Định hướng giải một số bài toán cực trị hình học trong hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT

Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Môc lôc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT ***** NéI DUNG TT Trang A MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG I II III 2.1 2.2 2.3 Cơ sở lí luận Thực trạng vấn đề Các sáng kiến kinh nghiệm Kiến thức trang bị Các dạng toán Dạng 1.Tìm điểm thõa mãn điều kiện cho trước Dạng 2.Một số toán viết phương trình mặt phẳng 1 1 2 12 IV Dạng 3.Một số toán viết phương trình đường thẳng Hiệu sáng kiến kinh nghiệm C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17 18 Tài liệu tham khảo 19 Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian A.MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong việc dạy học toán ta coi mục đích chủ yếu môn Toán hình thành phát triển tư toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức phải biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn.Trong trình dạy học toán, việc lựa chọn phương pháp phù hợp để giải toán việc làm cần thiết quan trọng Chọn phương pháp thích hợp cho ta lời giải hay ngắn gọn, dễ hiểu, tiết kiệm thời gian Vì việc xây dựng hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cần thiết Trong đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi học sinh giỏi hay thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng, thường xuất toán phương pháp tọa độ không gian Có thể nói toán phương pháp tọa độ không gian đa dạng phong phú Cực trị hình học phương pháp tọa độ không gian dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ không gian Trong năm học 2015- 2016 phân công giảng dạy lớp 12 trước dạy chương :" Phương pháp tọa độ không gian" thân trăn trở: làm để học sinh đọc đề thi thấy xuất câu cực trị hình học hình toạ độ không gian học sinh không cảm thấy sợ Trong trình trực tiếp giảng dạy nghiên cứu thấy dạng toán không chỉ khó mà hay, lôi em học sinh giỏi Để giúp học sinh định hướng cách làm dạng toán này, hiểu sâu hơn, tự tin gặp toán cực trị đặc biệt cực trị hình toạ độ không gian, phát triển tư duy, hướng học sinh tới niềm say mê sáng tạo, mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài: "Định hướng giải số toán cực trị hình học hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT" 2.Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp để giải số toán cực trị hình toạ độ không gian đồng thời rèn luyện kỹ giải toán cực trị hình học, giúp học sinh có hướng nhìn dạng toán Đối tượng nghiên cứu Các toán cực trị hình toạ độ không gian cụ thể là: toán liên quan đến tìm điểm thoã mãn điều kiện cho trước, viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng áp dụng cho học sinh lớp 12 THPT Phương pháp nghiên cứu Phương pháp xây dựng sở lý thuyết B.NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trong chương trình hình học 12 chương :"Phương pháp tọa độ không gian" tập trung chủ yếu vào dạng toán xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, lập phương trình mặt phẳng, đường thẳng Tuy nhiên kiến thức sách giáo khoa chỉ mức song đề thi học sinh giỏi, đề thi Đại học, Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Cao đẳng, đề thi thử số trường lại có loại tập này.Vì việc cung cấp nội dung phương pháp cần thiết II Thực trạng vấn đề Trong trình giảng dạy học sinh giỏi, ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng, nhận thấy phần tập liên quan đến toán cực trị hình học hình tọa độ không gian phần tập khó, học sinh tương đối gặp khó khăn cách tư duy, định hướng cách giải sách giáo khoa bỏ qua dạng tập này, tài liệu tham khảo có nhắc tới song tính hệ thống.Vì vậy, học sinh lúng túng gặp phải tình Khi chưa cải tiến phương pháp lớp chỉ vài em tập trung làm tập dạng này, nhiên tính hệ thống mà làm thiên phương pháp đại số Nếu trang bị cho em kỹ năng, tình bản, từ giúp học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho thân gặp toán dạng em định hướng, tư cách giải theo hướng hình học cách tự tin, nhanh chóng xác III Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp sử dụng để giải vấn đề 1.Kiến thức trang bị Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ta có kết sau: r r r r r r r r r r 1.1 Nếu n ⊥ u; n ⊥ v ⇒ n phương với u; v  Chọn n = u; v  r 1.2 Mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận véc tơ n( A; B; C ) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = ( A2 + B + C ≠ ) r 1.3 Đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận véc tơ u (a; b; c) làm véc tơ chỉ  x = x0 + at  phương có phương trình tham số :  y = y0 + bt ( a + b + c ≠ )  z = z + ct  x − x0 y − y0 z − z0 = = Nếu a,b,c khác ta có phương trình tắc : a b c 1.4.Cho điểm A( x A ; y A ; z A ); B( xB ; yB ; z B ) ,điểm M ( xM ; yM ; zM ) chia AB theo tỷ số k : x A − kxB   xM = − k  uuur uuur y A − kyB  MA = k MB xác định công thức sau  yM = 1− k  z A − kz B   zM = − k  2.Các dạng toán Để giúp học sinh giỏi giải tốt toán cực trị hình học không gian thường gặp kỳ thi đại học, cao đẳng thi học sinh giỏi, đúc kết thành dạng toán sau: Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 3 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Dạng 1.Tìm điểm thõa mãn điều kiện cho trước Bài toán 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) Tìm điểm M (P) cho : a) MA + MB nhỏ b) MA − MB lớn Phương pháp Hướng dẫn học sinh hình thành bước giải toán a) MA+MB nhỏ • Bước : Xét vị trí tương đối A, B so với mặt phẳng (P) • Bước :+) Nếu A, B khác phía (P)(AB không song song với (P)) (MA + MB)min M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P) A A B M M P) P) A1 B +) Nếu A, B phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P).Khi MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B Do A1 B khác phía (P) nên (MA + MB) ⇔ (MA1 + MB) = A1 B ⇔ M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B ∩ ( P ) Tìm toạ độ M b) MA − MB lớn • Bước : Xét vị trí tương đối A,B so với mặt phẳng (P) • Bước :+) Nếu A, B phía (P) MA − MB max M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P ) A A B M M P) M A1 M1 B P) +) Nếu A, B khác phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P) Khi MA − MB = MA1 − MB ≤ A1B Do A1 B phía (P) nên MA − MB max ⇔ MA − MB max = A1B ⇔ M, A1, B thẳng hàng Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x+y+z-4=0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho : a) MA+MB nhỏ nhất, biết A(1;0;0) , B(1;2;0) b) MA − MB lớn nhất, biết A(1;2;- 1), B(0;1;2) Định hướng: Để giải toán ta cần xác định bước làm : Bước 1: Xét vị trí tương đối hai điểm A, B so với mặt phẳng (P) Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Bước 2: Lập luận để tìm vị trí điểm M thuộc mp(P) dựa vào phần lý thuyết Sau tiến hành tìm toạ độ điểm M Giải f ( x ; y ; z ) = x + y + z − Đặt a f (1;0;0) f (1; 2;0) = (−3)(−1) > nên hai điểm A B nằm phía (P) Gọi A1 điểm đối xứng với A qua (P).Khi MA + MB = MA1 + MB ≥ A1B Do A1 B khác phía (P) nên (MA + MB) ⇔ (MA1 + MB) = A1 B ⇔ M, A1, B thẳng hàng ⇒ M = A1 B ∩ ( P ) r Đường thẳng ∆ vuông góc với (P) qua A(1;0;0) nhận véc tơ pháp tuyến n(1;1;1) x = 1+ t  (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là:  y = t z = t  Gọi I giao đường thẳng ∆ với (P) tọa độ điểm I nghiệm hệ : x = 1+ t t = y = t x =   ⇔ ⇔ I(2;1;1)  z = t y =1  x + y + z − =  z = Do I trung điểm A A1 nên A (3;2;2) uuur Ta có A1B (-2;0;-2) uuur Đường thẳng ∆ qua A (3;2;2) nhận véc tơ A1B (-2;0;-2) làm vec tơ chỉ phương có phương trình : x = + t  y = z = + t  x = + t y = 3  ⇒ M ( ; 2; ) Vậy M ( ; 2; ) Tọa độ điểm M nghiệm hệ  2 2 z = + t  x + y + z − = b) f (1; 2; −1) f (0;1; 2) = (−2)(−1) > nên hai điểm A B nằm phía (P) Khi MA − MB ≤ A B , MA − MB max M, A, B thẳng hàng ⇒ M = AB ∩ (P) uuuu r Ta có A B (-1;-1;3) uuuu r Đường thẳng ∆ qua A (1;2;-1) nhận véc tơ A B (-1;-1;3) làm vec tơ chỉ phương x = 1− t  có phương trình  y = − t  z = −1 + 3t  Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian x = 1− t t = y = 2−t  x = −1   ⇔ ⇒ M (−1;0;5) Tọa độ điểm M nghiệm hệ   z = −1 + 3t y =  x + y + z − =  z = Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A1 ; A2 ; ; An Xét ur uuuu r uuuur uuuur w = α1 MA1 + α MA2 + + α n MAn Trong α1 ; α ; ; α n số thực cho trước thoã mãn ur α1 + α + + α n ≠ Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho w có độ dài nhỏ Phương pháp.Cần hướng dẫn học sinh hình thành quy trình toán theo bước Bước Xác định điểm cố định uuur uuuu r uuuu r r uuuur uuuu r uuuu r Gọi G điểm thoã mãn : α1 GA1 + α GA2 + + α n GAn = với MAk = MG + GAk , k = 1, n ur uuuu r uuuur uuuur uuuu r Khi w = α1 MA1 + α MA2 + + α n MAn = α1 + α + + α n MG Bước Lập luận tìm vị trí điểm M ur Do α1 + α + + α n ≠ nên w có độ dài nhỏ chỉ MG nhỏ nhất, mà M thuộc (P) nên MG nhỏ chỉ M hình chiếu G lên (P) Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0.Tìm uuur uuur uuuu r điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: MA + 3MB + 4MC nhỏ nhất, biết A(1;2;-1), B(0;1;2),C(0;0;3) Định hướng Xác định bước làm toán Bước Xác định điểm cố định theo hướng dẫn phần phương pháp Bước Lập luận để tìm vị trí điểm M Giải uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur uuu r uur uur uur Ta có : MA + 3MB + 4MC = ( MI + IA) + 3( MI + IB) + 4( MI + IC ) = 8MI + IA + 3IB + IC uu r uur uur r uur r uuu uuu r uuur Ta cần tìm điểm I cho IA + 3IB + IC = ⇔ OI = (OA + 3OB + 4OC ) 17 ) I cố định 8 uuur uuur uuuu r uuu r MA + 3MB + MC = MI nhỏ chỉ M hình chiếu I lên (P) Vậy I( ; ; Phương trình đường thẳng ∆ qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến r n(1;1;1) (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình là: 17 y− z− 8= 8= 1 1 17   x − y − z − Tọa độ M nghiệm hệ phương trình :  = = ⇔ M( ; 1; ) 2   x + y + z − = x− Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Vậy M( ; 1; ) Bài toán 3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A1 ; A2 ; ; An Xét biểu thức T= α1MA12 + α MA22 + α MA32 + + α n MAn2 , α1 ;α ; ; α n số thực cho trước.Tìm M thuộc (P) cho : a) T có giá trị nhỏ biết α1 + α + + α n > b) T có giá trị lớn biết α1 + α + + α n < Phương pháp Bước 1.Xác định điểm cố định uuur uuuu r uuuu r r uuuur uuuu r uuuu r Gọi G điểm thoã mãn α1 GA1 + α GA2 + + α n GAn = Ta có: MAk = MG + GAk , k = 1; n T= α1MA12 + α MA22 + + α n MAn2 = α1GA12 + α 2GA22 + + α nGAn2 + (α1 + α + + α n ) MG Bước 2.a) Nếu α1 + α + + α n > Do α1GA12 + α 2GA22 + + α nGAn2 không đổi nên T có giá trị nhỏ MG nhỏ b) Nếu α1 + α + + α n < , T có giá trị lớn MG nhỏ MG nhỏ chỉ M hình chiếu G lên (P) Ví dụ1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y+z-4=0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) cho: MA2 − 3MB nhỏ nhất, biết A(1;2;-1),B(-1;0;3) Định hướng uuur uuur Bước : Xác định điểm cố định Trước hết cần phân tích vec tơ MA, MB thành tổng vec tơ Bước 2: lập luận để MA2 − 3MB lớn Tìm vị trí điểm M Giải uuur uuu r uu r uuu r uu r Xét điểm I tùy ý ta có : MA = ( MI + IA) = MI + IA2 + 2MI IA uuur uuu r uur uuu r uur MB = ( MI + IB ) = MI + IB + 2MI IB uuu r uuu r uur MA2 − 3MB = −2 MI + IA2 − 3IB + MI ( IA − 3IB) uu r uur r Giả sử IA − 3IB = Gọi I(x;y;z) ta có : x A − xB   x = −2  y A − yB  ⇒ I(-2;-1;5) y = −2  z A − 3zB   z = −2  Do I cố định nên IA2 , IB có độ dài không đổi.Vậy MA2 − 3MB lớn IM nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên (P) Phương trình đường thẳng ∆ qua I vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến r x + y +1 z − = = n(1;1;1) (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình : 1 Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian  x + y +1 z − = = −4 −1 17  1 ⇔ M( ; Tọa độ M nghiệm hệ phương trình  ; ) 3  x + y + z − = −4 −1 17 Vậy M( ; ; ) 3 Ví dụ 2( Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2015-2016) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;1;5), B(3;0;1),C(−1;2;0) = Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) mặt phẳng (P) có phương trình: 3x − 3y + 2z+u37 uur uuur uuur uuur uuuuruuur cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S = MA.MB + MB.MC + MC.MA Định hướng.Hướng dẫn HS thực theo bước phân tích uuur uuur uuuu r Bước Tìm điểm cố định.Trước hết cần phân tích vec tơ MA, MB , MC thành tổng vec tơ Bước Sau lập luận để S nhỏ Giải Gọi G trọng tâm tam giác ABC suy G ( 2;1; ) Ta có: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuu r S = MG + GA MG + GB + MG + GB MG + GC + MG + GC MG + GA uuuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuur uuuruuu r uuu r uuu r uuu ruuur uuur uuu r = 3MG2 + 2MG GA + GB + GC + GAGB + GBGC + GCGA = 3MG2 + GAGB + GBGC + GCGA uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r Do GAGB + GB.GC + GC.GA không đổi nên S đạt giá trị nhỏ MG đạt giá trị ( )( ( ) ( ) )( ) ( )( ) nhỏ nhất, M hình chiếu G lên (P) Phương trình đường thẳng ∆ qua G vuông góc với (P) nhận vec tơ pháp tuyến uu r nP (3; −3; 2) (P) làm vec tơ chỉ phương có phương trình : x − y −1 z − = = −3  x − y −1 z − = =  −3 Ta tìm M(−4;7; −2) Toạ độ điểm M nghiệm hệ :  3x − y + z + 37 = Nhận xét :Với cách định hướng phân tích toán học sinh thấy vấn đề toán trở nên đơn giản, dễ giải Dạng 2.Một số toán viết phương trình mặt phẳng Bài toán Cho điểm phân biệt A, B.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A cách B khoảng lớn Phương pháp Bước 1.Gọi H hình chiếu B lên (P).Tam giác ABH vuông H Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian B Bước2.Lập luận tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Ta có =AB Bước 3.(P) mặt phẳng qua A vuông góc Avới AB H A (P) Ví dụ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2; -1; 1) cách gốc toạ độ khoảng lớn Định hướng.Để viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định điểm qua vec tơ pháp tuyến Như vậy, toán cho (P) chứa A.Vậy cần xác định véc tơ pháp tuyến toán nào? Hướng dẫn học sinh theo bước Giải O Gọi H hình chiếu O mp(P) Khi = OA Vậy mp(P) qua A(2;-1;1) nhận làm véc tơ pháp H A tuyến.Vậy (P) : (P) Nhận xét : Như vậy, định hướng rõ ràng phương pháp học sinh có tư trực quan hơn, làm nhanh hơn, cảm thấy tự tin với làm Bài toán 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A không thuộc đường thẳng d Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho khoảng cách từ A đến (P) lớn Phương pháp:Bước 1.Gọi H hình chiếu A (P), K hình chiếu A lên đường thẳng d Bước Ta có d(A;(P)) =AH ≤ AK Vậy d(A;(P)) lớn chỉ AH =AK Hay H ≡ K A H d uuur K P) Bước 3.Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d nhận AK làm vectơ pháp tuyến Ví dụ (Trích đề thi tuyển sinh Đại học, khối A năm 2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) đường thẳng d: x −1 y z − = = Lập phương trình mặt phẳng ( α ) chứa d cho khoảng cách từ A 2 đến (P) lớn Định hướng: Bài toán giải theo cách, định hướng phương pháp em làm theo cách cách thiên vể đại số giải tích nhiều hơn, đáp án thiên phương pháp Nhưng có định hướng rõ ràng mặt phương pháp học sinh làm theo cách thứ thiên hình học, phải tính toán Xét cách làm sau sau học sinh tự rút nhận xét cách làm Giải Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Cách Gọi H hình chiếu A ( α ), K hình chiếu A lên đường thẳng d.Ta có d(A;(P)) =AH ≤ AK Vậy d(A;( α )) lớn chỉ AH =AK Hay H ≡ K uuur Vậy ( α ) chứa đường thẳng d nhận làm vec tơ pháp tuyến uuur AK ∈ Ta có K d nên K(1+2t;t;2+2t) AK (2t − 1; t − 5; 2t − 1) uur uuur uur Đường thẳng d có vtcp u (2;1;2) qua (1;0;2)Theo giả thiết ta có: AK u = ⇔ t = d d A Véc tơ pháp tuyến () Phương trình mặt phẳng () : 1(x-1)-4y +1(z-2)=0 Vậy mặt phẳng (): x-4y+z-3=0 H d K P) Cách Đường thẳng d qua điểm ulà M(1;0;2) N(-1;-1;0) Do ( α ) chứa ur đường thẳng d nên M, N thuộc ( α ) Gọi nα = ( A; B; C ) vec tơ pháp tuyến ( α ) PT mặt phẳng ( α ) chứa điểm M nên có phương trình : A(x-1)+By+C(z-2)=0( A2 + B + C > ) Vì ( α ) qua N nên ta có: B =-2A-2C A + 9C ( A + C )2 =9 A2 + AC + 5C A2 + AC + 5C +) Nếu C=0 A ≠ nên d(A;( α ))= A +) Nếu C ≠ đặt t = , t ∈ ¡ Ta có : d(A;( α ))= C A + 9C (t + 1) 2(1 − t ) (t + 1) / f ( t ) = ; f ( t ) = =9 = f ( t ), với 5t + 8t + (5t + 8t + 5) 5t + 8t + 5 A2 + AC + 5C 2 f / (t ) = ⇔ t = ±1 ; lim f (t ) = ; f (−1) = 0; f (1) = ;Sử dụng bảng biến thiên ta có x →±∞ Max f (t ) = f (1) = ⇒ d(A;( α ))= ⇔ t=1 hay A=C Chọn A=C=1 Vậy B=-4 Phương trình mặt phẳng ( α ): 1(x-1)-4y +1(z-2)=0.Hay mặt phẳng ( α ): x-4y+z-3=0 d(A;( α ))= Nhận xét:Cách 1dễ làm, phải tính toán, thiên hình học, cách nặng đại số Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), đường thẳng d.Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d cho góc (Q) (P) nhỏ (d (P) không vuông góc với nhau) Phương pháp Hướng dẫn học sinh thực theo bước sau đây: Bước Gọi M điểm thuộc đường thẳng d Dựng đường thẳng qua M vuông góc với mặt phẳng (P) Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ AH ⊥ (Q) , AK ⊥ d Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 10 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian · Bước Góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) MAH HM KM KM · ≥ Mà không đổi nên MAH AM AM AM · nhỏ sin MAH nhỏ nhất, hay H ≡ K A · Ta có sin MAH = H K d M Q) Bước Mặt phẳng (Q) cần tìm mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc uu r r  u với mặt phẳng (AMK) Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến  d ; n  ( P) r uu r r uu r r r uu r uu r r Tacó n ( Q ) ⊥ ud ; n ( Q ) ⊥ ud ; n ( P )  nên chọn véc tơ pháp tuyến (Q) n ( Q ) = ud ; ud ; n ( P )   Ví dụ (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hóa năm học 2014-2015) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cho hai điểm A ( 1; 2; −1) , B ( 0; 4;0 ) mặt phẳng (P) có phương trình: x − y − z + 2015 = Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) qua hai điểm A, B tạo với mặt phẳng ( P ) góc nhỏ Định hướng: Bài toán thực chất toán không cho đường thẳng d song ta phải hiểu đường thẳng AB.Cũng có cách làm toán này.Cách làm theo bước hình thành chứng minh phần phương pháp Cách làm theo phương pháp thiên đại số giải tích, xét hàm số đáp án thiên phương pháp Giải Cách Gọi d đường thẳng qua A,B Dựng đường thẳng qua B vuông góc với mặt phẳng (P) Lấy diểm C cố định đường thẳng Hạ CH ⊥ (Q) , CK ⊥ d · C Góc mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) BCH Ta có sin HB KB KB · · ≥ = Mà không đổi nên BCH nhỏ sin BCH CB CB CB · nhỏ nhất, hay H ≡ K BCH Mặt phẳng (Q) mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (CBK) r r K A Q B r uuur r ⊥ AB; n ( Q ) ⊥ (CBK ) nên (Q) có uuur uuu r r r uuur =  AB;  AB; n ( P )   =(-6;-6;6) với AB(−1; 2;1) ; n ( P ) (2;-1;-2)   Gọi n , n véc tơ pháp tuyến (P), (Q) thì: n (P) H (Q ) r n vectơ pháp tuyến ( Q ) (Q) Chọn (1;1;-1) vectơ pháp tuyến (Q) phương trình mặt phẳng (Q) qua A là: 1.(x-1)+1(y-2)-1(z+1)=0 hay x + y − z − = uur 2 Cách Gọi vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( Q ) : nQ = ( a; b; c ) , ( a + b + c > ) Mặt phẳng ( Q ) qua điểm B nên có phương trình dạng ax + b ( y − ) + cz = ( Q ) ( a , b, c ∈ ¡ , a + b2 + c2 > 0) Mà điểm A thuộc ( Q ) nên a.1 + b ( − ) + c ( −1) = ⇔ a = 2b + c ( 1) uur Vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : nP = ( 2; −1; −2 ) Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 11 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian uur uur nP nQ 2a − b − 2c Gọi α góc tạo hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) Ta có: cosα = uur uur = nP nQ a + b + c Thế a = 2b + c ( 1) vào ( ) ta : cosα = 3b 5b + 4bc + 2c = ( 2) b 5b + 4bc + 2c +) Nếu b = ⇒ cosα =0 ⇒ α =900 Nếu b ≠ ⇒ cosα = c c  ÷ +  ÷+ b b = = ≤ c c c   ÷ +  ÷+  + 1÷ + b b b  c ⇔ = −1 ⇔ c = −b, a = b Vậy góc α nhỏ cos α lớn ⇔ cosα = b Chọn a=1 b=1;c=-1 Do phương trình mặt phẳng ( Q ) : x + y − z − = Nhận xét: Rõ ràng cách 1cho ta kết nhanh, dễ nhớ hơn, tiết kiệm thời gian, phải tính toán kết xác Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d / Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho góc (P) đường thẳng d / lớn (d d / chéo nhau) Phương pháp d/ Bước Gọi M điểm thuộc đường thẳng d Dựng đường A thẳng qua M song song với đường thẳng d Lấy điểm A cố định đường thẳng Hạ , H Bước Góc mặt phẳng (P) đường thẳng d Ta có K d M cos= P) Mà KM không đổi nên ·AMH lớn cos ·AMH nhỏ nhất, hay H ≡ K AM Bước Mặt phẳng (P) cần tìm mặt phẳng chứa đường thẳng d vuông góc với uu r r mặt phẳng (AMK).Mặt phẳng (AMK) có vec tơ pháp tuyến ud ; u  d/ r uu r r uu r r r uu r uu r r Ta có n ( P ) ⊥ ud ; n ( P ) ⊥ ud ; u d /  nên chọn véc tơ pháp tuyến (P) n ( P ) = ud ; ud ; u d /   x −1 y + z = = Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đường thẳng d: −1 x + y −1 z = = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d cho đường thẳng d / : −1 góc (P) đường thẳng d / lớn Định hướng Hướng dẫn học sinh thực theo cách từ rút nhận xét Cách : làm theo ba bước phần phương pháp Cách : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên đại số gải tích Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 12 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Giải Cách Vận dụng kiến thức học lý thuyết áp dụng lập luận tương tự ta có mặt phẳng (P) cần tìm qua M(1;-2;0) thuộc d có véc tơ pháp tuyến r uu r uu r r uu r r n ( P ) = ud ; ud ; u d /   với ud (1; 2; −1) ; u d / (2; −1; 2) hai vectơ chỉ phương hai   đường thẳng d d / uu r r r uu r uu r r Ta có : ud ; u  = (3; −4; −5) ⇒ n = ud ; ud ; u   =(-14;2;-10) Chọn (7;-1;5) vectơ pháp tuyến (P) (P) quauurM : 7x-y+5z -9=0 Cách Đường thẳng d qua M(1;-2;0) có vectơ chỉ phương ud (1; 2; −1) Phương trình mặt phẳng (P) : A(x-1)+B(y+2)+Cz=0, A2 + B + C > r uu r Ta có n ud = nên C=A+2B Góc mặt phẳng (P) đường thẳng d góc ϕ thoã mãn : d/ (P) d/ (P) r uur ϕ = cos( n ( P ) , ud / ) = sin A + 3B A2 + B + ( A + B ) +) Nếu B=0 A ≠ nên sin ϕ = = 2 3 (4 A + 3B) A2 + B + ( A + B ) A (4t + 3) (4t + 3)2 , t ∈ ¡ ta có : sin ϕ = = f ( t ), f ( t ) = B 2t + 4t + 2t + 4t + 4(4t + 3)(t + 7) 25 / f (t ) = 8; f (−7) = ; f (− ) = Lập bảng biến thiên Vì f (t ) = (2t + 4t + 5)2 ; xlim →±∞ 25 Ta tìm max f (t ) = Do góc ϕ lớn sin ϕ lớn ϕ Vậy sin lớn t=- hay A = −7 B +) Nếu B ≠ đặt t = Chọn B=-1 A=7 C=5 (P) : 7x-y+5z -9=0 Nhận xét: Trong cách làm ta thấy cách thứ tiện lợi nhiều phải tính toán dẫn đến mắc sai lầm làm hơn.Cách nặng đại số, giải tích Dạng 3.Một số toán viết phương trình đường thẳng Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm A ∈ ( P), điểm B ≠ A Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) thoã mãn điều kiện đường thẳng d qua A cách B khoảng nhỏ nhất, lớn Phương pháp Bước1.Gọi H, K hình chiếu vuông góc B (P) đường thẳng d Bước 2.Ta có d ( B, d ) = BK ≤ BA nên khoảng cách lớn chỉ K ≡ A ,tức đường thẳng d nằm (P), d qua A vuông góc với AB r r uuur Đường thẳng d nhận vectơ chỉ phương u =  n ; AB  B d H d P) Giáo viên : Lê Thị Hạnh - A (P) Trường THPT Hậu Lộc K 13 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Mặt khác d ( B, d ) = BK ≥ BH nên khoảng cách nhỏ chỉ K ≡ H tức đường thẳng d nằm (P), d qua A hình chiếu vuông góc H điểm B lên (P), nói cách khác đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng (P) (Q) r uuur  n (Q) chứa AB vuông góc với (P), (Q) có vec tơ pháp tuyến  ; AB  (P) r r r uuur Đường thẳng d nhận véc tơ chỉ phương u d =  n ( P ) ;  n ( P ) ; AB   Bước Viết phương trình đường thẳng d Ví dụ.Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+2y-z-1=0, điểm A(1;0;0), điểm B (0; 2; −3) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) thoã mãn điều kiện: a) Đường thẳng d qua A cách B khoảng lớn b) Đường thẳng d qua A cách B khoảng nhỏ Định hướng.Hướng dẫn học sinh thực theo cách từ rút nhận xét Cách : làm theo ba bước phần phương pháp Cách : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên đại số gải tích Giải Cách 1.Lập luận tương tự phần phương pháp a)Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d qua A cách B r r uuur khoảng lớn đường thẳng có véc tơ chỉ phương u =  n ; AB  với : r n ( P ) = (1; 2; −1) ; d (P) r r uuur uuur   u = n (-1;2;-3) d AB  ( P ) ; AB  =(-4;4;4) chọn vectơ chỉ phương (-1;1;1) Vậy đường thẳng d qua A có vec tơ chỉ phương (-1;1;1) có phương trình : x −1 y z = = −1 1 b) Theo cách lập luận phần lý thuyết ta có đường thẳng d qua A cách B r r r uuur khoảng nhỏ đường thẳng có véc tơ chỉ phương u =  n ;  n ; AB   với d (P) ( P) r r uuur r r r uuur u d =  n ( P ) ; AB  =(-4;4;4); u d =  n ( P ) ;  n ( P ) ; AB   =(12;0;12)   r Vậy đường thẳng d qua A có vec tơ chỉ phương u d có phương trình : x = 1+ t  y = z = t  r Cách Gọi véc tơ chỉ phương đường thẳng d u d (a;b;c) ( a + b + c > ) r r r (P) có véc tơ pháp tuyến n ( P ) = (1; 2; −1) Vì d ⊂ ( P) nên u d n ( P ) = ⇔ c = a + 2b r uuu r uuur   = (−2a − 7b; 2a − 2b; 2a + b) u ; AB Và AB (-1;2;-3) nên  d  r uuu r u d ; AB  12a + 24ab + 54b   d ( B, d ) = = uur 2a + 4ab + 5b u r uuur n ( P ) = (1; 2; −1) ; AB (-1;2;-3) ; d +)Nếu b=0 a ≠ nên d ( B, d ) = (1) Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 14 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian a , t ∈ ¡ ta có : b 12t + 24t + 54 12t + 24t + 54 24 d ( B; d ) = = f ( t ), f ( t ) = = 6+ 2 2t + 4t + 2t + 4t + 2t + 4t + 4(t + 1) / f (t ) = 6 < d ( B; d ) ≤ 14 Vì f (t ) = −24 (2t + 4t + 5) ; f / (t ) = ⇔ t = −1 ; f (−1) = 14 ; xlim →±∞ +)Nếu b ≠ đặt t = (2) Kết hợp (1), (2) ta có ≤ d ( B; d ) ≤ 14 a) Khoảng cách lớn d ( B; d ) = 14 t=-1 ⇔ a=-b.Chọn b=1 a=-1; c=1 uu r Phương trình đường thẳng d qua A có ud (-1;1;1) là: x −1 y z = = −1 1 b) Khoảng cách nhỏ d ( B; d ) = b=0; a=c.Chọn a=1 c=1 x = 1+ t uu r  Phương trình đường thẳng d qua A có ud (1;0;1) là:  y = z = t  Nhận xét: lựa chọn cách thứ cho lời giải đẹp, tiết kiệm thời gian cho độ xác cao học sinh phải tính toán Bài toán Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P), điểm A ∈ ( P) Đường thẳng d / cắt (P) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) thoã mãn điều kiện đường thẳng d qua A khoảng cách d d / lớn (đường thẳng d / không qua A ) Phương pháp Bước Gọi B giao điểm đường thẳng d / (P),d / / đường thẳng qua Avà song song với đường thẳng d / ,(Q) mặt phẳng chứa A d / / Vậy đường thẳng d giao tuyến mặt phẳng (P) (Q) Bước Gọi H, Klà hình chiếu B lên (Q), d / / Ta có: d(d;d / )=d(d / ;(Q))=d(B,(Q))=BH ≤ BK Khoảng cách đường thẳng lớn chỉ H ≡ K Bước Khi đường thẳng d qua A nhận véc tơ chỉ phương d/ K B P) H A r uu r r uuuu ud =  n P ; AA/  ( A / hình chiếu A đường thẳng d / )   Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm O đường thẳng x −1 y +1 z x y +1 z −1 = = Đường thẳng d / : = = Lập phương trình đường thẳng d −2 −2 −1 qua O, vuông góc với đường thẳng ∆ cách d / khoảng lớn ∆: Định hướng: Bài toán ta giải theo cách toán Cách : làm theo ba bước phần phương pháp.Ở cần phân tích cho HS thấy (P) mặt phẳng qua O vuông góc với đường thẳng ∆ Cách : sử dụng phương pháp xét hàm số, thiên đại số gải tích Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 15 d// Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Giải ∆ Vậy véc tơ pháp tuyến Cách 1.Như d ⊂ ( P) với (P) qua O vuông góc r uu r (P) vec tơ chỉ phương đường thẳng ∆ Vậy n ( P ) (1;-2;1)= uV Ta có O∉ d / Theo kết chứng minh, đường thẳng d qua O có vec tơ chỉ phương : uu r r uur ud =  n ; OI  ,với I hình chiếu O đường thẳng d / (P) uur Tọa độ điểm I(2t;-1-2t;1-t) ⇒ OI (2t ; −1 − 2t;1 − t ) uu r r uur  −13 −12 −11  uur uur uur −2 −7 10 −1   ⇒ ⇒ u = u OI u = ⇔ t = OI ( ; ; ) Vì OI ⊥ d nên d d/  V ; OI  =  ; ; ÷ 9 9  / Chọn vectơ chỉ phương đường thẳng d (13;12;11) Vậy phương trình đường thẳng d : x y z = = 13 12 11 r Cách Gọi vectơ chỉ phương đường thẳng d u (a;b;c) ( a + b + c > ) r Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u (1;-2;1) r r Vì d ⊥ ∆ nên u u V = ⇔ c = − a + 2b Đường thẳng d / qua M(0;-1;1) có vtcp d ∆ d r r r u d / (2;-2;-1) ta có u d / ; u d  = (2a − 3b; a − 4b; 2a + 2b) Khoảng cách đường thẳng : d(d;d / )= r r uuuu r u d / ; u d  OM a + 6b (a + 6b)2   = = r r 9a − 12ab + 29b u d / ; u d  (2a − 3b) + (a − 4b) + (2a + 2b)   +)Nếu b=0 a ≠ nên d(d;d / )= a (a + 6b) +) Nếu b ≠ đặt t= , t ∈ ¡ Khi d(d / ;d)= , b 9a − 12ab + 29b 2(t + 6)(65 − 60t ) / 13 / Ta có f (t ) = (9t − 12t + 29) , f (t ) = ⇔ t = −6; t = 12 13 17 17 13 f (t ) = nên maxf(t)= ⇔ t = Vì f(-6)=0;f( )= ; xlim 12 →±∞ 9 12 (t + 6) f (t ) = 9t − 12t + 29 Vậy d(d / ;d) lớn t=13/12, chọn a=13;b=12;c=11 Vậy phương trình đường thẳng d qua O có phương trình là: x y z = = 13 12 11 Nhận xét: Rõ ràng cách làm thứ cho hiệu tốt cách làm thứ hai Bài toán 3.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P),điểm A ∈ (P) Lập phương trình đường thẳng d nằm (P) qua A, đồng thời d tạo với đường thẳng d / góc lớn nhất, nhỏ Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 16 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Phương pháp:+) Đôí với trường hợp góc lớn :Vì tồn đường thẳng d qua A tạo với đường thẳng dmột góc 90, nên góc lớn 90khi d vuông góc với dvà nằm (P).Vậy đường thẳng d qua A nhận véc tơ chỉ phương M d/ d// H K A d (P) +) Đôí với trường hợp góc bé Bước Gọi d / / đường thẳng qua Avà song song với đường thẳng d / Lấy M cố định thuộc đường thẳng d / / Gọi H, K hình chiếu M (P), đường thẳng d MK MH · · ≥ Bước Góc hai đường thẳng MAK Ta có sin MAK = MA MA · · · Góc MAK nhỏ sin MAK nhỏ nhất.Vậy MAK nhỏ K trùng H hay d đường thẳng qua A,H hay d giao tuyến mặt phẳng (P) (Q) (Q) mặt phẳng chứa Avuông góc với (P) song song với đường thẳng d / Bước Viết phương trình đường thẳng d uur r Vậy (Q) có véc tơ pháp tuyến : ud ; n  / ( P) uu r r uuu r r Một véc tơ chỉ phương đường thẳng d : ud =  n ud ; n   Ví dụ.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d qua A(1;-1;2), song song với mặt phẳng (Q): 2x-y-z+3=0, đồng thời d tạo với đường ( P) thẳng d / : / (P) x +1 y −1 z = = góc lớn nhất, nhỏ −2 Định hướng: Bài toán chất toán tổng quát nhiên cần cho học sinh biết phát mặt phẳng (P) toán gì?Thực chất (P) mặt phẳng qua A song song (Q) (P) có vec tơ pháp tuyến với (Q) Đối với trường hợp góc lớn ta thấy tồn Đối với trường hợp góc bé ta thực theo bước phân tích toán tổng quát để tìm vectơ chỉ phương đường thẳng Bài toán giải theo cách toán Giải Cách 1.Lập luận phần lý thuyết ta có Đường thẳng d qua A song song với (Q) tức d nằm mặt phẳng (P) : r Véc tơ pháp tuyến (P) n (2;-1;-1) qua A có phương trình: 2x-y-z-1=0 +) Góc d d / lớn 90 , d có véc tơ chỉ phương (P) uu r r r x −1 y +1 z − ud = u d / ; n ( P )  = (4;5;3) Phương trình đường thẳng d : = = Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 17 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian +) Góc d d / nhỏ d giao tuyến mặt phẳng (P) mặt phẳng (R), (R) mặt phẳng vuông góc với (P) song song với d / có vectơ uuu r r uu r r uuu r r pháp tuyến ud ; n  Vectơ chỉ phương d ud =  n ud ; n   = (2; −10;14) / (P) ( p) Phương trình đường thẳng d : x −1 y + z − = = −5 / (P) r Cách Gọi vectơ chỉ phương đường thẳng d u (a;b;c) ( a + b + c > ) r r Vì d / /(Q) nên u n = ⇔ c = 2a − b r Đường thẳng d / có vectơ chỉ phương u (1;-2;2) nên góc ϕ đường thẳng d d (Q ) d/ thõa mãn : uu r uur cos ϕ = cos(ud ; ud / ) = 5a − 4b 5a − 4ab + 2b 2 +)Nếu b=0 a ≠ nên cos ϕ = a b (5t − 4) (5t − 4) = f ( t ); f ( t ) = 5t − 4t + 5t − 4t + 2(5t − 4)(10t + 2) lim f (t ) = Ta có Maxf(t)=f( −1 )= 25 ; Min f(t)= f( )=0 f / (t ) = ; 2 x →±∞ (5t − 4t + 2) 5 +)Góc ϕ lớn cos ϕ nhỏ ⇔ cos ϕ =0 ⇔ ϕ =90 t= hay b=5;a=4;c=3 uu r x −1 y +1 z − = = Vậy phương trình đường thẳng d qua A có vectơ ud (4;5;3) là: 5 −1 +)Góc ϕ bé cos ϕ lớn ⇔ cos ϕ = t= hay b=-5;a=1;c=7 3 uu r x −1 y +1 z − = = Vậy phương trình đường thẳng d qua A có vectơ ud (1; −5;7) : −5 +) Nếu b ≠ đặt t = , t ∈ ¡ , đó: cos ϕ = Nhận xét: cách làm thứ cho lời giải đẹp, tốn thời gian, hiệu tốt cách làm thứ hai IV.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài áp dụng thường xuyên lớp kết đạt tương đối tốt Học sinh giải nhiều toán cực trị Các em thích dần với tập loại này, học tập hăng say tích cực nhiều, tạo cho em niềm tin giải toán Đề tài góp phần nâng cao kết thi Đại học, Cao đẳng học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán, hạn chế việc học sinh sợ gặp phải toán cực trị hình học giải tích lớp 12, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh góp phần cao chất lượng dạy học Đề tài phát huy tính tích cực học sinh, khơi nguồn cho em tìm tòi, sáng tạo trình giải toán có liên quan đến cực trị hình học.Đề tài thành viên tổ Toán – Tin góp ý đánh giá tốt Đề tài thầy cô áp dụng rộng rãi với đối tượng học sinh lớp phụ trách, đem lại hiệu thiết thực Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 18 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian giảng dạy môn Toán trường THPT Hậu Lộc Với cách làm học sinh có cách nhìn toán cực trị hình học giải tích gần với tư hình học không gian không nặng tính toán đòi hỏi em tư trừu tượng chút, định hướng cho em thấy dạng quen thuộc, kỹ cần thiết Nếu trang bị cho em kỹ cần thiết nhìn vào toán em định hướng cách giải, giải nhanh thành thạo Trong năm học 2012 -2013, 2013 -2014, 2014 -2015, 2015-2016 thực nghiệm đề tài lớp 12A6,12B3 12C2, 12A1 kết cụ thể sau : Loại Loại Loại Loại Loại trung giỏi yếu Đối tượng bình Áp dụng thường xuyên lớp 12 A1 20 % 50 % 30 % 0% Áp dụng thường xuyên lớp 12 C2 Không áp dụng thường xuyên lớp 12 B3 Không áp dụng thường xuyên lớp 12 A6 15 % 0% 0% 50 % 30 % 20 % 30 % 50 % 55 % 5% 20 % 25% C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trên số kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy môn toán phần cực trị hình toạ độ không gian Với đề tài hy vọng giúp cho em học sinh biết cách áp dụng giải toán có liên quan đến cực trị hình học hình toạ độ không gian cải tiến phương pháp học tập Trong trình thực đề tài chắn chưa hoàn hảo, tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngôn ngữ hình thức khoa học Tôi mong góp ý chân tình bạn đồng nghiệp, hội đồng khoa học để đề tài năm học tới tốt hơn, đáp ứng với yêu cầu đổi giáo dục Vì để đề tài thu kết tốt triển khai sâu rộng cho em HS Tôi có vài kiến nghị đề xuất sau: Đối với cán quản lý nhà trường cần đầu tư thêm nhiều tài liệu tham khảo cho giáo viên, có thư viện phong phú để HS tham gia nghiên cứu tài liệu, có kinh phí hỗ trợ khuyến khích động viên giáo viên Mở rộng hội nghị khoa học để trao đổi kinh nghiệm dạy học, tìm cách áp dụng đề tài nghiên cứu cách có hiệu Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi chuyên môn, xây dựng tiết dạy phù hợp với đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn công việc để trau dồi chuyên môn, tự học tập lẫn giúp tiến Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 19 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian Tạo điều kiện thời gian để rèn luyện HS yếu kém, bồi dưỡng HS giỏi để đề tài áp dụng rộng rãi có kết cao Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hậu lộc , ngày 25 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN chép Người viết sáng kiến kinh nghiệm LÊ THỊ HẠNH Tài liệu tham khảo Hình học không gian - Phan Huy Khải Sách giáo khoa hình học12 sách tập hình học lớp 12 THPT 3.Đề thi đại học, cao đẳng Bộ giáo dục 4.Đề thi học sinh giỏi môn toán Tỉnh Thanh hóa 5.Tạp chí Toán học tuổi trẻ Đề thi thử trường Giáo viên : Lê Thị Hạnh - Trường THPT Hậu Lộc 20 ... tài: "Định hướng giải số toán cực trị hình học hình tọa độ không gian, lớp 12 THPT" 2.Mục đích nghiên cứu Đưa phương pháp để giải số toán cực trị hình toạ độ không gian đồng thời rèn luyện kỹ giải. .. Trường THPT Hậu Lộc 18 Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian giảng dạy môn Toán trường THPT Hậu Lộc Với cách làm học sinh có cách nhìn toán cực trị hình học giải tích.. .Định hướng giải số toán cực trị hình học hình toạ độ không gian A.MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài Trong việc dạy học toán ta coi mục đích chủ yếu môn Toán hình thành phát triển tư toán học, tạo