhau

2 Dạng 2

Tìm tọa độ M0là điểm đối xứng của M qua (α)

1 Tìm tọa độH là hình chiếu vuông góc củaM xuống(α)

2 Khi đóH là trung điểmM M0

3 Dạng 3

Xác định vị trí tương đối của A , B với (α)

Cách 1: GọiI là giao điểm của đường thẳngA B và(α)

• Avà B ở hai phía đối với(α) ⇔−→I Avà−→I B cùng hướng

• Avà B ở cùng phía với(α) ⇔−→I Avà−→I Bcùng hướng

A

Cho hai điểm A, B và mặt phẳng (α) Tìm điểm M ∈ (α) sao cho M A + M B ngắn nhất.

1 Xác định vị trí tương đối củaA, B với(α)

2

Trường hợp 1: A, B nằm khác phía với(α)

• Ta có:M A + M B ≥ AB, dấu bằng xảy ra⇔ M ∈ A B Do đóM A + M B nhỏ nhất khi vàchỉ khiM là giao điểm củaA B và(α)

• Viết phương trình tham sốA Bvà tìm tọa độM

Trường hợp 2: A, B nằm cùng phía với(α)

• GọiHlà tọa độ hình chiếu vuông góc củaM xuống(α),A0là điểm đối xứng củaAqua

(α) Tìm tọa độH vàA0

• Ta có:M A +M B = M A0+M B ≥ A0B Dấu bằng xảy ra⇔ M nằm trên đường thẳngA0B

Do đóM A + M B bé nhất⇔ M là giao điểm củaA0B và(α)

• Viết phương trình tham sốA0B và tìm tọa độM

1.2 KHOẢNG CÁCH, ĐIỂM THUỘC MẶT PHẲNG 21

∗Nếu thay điều kiện (α) là đường thẳng∆ta cũng lập luận tương tự bài toán trên.

5 Dạng 5

Cho (α) và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc (α) sao cho |M A − M B| là lớn nhất.

1 Xác định vị trí tương đối củaA, B và(α)

2

Trường hợp 1: A, B nằm cùng phía với(α)

• Ta có:|M A − M B| ≤ A B Dấu bằng xảy ra⇔ M nằm trên đường thẳngA B và khôngnằm trên đoạn thẳngA B Do đó|M A − M B|lớn nhất khi và chỉ khiM là giao điểmcủa đường thẳngA B và(α)

• Viết phương trình tham sốA Bvà tìm tọa độM

A

α

M

B

Trường hợp 2: A, B nằm khác phía với(α)

• GọiH là tọa độ hình chiếu vuông góc củaA lên(α),A0 là tọa độ đối xứng củaA qua

(α) Tìm tọa độH , A0

• Ta có:|M A − M B| = |M A0− M B| ≤ A0B Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm trênđường thẳngA0B và không ở trên đoạn thẳngA0B Do đó|M A − M B|lớn nhất khi vàchỉ khiM là giao điểm của đường thẳngA0B và mặt phẳng(α)

• Viết phương trình tham số củaA0B, tìm tọa độ giao điểmM củaA0B và(α)

6 Dạng 6

Trong mặt phẳng tọa độ Ox y z cho ba điểm A (a;0;0), B(0,b,0),C (0;0;c) với a ,b, c là những số dương thay đổi sao cho a2+ b2+ c2= k Xác định a ,b, c để khoảng cách từ O tới (ABC ) là lớn nhất.

1 Phương trình mặt phẳng(ABC )là :(ABC ) : x

a2b2c2 vàk = a2+b2+c2≥ 3p3 a2b2c2

4 Từ đó ta lập luận tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách

...

M1M26=

F Góc

• Góc hai mặt phẳng: Cho mặt phẳng (α)có vectơ pháp tuyến là−→n α, mặt phẳng< /small> β

• Góc hai đường thẳng:... A
2+ (z B − z A)2

• Tọa độ điểm đặc biệt:

? Tọa độ trung điểmI củaA B:I

y1 z1... trí tương đối hai mặt phẳng< /b>

Cho đường thẳngd quaM0 x0, y0, z0

và có vectơ phương là−→u