Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay định hướng giải một số bài toán trắc nghiệm về phương pháp tọa độ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LAI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Người thực hiện: Chức vụ: Hồ Phương Nam TTCM SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2019 Mở đầu .3 1.1.Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp thực .5 Kết luận – Kiến nghị 16 3.1 Kết luận .16 3.2 Kiến nghị 16 Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Từ năm học 2016-2017, đề thi mơn Tốn Kỳ thi trung học phổ thông quốc gia thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan Chính điều tạo chuyển biến lớn dạy học nhà trường Để đạt điểm số cao kỳ thi này, học sinh không cần nắm vững kiến thức bản, làm thục dạng tốn quan trọng mà cần có khả logic cao để tiếp cận vấn đề cách nhanh nhất, chọn cách giải nhanh đến đáp án Đây thực thách thức lớn giáo viên Trong q trình giảng dạy, ơn thi, làm đề phát rằng: tốn khó Phương pháp tọa độ khơng gian, học sinh tiếp cận theo hướng tự luận quen thuộc khó giải vấn đề thời gian ngắn Chính lý nên tơi tổng hợp kinh nghiệm q trình giảng dạy nghiên cứu Đề thi THPT Quốc gia năm 2018, đề minh họa năm 2019 Bộ giáo dục đào tạo định chọn đề tài : “KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN” Nhằm đưa phương án tối ưu giúp học sinh giải toán thi THPT Quốc gia năm 2019 năm 1.2 Mục đích nghiên cứu Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm trước hết nhằm mục đích tạo tài liệu tham khảo nhỏ giúp em học sinh nhà trường có thêm phương pháp tiếp cận nhanh hiệu gặp tốn hình học tọa độ khơng gian nhằm giúp em có khả lấy điểm cao kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung xây dựng thuật toán để sử dụng MTCT giải toán hình học tọa độ khơng gian 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lí luận: Kế hoạch năm học Nhà trường, Kế hoạch hoạt động chuyên môn Tổ Toán – Tin + Đề thi THPT Quốc gia mơn Tốn năm 2017, 2018; Đề minh họa năm 2019 + Thực tiễn trình giảng dạy thân đồng nghiệp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Tính khoảng cách tự điểm đến mặt phẳng Trong hệ tọa Oxyz , độ điểm A( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( P) : ax + by + cz + d = Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( P) là: d ( A;( P ) ) = ax0 + by0 + cz0 + d a2 + b2 + c2 2.1.2 Tìm hình chiếu H A mặt phẳng ( P ) Bước 1: Viết phương trình đường thẳng D qua A vng góc với ( P ) Bước 2: Tìm tọa độ điểm H =D Ç ( P ) 2.1.3 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng D Bước 1: Tìm hình chiếu H A đường thẳng D Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến D : d ( A; D ) = AH 2.1.4 Chức phím CALC: Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC hỏi giá trị biến tính giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập Phím chức cho phép ta tính biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác với lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm Qua trao đổi với thầy cô giáo môn tốn nhà trường, tơi nhận thấy việc thầy dạy em tìm lời giải cho tốn: Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; Tìm hình chiếu điểm mặt phẳng đường thẳng; Tìm hình chiếu đường thẳng xuống mặt phẳng theo tư toán tự luận lâu làm Vì vậy, tơi nhận thấy với cách làm đưa học sinh vào số thử thách việc làm thi THPT Quốc gia: Một là, thời gian em dành để tìm đáp số toán nhiều thời gian Hai là, số tốn vận dụng cực trị hình học em gặp khó khăn việc định hướng tìm lời giải Ngược lại, em có hướng giải tốn khơng đủ thời gian để tìm lời giải nên dẫn đến tình đốn mò Từ thực tế đó, đòi hỏi cần có cách tư tốn theo giải tốn trắc nghiệm việc khai thác tối đa tình MTCT việc giải toán việc làm cần thiết việc ôn thi THPT Quốc gia nhà trường giai đoạn 2.3 Giải pháp thực Trong q trình dạy học ơn thi THPT Quốc gia năm gần đây, qua nghiên cứu đề thi thức Bộ giáo dục đào tạo năm 2017, 2018 đề minh họa năm 2019 Tôi xin đưa cách hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay tìm lời giải cho số toán trắc nghiệm phương pháp tọa độ khơng gian Dạng 1: Tìm tọa độ hình chiếu điểm mặt phẳng Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Bài toán 1: Cho A( ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz + d = , H hình chiếu vng góc A ( P ) Tìm tọa độ H tính độ dài AH Quy trình sử dụng MTCT Ghi vào hình - aX + bY + cF + d a + b2 + c dùng CALC nhập x0 = y0 = z0 = SHIFT STO M + Để tìm tọa độ H , ghi aM + X : bM + Y : cM + F === tọa độ H; + Để tính khoảng cách: d = d ( A,( P ) ) = M a2 + b2 + c2 Ví dụ (Đề thi THPT QG 2017): Trong không gian Oxyz , cho điểm I ( 1;2;3) mặt phẳng ( P ) : x - y - z - = Mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) H Tìm tọa độ điểm H A (-1; 4; 4) B (-3; 0; -2) C (3; 0; 2) D (1; -1; 0) Hướng dẫn giải Quan sát đáp án ta hoành độ H đủ (hình chiếu I (P)) ghi - X - 2Y - F - CALC = = = SHIFT STO M 2M + X = kết nên chọn C (Tìm đủ ba tọa độ ghi -2M + Y: -M + F) Nhận xét: Đối với toán này, học sinh cần nắm vững tính chất mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng tiếp điểm hình chiếu tâm mặt phẳng Từ tìm cách xác định hình chiếu điểm mặt phẳng xong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Ví dụ (Đề minh họa 2019): Trong x y +1 z - ( P) : x + y + z - = đường thẳng d : = = Hình chiếu d mặt phẳng ( P ) đường thẳng có phương trình A C x +1 y +1 z +1 = = - - x- y- z- = = - - B x- y- z- = = - - D x- y- z- = = 1 Hướng dẫn giải Chọn hai điểm A(0; -1; 2) B(1; 1; 1) thuộc d Ta tìm tọa độ hình chiếu vng góc A B (P) Bước 1: Tìm tọa độ A’ A (P): - X +Y + F - CALC = - = = 12 +12 +12 SHIFT STO M ỉ2 ;- ; ÷ Ghi M + X: M + Y: M + F = = = tọa độ A’ ç ÷ ç ÷ ç è3 3 ø - Bước 2: Tìm tọa độ B’: bấm AC X +Y + F - CALC 1= = = SHIFT STO E Ghi E + X: E + Y: E + F = = = tọa độ B’ (1; 1; 1) ur uuuur æ - 5ư u ; ; ÷ Bước 3: Tìm tọa độ vộc t: ' = A ' B ' = ỗ ữ ỗ ữ (i qua B) nờn Chn C ỗ è3 3 ø Ví dụ (Đề minh họa 2019): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P) : x + y - z - = , điểm E(2; 1; 3) mặt cầu có phương trình 2 ( S ) : ( x - 3) +( y - 2) + ( z - 5) = 36 Gọi D đường thẳng qua E, nằm (P) cắt (S) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình D là: ïìï x = + 9t ïìï x = - 5t ïìï x = + t ïìï x = + 4t ï ï ï ï A í y =1 + 9t B í y =1 + 3t C í y =1 - t D í y =1 + 3t ïï ïï ïï ïï ïïỵ z = + 8t ïïỵ z = ïïỵ z = ïïỵ z = - 3t Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) (S) cắt theo giao tuyến đường tròn tâm H hình chiếu vng góc tâm I(3; 2; 5) (P) Ghi - X + 2Y - F - CALC = = = SHIFT STO M æ23 14 47 ; ; ÷ AC 2M + X: 2M + Y: -M + F = = = ta ta H ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố9 9 ø Để dây MN nhỏ HK lớn HE, hay D ^ HE uuur æ uuur uu r 5 20 ữ ỗ EH = ; ; Tớnh ữ ỗ ữv th thy EH uD = nờn chn C ỗ ố9 9 ứ Ví dụ (Đề minh họa 2019): Trong khơng gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x - y + z - = hai điểm A( 2;- 2;4) B ( - 3;3 - 1) Gọi M điểm thay đổi ( P ) , giá trị nhỏ tổng 2MA2 + 3MB bằng: A 135 B 105 C 108 D 145 Hướng dẫn giải uu r uu r Bước 1: Tính tọa độ tâm tỉ cự I thỏa mãn: IA + 3IB = ghi A + 3B CALC +3 = - = D CALC -2 = = D CALC = -1 = ta I(-1; 1; 1) Bước 2: Tìm hình chiếu I mp(P): ghi - X - Y + 2F - CALC nhập tọa độ I SHIFT STO M 2M + X : - M + Y : 2M + F = = = Ta M(1; 0; 3) 2 2 2 Bước 3: Tính GTNN: 2( + +1 ) + 3( + + ) = Kết 135 Dạng 2: Tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng ìï qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) ï r Bài toán 2: Cho A(x1; y1; z1) d : í Tìm tọa độ hình ïï VTCPu = ( a; b; c ) ỵ chiếu H A d Tính khoảng cách từ A đến d Quy trình sử dụng MTCT Ghi aX + bY + cF CALC nhập x1 - x0 = y1 - y0 = z1 - z0 = a + b2 + c2 SHIFT STO M (Nếu cho dạng tắc thay tọa độ A vào tử số) - Tính tọa độ điểm chiếu H: aM+ x : bM+ y : cM+ z = = = - Tính d = d ( A,( d ) ) = X + Y + F2 - ( a + b + c ) M = Ví dụ (Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Trong không gian Oxyz , cho điểm x - y z +1 = = Đường thẳng D qua A vng 1 góc với d cắt d có phương trình: A( 1;0;2) đường thẳng d : A D : x- y- z- = = 1 - C D : x- y- z- = = 2 x- y z- = = 1 x- y z- = = D D : - B D : Hướng dẫn giải Bước 1: Tìm hình chiếu H A d: X +Y + 2F (thay tọa độ A vào tử d) CALC = = = SHIFT STO M M+1: M: 2M -1 = = = ta H(2; 1; 1) uuur Bước 2: Tính AH = ( 1;1;- 1) Chọn A Ví dụ (Sở GD&ĐT Thanh Hóa 2019): Trong khơng gian Oxyz , cho điểm x- y z- = = Gọi ( P ) mặt phẳng chứa d 2 cho khoảng cách từ điểm A đến ( P ) lớn Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( P ) A(2;5;3) đường thẳng d : A B C 11 D Hướng dẫn giải Gọi H, K hình chiếu A (P) d Để khoảng cách từ A đến (P) lớn uuur AH = AK, hay AK VTPT (P) X +Y + 2F CALC 1= = = SHIFT STO M uuur Þ AK = ( 1;- 4;1) 2M +1: M: 2M + = = = ta tọa độ K (3; 1; 4) Bước 1: Tìm tọa độ K : Bước 2: Tính d ( O;( P ) ) : X - - 4( Y - 1) + F - CALC = = = Chọn B Bài tập áp dụng Bài Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( a ) : x + y - z + = đường thẳng d : x - y +4 z = = Hình chiếu vng góc d ( a ) có phương trình A x +1 y + z - = = B x y +5 z - = = C x +5 y z - = = D x y- z- = = Đáp án: B Bài Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( a ) : x + y + z - = đường x +4 y - z - = = Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với - - đường thẳng d qua mặt phẳng ( a ) thẳng d : A x y +5 z - = = 11 - 17 - B x y - z +4 = = 11 - 17 - C x y- z- = = 11 - 17 - D x y- z- = = 11 - 17 Đáp án: C Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x - y z +1 = = mặt phẳng ( Q ) : x + y - z = Gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( Q ) Giao tuyến ( P ) ( Q ) d: có phương trình ìï x = + t ïï A í y =- - 2t ïï ïïỵ z =- ìï x = + 2t ïï C í y =- + t ïï ïïỵ z =- + 5t Đáp án: D ìï x =1 + t ïï B í y =- 2t ïï ïïỵ z = ìï x =1 + 2t ïï D í y = t ïï ïïỵ z = + 5t Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M ( 2;- 3;1) đường x +1 y + z = = Tìm tọa độ điểm M ¢ đối xứng với M qua d - A M ¢( 0;- 3;3) B M ¢( 1;- 3;2) thẳng d : C M ¢( 3;- 3;0) D M ¢( - 1;- 2;0) Đáp án: A Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A( 2;1;3) , B ( 1;- 1;2) , C ( 3;- 6;0) , D ( 2;- 2;- 1) Điểm M ( x; y; z ) thuộc mặt phẳng ( P) : x - y + z + = cho S = MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ 2 Tính giá trị biểu thức P = x + y + z A P = C P = B P = D P =- Đáp án: A Bài Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( 1;2;1) , B ( 2;- 1;3) , C ( 3;1;- 5) Tìm điểm M mặt phẳng ( Oyz ) cho MA2 - 2MB - MC lớn 10 æ3 ; ;0ữ A M ỗ ữ ỗ ữ ç è2 ø ỉ ; - ;0ữ B M ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố2 ø C M ( 0;0;5) D M ( 3;- 4;0) Đáp án: D Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A( 1;4;5) , B ( 3;4;0) , C ( 2;- 1;0) mặt phẳng ( P ) : 3x - y - z - 12 = Gọi M ( a ; b ; c ) thuộc ( P ) cho MA2 + MB + 3MC đạt giá trị nhỏ Tính tổng a + b + c A C - B D - Đáp án: A Bài Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A( 1;1;1) , B ( 0;1;2) , C ( - 2;1;4) mặt phẳng ( P ) : x - y + z + = Tìm điểm N Ỵ ( P ) cho S = NA2 + NB + NC đạt giá trị nhỏ ỉ 4ư - ;2; ữ A N ỗ ữ ỗ ữ ỗ è 3ø B N ( - 2;0;1) æ 3ử - ; ; ữ C N ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ D N ( - 1;2;1) Đáp án: D Bài Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( a ) : x + y + z - = ba điểm A( 1;2;1) , B ( 0;1;2) C ( 0;0;3) Điểm M ( x ; y ; z ) thuộc mặt phẳng ( a ) cho uuu r uuur uuur MA + 3MB + 4MC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = x + y + z A B - C D Đáp án: D 2 Bài 10 Trong không gian Oxyz , cho ( S ) : ( x + 3) +( y - 2) + ( z - 5) = 36 , điểm M ( 7;1;3) Gọi D đường thẳng di động qua M tiếp xúc với mặt cầu ( S ) N Tiếp điểm N di động đường tròn ( T ) có tâm J ( a, b, c) Gọi k = 2a - 5b +10c , giá trị k A 45 B.50 C - 45 Đáp án: B 11 D - 50 ( S1 ) : x + y - x - y - z - 11 = , ( S2 ) : x + y - x + y - z - = cắt theo giao tuyến đường tròn ( C ) Lấy điểm A thuộc đường tròn ( C ) Gọi I , J Bài 11 Cho hai mặt cầu tâm mặt cầu ( S1 ) ,( S2 ) , S diện tích tam giác AI J S có giá trị A S = 219 C S = 15 26 209 D S = B S = Đáp án: D 2 Bài 12 Cho hai mặt cầu ( S ) : x + y + x - y - z - 11 = hai điểm A( 1;2;3) , B ( - 1;2;0) Gọi ( P ) mặt phẳng A, B khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( P ) có giá trị lớn Viết phương trình mặt phẳng ( P ) A ( P ) : 3x - y - z + = B ( P ) : 3x + y - z +1 = C ( P ) : 3x + y + z - 11 = D ( P ) : 3x - y + z + = Đáp án: A 2 Bài 13 Cho hai mặt cầu ( S ) : x + y - x - y - z - 13 = hai điểm A( 1;2;3) , B ( - 1;2;0) Gọi ( P ) mặt phẳng A, B cắt mặt cầu theo giao r tuyến đường tròn có diện nhỏ Khi mặt phẳng ( P ) có VTPT n = ( a; b; c ) Tính a + b + c A 14 B C 19 D 15 Đáp án: A Bài 14 Trong không gian Oxyz , cho điểm E ( 0;- 1;- 5) , mặt phẳng ( P) : x + y - z - = mặt cầu ( S ) : ( x - 4) +( y - 1) + z = 25 Gọi D đường thẳng qua E , nằm ( P ) cắt ( S ) hai điểm có khoảng cách lớn Phương trình D là? ìï x =11t ïï A í y =- - 2t ïï ïïỵ z =- + 26t ïìï x = 50t ï B í y =- + 23t ïï ïïỵ z =- + 7t 12 ìï x =11t ïï C í y =- + 2t ïï ïïỵ z =- + 26t Đáp án: C ìï x = 50t ïï D í y =- + 23t ïï ïïỵ z =- - 7t 13 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm Trong năm học 2018 – 2019 vừa qua, góp ý xây dựng Tổ môn, đồng ý Ban chuyên môn nhà trường, áp dụng việc dạy học lớp 12C2 tiết ôn tập thi THPT QG thời điểm thầy Hà Quang Hiểu dạy nội dung lớp 12C1 Sau dạy xong, tổ chức kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) lớp 12C2 lớp đối chứng (ĐC) lớp 12C1 Ngồi kết kiểm tra, tơi kiểm tra mức độ hứng thú học tập học sinh phiếu thăm dò, với mức độ: - Mức độ 1: Rất hứng thú học - Mức độ 2: Có hứng thú, khơng có ý định tìm tòi sáng tạo thêm - Mức độ 3: Bình thường - Mức độ 4: Không hứng thú Không hiểu nhiều vấn đề Kết thể qua biểu đồ sau: Biểu đồ so sánh mức độ hứng thú học tập lớp sau thực nghiệm Biểu đồ so sánh kết học tập lớp sau thực nghiệm Từ kết trên, xem xét làm học sinh, thấy rằng: 14 Học sinh lớp thực nghiệm có hứng thú học tập hẳn so với học sinh lớp đối chứng Kết kiểm tra lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh giỏi tăng, tỉ lệ học sinh trung bình, yếu giảm, lớp đối chứng tỉ lệ giỏi giảm, tỉ lệ trung bình yếu lại tăng lên Việc định hướng phương pháp làm học sinh lớp thực nghiệm tốt lớp đối chứng Học sinh lớp thực nghiệm tự tin đứng trước kiểm tra Không bị bất ngờ tốn, trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng Khi dạy nội dung khó cách tiếp cận dễ dàng dẫn đến việc học học sinh nhẹ nhàng hơn, giảm áp lực cho giáo viên đứng lớp Được đồng nghiệp tổ môn đánh giá cao xem tài liệu quan giảng dạy mơn Hình học ơn thi THPT QG Từ khẳng định cách dạy luyện tập mang lại hiệu trình dạy học mơn Hình học trường THPT Lê Lai 15 Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Trong trình làm sáng kiến áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy lớp 12C2, hiệu mang lại thực tiễn giảng dạy nhà trường trình bày Từ thấy SKKN : “KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN” có đóng góp không nhỏ việc giảng dạy trường THPT Lê Lai Cụ thể: Về lí luận: SKKN góp phần khẳng định việc xây quy trình sử dụng MTCT giúp học sinh xử lí nhanh tốn vận dụng vận dụng cao phần hình học Phương pháp tọa độ không gian Về thực tiễn: SKKN giáo án luyện tập mơn Hình học có hiệu dành cho thân đồng nghiệp Tổ môn 3.2 Kiến nghị Tổ chuyên môn cần tổ chức diễn đàn trao đổi chuyên môn để giáo viên học hỏi kinh nghiệm phổ biến SKKN cá nhân XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Hồ Phương Nam 16 ... đề tài : “KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Nhằm đưa phương án tối ưu giúp học sinh giải toán thi THPT Quốc... SKKN : “KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN có đóng góp không nhỏ việc giảng dạy trường THPT Lê Lai Cụ thể: Về lí... Tôi xin đưa cách hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính cầm tay tìm lời giải cho số toán trắc nghiệm phương pháp tọa độ khơng gian Dạng 1: Tìm tọa độ hình chiếu điểm mặt phẳng Tính khoảng cách từ