Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 41 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
41
Dung lượng
1,85 MB
Nội dung
TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 26 TÌM HÌNH CHIẾU VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Hình chiếu vng góc điểm đến mặt phẳng ▪ Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = hình chiếu vng góc H M mặt phẳng ( P ) giao điểm đường thẳng mặt phẳng ( P ) ▪ đường thẳng qua M vng góc với ( P ) ( nhận nP làm u ) Hình chiếu vng góc điểm đến đường thẳng x − xN y − y N z − z N = = ▪ Cho điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đường thẳng d : hình chiếu vng góc a b c M lên đường thẳng d điểm H thuộc d cho MH ⊥ ud MH ud = Hình chiếu vng góc đường thẳng đến mặt phẳng ▪ Cho đường thẳng d mặt phẳng ( P ) Hình chiếu vng góc đường thẳng d đến mặt phẳng ▪ ▪ ▪ ( P ) giao điểm mặt phẳng ( ) mặt phẳng ( P ) ( ) mặt phẳng chứa d vuông góc với ( P ) ( ) nhận ud nP cặp vecto phương ( ) chứa điểm nằm đường thẳng d Lệnh Caso ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE Nhập thông số vecto MODE 1 Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm bất phương trình MODE Lệnh dò nghiệm phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Thi thử Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh lần năm 2017] Cho mặt phẳng ( ) : 3x − y + z + = điểm A ( 2; −1;0) Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng ( ) có tọa độ C (1;0;3) D ( −1;1; −1) GIẢI Gọi H hình chiếu vng góc A lên ( ) Đướng thẳng AH song song với vecto pháp A ( 2; −2;3) ➢ B (1;1; −2 ) x = + 3t tuyến n ( 3; −2;1) ( ) ( AH ) : y = −1 − 2t z = t Tọa độ điểm A ( + 3t; −1 − 2t;1 + t ) ➢ (Phần ta dễ dàng nhẩm mà khơng cần nháp) Để tìm t ta cần thiết lập điều kiện A thuọc ( ) xong 3(2+3Q))p2(p1p2Q))+Q)+6qr1= Trang 235 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 t = −1 H ( −1;1; −1) Đáp số xác D VD2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm 2017] Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M ( 3;3;3) qua mặt phẳng ( P ) : x + y + z −1 = 1 1 1 1 A M ' ; ; B M ' − ; − ; − 3 3 3 3 7 7 7 7 C M ' − ; − ; − D M ' ; ; 3 3 3 3 GIẢI ➢ Tương tự ví dụ ta nhẩm tọa độ hình chiếu vng góc H M lên ( P ) ➢ M ( + t;3 + t;3 + t ) Tính t Casio 3+Q)+3+Q)+3+Q)p1qr1= 1 1 H ; ; 3 3 ➢ Ví A ' đối xứng với M qua H nên H trung điểm MM ' Theo quy tắc trung điểm ta suy 7 7 M ' − ; − ; − 3 3 Đáp số xác C VD3-[Thi thử THPT Quảng Xương – Thanh Hóa lần năm 2017] x − y +1 z −1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : điểm 2 M (1;2; −3) Tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng d : Ta thu t = − A H (1;2; −1) B H (1; −2; −1) C H ( −1; −2; −1) D H (1; 2;1) ➢ GIẢI M Gọi H hình chiếu vng góc lên đường thẳng d x = + t Đường thẳng d có phương trình tham số y = −1 + t Tọa độ H ( + 2t; −1 + t;1 + 2t ) z = + 2t MH ⊥ d MH ud = với ud ( 2;1; ) ➢ Sử dụng máy tính Casio bấm : 2(3+2Q)p1)+(p1+Q)p2)+2(1+2Q)pp3)qr1= Khi t = −1 H (1; −2; −1) Trang 236 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Đáp số xác B VD4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x −1 y − z +1 = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : điểm A ( 2; −1;1) −1 Gọi I hình chiếu vng góc A lên d Viết phương trình mặt cầu ( C ) có tâm I qua A 2 A x + ( y − 3) + ( z − 1) = 20 B x + ( y − 3) + ( z − 1) = 2 C ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 20 2 D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 14 2 GIẢI ➢ Điểm I có tọa độ I (1 − t;2 + t; −1 + t ) ➢ Thiết lập điều kiện vng góc IAu d =0 p1(1pQ)p2)+(2+Q)pp1)+2(p1+2Q)p1)qr1= t = I (1;2; −1) ➢ Với I (1; 2; −1) A ( 2; −1;1) ta có : R = IA2 = IA = 14 w8112p1=p1p2=1pp1=Wqcq53)==d= Đáp số xác D VD5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x −1 y +1 x − = = Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng ( Oxy ) : 1 x = −1 + 2t x = −1 + 2t x = x = + 2t A y = −1 − t B y = −1 + t C y = + t D y = −1 + t z = z = z = z = GIẢI ➢ Ta hiểu : Hình chiếu vng góc d ' d lên mặt phẳng ( Oxy ) giao tuyến mặt phẳng ( ) chứa d vng góc với ( Oxy ) mặt phẳng ( Oxy ) ➢ Mặt phẳng ( ) chứa d vng góc với ( Oxy ) nên nhận vecto phương u ( 2;1;1) đường thẳng d vecto pháp tuyến nOxy ( 0;0;1) cặp vecto phương n = ud ; nOxy = (1; −2;0 ) w8112=1=1=w8210=0=1=Wq53Oq54= Hơn ( ) qua điểm có tọa độ (1; −1;2 ) nên có phương trình : Trang 237 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 ➢ ( ) :1( x −1) − ( y + 1) + ( z − 2) = ( ) : x − y − = ( ) : x − y − = Phương trình d ' có dạng Chuyển sang dạng tham số ta có : ( Oxy ) : z = ud ' = nOxy ; n = ( −2; −1;0 ) w8111=p2=0=w8210=0=1=Wq53Oq54= Có đáp án thỏa mãn vecto phương có tọa độ ( −2; −1;0) B , C , D Tuy nhiên có đáp án B chứa điểm M (1; −1;0 ) điểm thuộc d ' Đáp số xác B VD6-[Câu 61 Sách tập hình học nâng cao 12] x = + 3t Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d : y = −2t z = −2t ( ) : x + y − 2z − = 3 y− x −5 z x + 2= 2=z = A B = −4 −4 3 y− y+ x x −5 + z 2=z = D = = C 4 2 1 GIẢI ➢ Lập phương trình mặt phẳng ( ) chứa d vng góc với ( ) y+ n = ud ; n = (8; 4;8) w8113=p2=p2=w8211=2=p2=Wq53Oq54= ( ) qua điểm ➢ 7 ;0;0 nên có phương trình x − + y + 8z = x + y + z − = 2 2 2 x + y + z − = Ta có d ' : x + y − 2z − = Tính nd ' = n ; n = ( −8;6; ) n ( −4;3; ) vecto phương d ' Đường thẳng d ' lại qua điểm 5; − ; Đáp án xác A x −5 = nên có phương trình : −4 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần năm 2017] Trang 238 2=z y+ Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Hình chiếu vng góc A ( −2;4;3) lên mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 19 = có tọa độ : 20 37 37 31 B − ; ; C − ; ; D Kết khác 7 7 5 Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = điểm M (1; −2; −2) A (1; −1;2) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( P ) A N ( 3;4;8) B N ( 3;0; −4) C N ( 3;0;8) D N ( 3;4; −4) Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho A ( 5;1;3) , B ( −5;1; −1) , C (1; −3;0) , D (3; −6;2 ) Tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng ( BCD ) : A ( −1;7;5) B (1;7;5) C (1; −7; −5) D (1; −7;5) Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x +1 y z + = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : mặt phẳng 2 ( P ) : − x+ y+ 2z+ = Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( P ) x + y +1 z −1 x − y −1 z +1 = = = = B 1 −3 x + y +1 z −1 x − y −1 z +1 = = = = C D 1 −3 Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm A ( −1;3;2) , B ( 4;0; −3) , C ( 5; −1;4) Tìm tọa độ hình chiếu H A lên đường A thẳng BC 12 12 77 12 77 77 77 12 A ; − ; B ; ; C ; − ; − D − ; − ; − 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 Bài 6-[Câu 76 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng M ( −3;1; −1) qua đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 4x − y −13 = ( ) : y − 2z + = A ( −2; −5; −3) B ( 2; −5;3) C ( 5; −7; −3) D ( 5; −7;3) Bài 7-[Câu 22 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] x −1 y + z − = = Cho đường thẳng d : Hình chiếu vng góc d mặt phẳng tọa đọ 1 ( Oxy ) : x = x = + 2t x = −1 + 2t A y = −1 − t B y = −1 + t C y = + t D z = z = z = x = −1 + 2t y = −1 + t z = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng lần năm 2017] Hình chiếu vng góc A ( −2;4;3) lên mặt phẳng ( P ) : x − y + z + 19 = có tọa độ : A (1; −1;2) Trang 239 20 37 37 31 B − ; ; C − ; ; D Kết khác 7 7 5 GIẢI Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 x = −2 + 2t ▪ Đường thẳng chứa A vng góc với ( P ) có phương trình : y = − 3t z = + 6t Điểm H hình chiếu vng góc A lên ( P ) nên có tọa độ H ( −2 + 2t;4 − 3t;3 + 6t ) ▪ Tính t Casio ▪ 2(p2+2Q))p3(4p3Q))+6(3+6Q))+19qr1= Chuyển t dạng phân thức qJz= 20 37 Vậy t = − H − ; ; 7 7 Vậy đáp số xác B Bài 2-[Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho mặt phẳng ( P ) : x + y − z − = điểm M (1; −2; −2) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng ( P ) A N ( 3;4;8) B N ( 3;0; −4) C N ( 3;0;8) D N ( 3;4; −4) GIẢI x = 1+ t ▪ Phương trình : y = −2 + t Tọa độ hình chiếu H (1 + t; −2 + t; −2 − t ) z = −2 − t ▪ Tìm t Casio ta t = 1+Q)p2+Q)p(p2pQ))p4qr1= Với t = H ( 2; −1; −3) N ( 3;0; −4 ) Đáp án xác B Bài 3-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho A ( 5;1;3) , B ( −5;1; −1) , C (1; −3;0) , D (3; −6;2 ) Tọa độ điểm A ' đối xứng với A qua mặt phẳng ( BCD ) : A ( −1;7;5) B (1;7;5) C (1; −7; −5) D (1; −7;5) GIẢI ▪ Tính vecto phương ( BCD ) : u = BC; BD = ( −5; −10; −10 ) w8111pp5=p3p1=0pp1=w8213pp5=p6p1=2pp1=Wq53Oq54= Trang 240 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 ( BCD ) qua B ( −5;1; −1) ( BCD ) : −5 ( x + 5) −10 ( y −1) −10 ( z + 1) = x + y + 2z + = ▪ Gọi H hình chiếu A lên ( BCD ) H ( + t;1 + 2t;3 + 2t ) Tính t w15+Q)+2(1+2Q))+2(3+2Q))+5qr1= t = −2 H ( 3; −3; −1) A ' (1; −7; −5) Đáp án xác C Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] x +1 y z + = = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : mặt phẳng 2 ( P ) : − x+ y+ 2z+ = Viết phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng ( P ) x−2 = x−2 = C A y −1 = y −1 = z +1 −3 z +1 B x + y +1 z −1 = = 1 x + y +1 z −1 = = D 1 −3 GIẢI ▪ Lập mặt phẳng ( ) chứa d vng góc với ( P ) n = ud ; nP = (1; −7; ) w8112=2=3=w821p1=1=2=Wq53Oq54= ( ) : ( x + 1) − y + ( z + 2) = x − y + 4z + = x − y + 4z + = Để so sánh kết ta phải chuyển − x + y + z + = ▪ Đường thẳng d có phương trình tổng qt phương trình đường thẳng d dạng tắc Ta có : ud = n ; nP = ( −18; −6; −6 ) u ( 3;1;1) vecto phương d w8111=p7=4=w821p1=1=2=Wq53Oq54= Hơn điểm M ( 2;1; −1) thuộc d Phương trình tắc d : x − y −1 z +1 = = 1 Đáp số xác C Bài 5-[Câu 75 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Cho ba điểm A ( −1;3;2) , B ( 4;0; −3) , C ( 5; −1;4) Tìm tọa độ hình chiếu H A lên đường thẳng BC 12 77 A ; − ; 17 17 17 77 12 B ; ; 17 17 17 12 77 C ; − ; − 17 17 17 12 77 D − ; − ; − 17 17 17 GIẢI ▪ Đường thẳng BC nhân vecto BC (1; −1;7 ) vecto phương qua điểm B ( 4;0; −3) Trang 241 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 x = + t BC : y = −t z = −3 + 7t Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC H ( + t; − t; −3 + t ) ▪ Mặt khác AH ⊥ BC AH BC = w1(4+Q)pp1)p(pQ)p3)+7(p3+7Q)p2)qr1= Chuyển t dạng phân số qJz t = 9 12 77 H ;− ; 17 17 17 17 Đáp số xác A Bài 6-[Câu 76 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Tìm tọa độ điểm đối xứng M ( −3;1; −1) qua đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : 4x − y −13 = ( ) : y − 2z + = A ( −2; −5; −3) B ( 2; −5;3) C ( 5; −7; −3) D ( 5; −7;3) GIẢI 4 x − y − 13 = y− z + = ▪ d giao tuyến mặt phẳng ( ) ; ( ) nên có phương trình tổng qt : ▪ Vecto phương d ud = n ; n = ( 6;8; ) nhận u ( 3; 4; ) vecto phương w8114=p3=0=w8210=1=p2=Wq53Oq54= x = + 3t Đường thẳng d có vecto qua điểm N ( 4;1;3) nên có phương trình tham số y = + 4t z = + 2t ▪ Điểm H hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d nên có tọa độ M ( + 3t;1 + 4t;3 + 2t ) Mặt khác MH ⊥ d MH u = w13(4+3Q)pp3)+4(1+4Q)p1)+2(3+2Q)pp1)qr1= t = −1 H (1; −3;1) M ' đối xứng M qua d H trung điểm MM ' M ' ( 5; −7;3) Đáp số xác D Bài 7-[Câu 22 Sách tập hình học nâng cao lớp 12] Trang 242 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TOÁN 2017 Cho đường thẳng d : ( Oxy ) : x −1 y + z − = = Hình chiếu vng góc d mặt phẳng tọa đọ 1 x = x = + 2t x = −1 + 2t A y = −1 − t B y = −1 + t C y = + t D z = z = z = x = −1 + 2t y = −1 + t z = GIẢI ▪ Dưng mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vng góc với ( Oxy ) n = ud ; nOxy = (1; −2;0 ) w8112=1=1=w8210=0=1=Wq53Oq54= Mặt phẳng ( ) chứa điểm N (1; −1;2) nên có phương trình : ( ) : ( x −1) − ( y + 1) + ( z − 2) = x − y − = ▪ Đường thẳng d ' hình chiếu vng góc đường thẳng d lên mặt phẳng ( Oxy ) d ' giao tuyến x − y − = z = ( ) ( Oxy ) d ' : Tính ud = n ; nOxy = ( −2; −1;0 ) nhận u ( 2;1;0 ) vecto phương w8111=p2=0=w8210=0=1=Wq53Oq54= x = + 2t Lại có d ' qua điểm có tọa độ (1; −1;0) d ' : y = −1 + t z = Đáp số xác B Trang 243 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 27 TÍNH NHANH THỂ TÍCH CHĨP, DIỆN TÍCH TAM GIÁC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Ứng dụng tích có hướng tính diện tích tam giác ▪ ▪ AB; AC 2 2.S ABC AB; AC Ứng dụng tính chiều cao AH tam giác ABC : AH = = BC BC Cho tam giác ABC có diện tích tam giác ABC tính theo cơng thức S = Ứng dụng tích có hướng tính thể tích hình chóp AB AC ; AD AB AC; AD 3.VABCD = ▪ Ứng dụng tính chiều cao AH hình chóp ABCD : AH = S BCD BC; BD Lệnh Caso ▪ Thể tích hình chóp ABCD tính theo cơng thức VABCD = ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ ▪ Lệnh đăng nhập môi trường vecto MODE Nhập thông số vecto MODE 1 Tính tích vơ hướng vecto : vectoA SHIFT vectoB Tính tích có hướng hai vecto : vectoA x vectoB Lệnh giá trị tuyệt đối SHIFT HYP Lệnh tính độ lớn vecto SHIFT HYP Lệnh dò nghiệm bất phương trình MODE Lệnh dò nghiệm phương trình SHIFT SOLVE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 41 đề minh họa vào ĐHQG HNnăm 2016] Cho điểm A (1;0;1) , B ( 2;2;2) , C ( 5; 2;1) , ( 4;3; −2 ) Tính thể tích tứ diện ABCD A B 12 C D GIẢI ➢ Nhập thông số ba vecto AB , AC , AD vào máy tính Casio w8112p1=2p0=2p1=w8215p1=2p0=1p1=w8314p1=3p0=p2p1= ➢ Áp dụng cơng thức tính thể tích VABCD = AB AC ; AD = Wqcq53q57(q54Oq55))P6= Trang 244 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 29 TÍNH NHANH CÁC PHÉP TOÁN CƠ BẢN SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Các khái niệm thường gặp ▪ ▪ Đơn vị ảo đại lượng kí hiệu i có tính chất i = −1 Số phức biểu thức có dạng a + bi a , b số thực Trong a gọi phần thực b gọi số ảo ▪ Số phức liên hợp số phức z = a + bi số phức z = a − bi ▪ Số phức nghịch đảo số phức z = a + bi số phức z −1 = ▪ Môdul số phức z = a + bi kí hiệu z có độ lớn z = a + b2 1 = z a + bi Lệnh Caso ▪ ▪ Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE Lệnh tính Mơđun số phức SHIFT HYP ▪ ▪ Lệnh tính số phức liên hợp z SHIFT 2 Lệnh tính Acgument số phức SHIFT II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Đề minh họa THPT Quốc Gia lần năm 2017] Cho hai số phức z1 = + i z2 = − 3i Tính Môđun số phức z1 + z2 A z1 + z2 = 13 B z1 + z2 = C z1 + z2 = D z1 + z2 = GIẢI ➢ Đăng nhập lệnh số phức w2 ➢ (Khi máy tính hiển thị chữCMPLX bắt đầu tính tốn số phức được) Để tính Mơđun số phức ta nhập biểu thức vào máy tính sử dụng lệnh SHIFT HYP 1+b+2p3b=qcM= Vậy z1 + z2 = 13 Đáp số xác A VD2-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] 2 Số phức liên hợp với số phức z = (1 + i ) − (1 + 2i ) : A −9 −10i B + 10i C −10i D −9 + 10i GIẢI ➢ Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dp3(1+2b)d= Trang 261 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 z = −10i ➢ Số phức liên hợp z = a + bi z = a − bi : Vậy z = + 10i Đáp án B xác VD3-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi Số phức z có phần ảo : A a 2b B 2a 2b C 2ab D ab GIẢI ➢ ➢ Vì đề cho dạng tổng qt nên ta tiến hành “cá biệt hóa” tốn cách chọn giá trị cho a , b (lưu ý nên chọn giá trị lẻ để tránh xảy trường hợp đặc biệt) Chọn a = 1.25 b = 2.1 ta có z = 1.25 + 2.1i Sử dụng máy tính Casio tính z 1.25+2.1b)d= Vậy phần ảo ➢ 21 Xem đáp số có giá trị 21 đáp án xác Ta có : 21 Đáp án C xác VD4-[Thi thử báo Tốn học tuổi trẻ lần năm 2017] Để số phức z = a + ( a −1) i ( a số thực) có z = : Vậy 2ab = A a = B a = a = C a = D a = 1 GIẢI ➢ ➢ Để xử lý ta sử dụng phép thử, nhiên ta chọn a cho khéo léo để phép thử tìm đáp số nhanh Ta chọn a = trước, a = đáp án C D, a = sai C D sai Với a = Sử dụng máy tính Casio tính z 1+(1p1)b=qcM= Trang 262 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Vậy z = Đáp án C D ➢ Thử với a = Sử dụng máy tính Casio tính z : 0+(0p1)b=qcM= Vậy z = Đáp án xác C VD5-[Thi thử THPT Phạm Văn Đồng – Đắc Nông lần năm 2017] 20 Số phức z = + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) có giá trị : B −210 + ( 220 + 1) i A −220 ➢ C 210 + ( 210 + 1) i D 210 + 210 i GIẢI 20 Nếu ta nhập biểu thức + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) vào máy tính Casio được, nhiều thao tác tay Để rút ngắn công đoạn ta tiến hành rút gọn biểu thức Ta thấy số hạng biểu thức có chung quy luật “số hạng sau số hạng trước nhân với đại lượng + i “ cấp số nhân với công bội + i + (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) − (1 − i ) − qn = U1 = 1 −1 − (1 − i ) 21 20 − (1 + i ) Với z = Sử dụng máy tính Casio tính z − (1 + i ) 21 ➢ a1p(1+b)^21R1p(1+b)= ( ) Ta thấy z = −1024 + 1025i = −210 + 210 + i Đáp án xác làB VD6-[Thi thử chuyên KHTN lần năm 2017] Nếu số phức z thỏa mãn z = phần thực A B − C : 1− z D.Một giá trị khác GIẢI ➢ Đặt số phức z = a + bi Mơđun số phức z z = a + b2 = ➢ Chọn a = 0.5 0.52 + b2 = Sử dụng chức dò nghiệm SHIFT SOLVE để tìm b w1s0.5d+Q)d$p1qr0.5= Lưu giá trị vào b qJx Trang 263 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 ➢ Trở lại chế độ CMPLX để tính giá trị : 1− z w2a1R1p(0.5+Qxb)= Đáp án xác A VD7-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] Tìm số phức z biết : (1 + i ) z − z = −5 + 11i Vậy phần thực z A z = − 7i ➢ ➢ D z = − 4i GIẢI Với z = − 7i số phức liên hợp z = + 7i Nếu đáp án A phương trình : (1 + i )(5 − 7i ) − (5 + 7i ) = −5 + 11i (1) B z = + 3i C z = + 3i Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái (1) (1+b)(5p7b)p2(5+7b)= ➢ Vì −16i −5 + 11i nên đáp án A sai Tương tự với đáp án B (1+b)(2+3b)p2(2p3b)= Dễ thấy vế trái (1) = vế phải (1) = −5 + 11i Đáp số xác B VD8-[Đề minh họa GD-ĐT lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn (1 + i ) z + z = + 2i Tính P = a + b A P = C P = −1 B P = D P = − GIẢI ➢ Phương trình (1 + i ) z + z − − 2i = (1) Khi nhập số phức liên hợp ta nhấn lệnh q22 ➢ Sử dụng máy tính Casio nhập vế trái (1) (1+b)Q)+2q22Q))p3p2b Trang 264 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 ➢ X số phức nên có dạng X = a + bi Nhập X = 1000 + 100i (có thể thay a; b số khác) r1000+100b= 2897 = 3.1000 − 100 − = 3a − b − 898 = 1000 − 100 − = a − b − Vậy vế trái (1) 2897 + 898i Ta có : 3a − b − = −3 a = ;b = 2 a − b − = Mặt khác muốn vế trái = Vậy a + b = −1 Đáp số xác B + 3i có Acgument : − 2i 8 B C D GIẢI Thu gọn z dạng tối giản z = −1 + 3i VD9-Số phức z = A ➢ a5+3bs3R1p2bs3= ➢ Tìm Acgument z với lệnh SHIFT q21p1+s3$b)= Vậy z có Acgument 2 2 Tuy nhiên so sánh kết ta lại khơng thấy có giá trị 3 Khi ta nhớ đến tính chất “Nếu góc Acgument góc + 2 Acgument” Đáp số xác D 2 8 + 2 = III) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho hai số phức z1 = + i, z = + 3i Tìm số phức w = ( z1 ) z2 A w = + 4i B w = − 4i C w = −6 − 4i D w = −6 + 4i Bài 2-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi Số phức z −1 có phần thực : a −b A a + b B C D a − b a +b a + b2 Bài 3-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] 1 Tìm mơđun số phức z = − 3i + 3i : 2 Trang 265 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 103 103 103 B C D Đáp án khác 2 Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] 22 Cho số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) Phần thực số phức z : A A −211 B −211 + C −211 − D 211 Bài 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z = − 3i Phần ảo số phức w = (1 + i ) z − ( − i ) z : A −9i B −9 C −5 D −5i Bài 6-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A B −1 C D Đáp án khác Bài 7-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A B −1 C D Đáp án khác LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần năm 2017] Cho hai số phức z1 = + i, z = + 3i Tìm số phức w = ( z1 ) z2 A w = + 4i B w = − 4i C w = −6 − 4i D w = −6 + 4i GIẢI ▪ Sử dụng máy tính Casio với chức MODE (CMPLX) (1+b)dO(2+3b)= Vậy w = −6 + 4i ta chọn D đáp án xác Bài 2-[Thi thử THPT Phan Chu Trinh – Phú Yên lần năm 2017] Cho số phức z = a + bi Số phức z −1 có phần thực : −b a A a + b B C D a − b a +b a + b2 GIẢI ▪ Vì đề mang tính chất tổng quát nên ta phải cá biệt hóa, ta chọn a = 1; b = 1.25 ▪ Với z −1 = Sử dụng máy tính Casio z a1R1+1.25b= Ta thấy phần thực số phức z −1 : 16 giá trị dương Vì ta chọn b a nên ta thấy 41 đáp số C D sai 16 đáp số A sai Đáp án xác B 41 Bài 3-[Thi thử nhóm tốn Đồn Trí Dũng lần năm 2017] 1 Tìm mơđun số phức z = − 3i + 3i : 2 Thử đáp số A có a + b = + 1.25 = Trang 266 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 A 103 B 103 C 103 D Đáp án khác GIẢI 1 + 3i 2 ▪ Tính số phức z = − 3i 2ps3$b(a1R2$+s3$b)= Vậy z = − i ▪ Dùng lệnh SHIFT HYP tính Mơđun số phức z ta qc5pas3R2$b= 103 Đáp số xác A Bài 4-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] 22 Cho số phức z = (1 + i ) + (1 + i ) + + (1 + i ) Phần thực số phức z : Vậy z = A −211 C −211 − B −211 + D 211 GIẢI ▪ Dãy số cấp số nhân với U1 = (1 + i ) , số số hạng 21 công bội + i Thu gọn z ta − qn − (1 + i ) = (1 + i ) : z = U1 1− q − (1 + i ) ▪ Sử dụng máy tính Casio tính z 21 (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)= Vậy z = −2050 − 2048i Phần ảo số phức z −2050 = −211 − Đáp số xác C Bài 5-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z = − 3i Phần ảo số phức w = (1 + i ) z − ( − i ) z : A −9i D −5i C −5 B −9 GIẢI ▪ Dãy số cấp số nhân với U1 = (1 + i ) , số số hạng 21 công bội + i Thu gọn z ta − qn − (1 + i ) = (1 + i ) : z = U1 1− q − (1 + i ) ▪ Sử dụng máy tính Casio tính z 21 (1+b)dOa1p(1+b)^21R1p(1+b)= Trang 267 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Vậy z = −2050 − 2048i Phần ảo số phức z −2048 = −211 Đáp số xác A Bài 6-[Đề thi Đại học –Cao đẳng khối A năm 2009] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A B −1 D Đáp án khác C GIẢI ▪ Phương trình ( − 3i ) z + ( + i ) z + (1 + 3i ) = ▪ Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X = 1000 + 100i (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(1+3b)dr1000+100b= 6392 = 6.1000 + 4.100 − = 6a + 4b − Vậy vế trái = 6392 − 2194i với 2194 = 2.1000 + 2.100 − = 2a + 2b − 6a + 4b − = a = −2; b = ▪ Để vế trái = 2a + 2b − = Vậy z = −2 + 5i P = 2a + b = Đáp số xác C Bài 7-[Thi thử chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa lần 2] Cho số phức z = a + bi thỏa mãn điều kiện ( − 3i ) z + ( + i ) z = − (1 + 3i ) Tìm P = 2a + b A B −1 D Đáp án khác C GIẢI ▪ Phương trình ( − 3i ) z + ( + i ) z + (1 + 3i ) = ▪ Nhập vế trái vào máy tính Casio CALC với X = 1000 + 100i (2p3b)Q)+(4+b)q22Q))+(1+3b)dr1000+100b= 6392 = 6.1000 + 4.100 − = 6a + 4b − Vậy vế trái = 6392 − 2194i với 2194 = 2.1000 + 2.100 − = 2a + 2b − Trang 268 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 PHƯƠNG PHÁP CASIO – VINACAL BÀI 30 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC I) KIẾN THỨC NỀN TẢNG Các khái niệm thường gặp ▪ ▪ Hệ trục thực ảo gồm có trục vng góc với : Trục nằm ngang trục thực, trục đứng dọc trục ảo Số phực z = a + bi biểu diễn hệ trục thực ảo điểm M ( a; b ) ▪ Môđun số phức z = a + bi độ lớn vecto OM Lệnh Caso ▪ ▪ ▪ Để xử lý số phức ta sử dụng lệnh tính số phức MODE Lệnh giải phương trình bậc hai MODE Lệnh giải phương trình bậc ba MODE II) VÍ DỤ MINH HỌA VD1-[Câu 31 Đề minh họa THPT Quốc Gia lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn (1 + i ) z = − i Hỏi điểm biểu diễn số phức z điểm điểm M , N , P, Q A.điểm P B.điểm Q C.điểm M D.điểm N ➢ Cô lập z = −1 1+ i GIẢI Sử dụng máy tính Casio mơi trường CMPLX để tìm z w2a3pbR1+b= z = − 2i điểm biểu diễn z hệ trục thực ảo có tọa độ (1; −2) Điểm có thực dương ảo âm nằm góc phần tư thứ IV Điểm phải tìm Q đáp án xác B VD2-[Thi thử trung tâm Diệu Hiền – Cần thơ lần năm 2017] Điểm biểu diễn số phức z = + bi với b R , nằm đường thẳng có phương trình : A x = B y = x C y = x + D y = GIẢI ➢ Điểm biểu diễn số phức z = + bi điểm M có tọa độ M ( 7; b ) Ta biết điểm M thuộc đường thẳng d tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình đường thẳng d ➢ Thử đáp án A ta có x = 1.x + y − = Thế tọa độ điểm M vào ta : 1.7 + 0.b − = (đúng) Vậy điểm M thuộc đường thẳng x = Đáp án A xác VD3-[Thi thử Group Nhóm tốn – Facebook lần năm 2017] Các điểm M , N , P điểm biểu diễn cho số phức 4i z1 = ; z2 = (1 − i )(1 + 2i ) ; z3 = −1 + 2i i −1 A Tam giác vuông B.Tam giác cân C.Tam giác vuông cân Trang 269 D.Tam giác Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 GIẢI ➢ Rút gọn z1 Casio a4bRbp1= Ta z1 = − 2i điểm M ( 2; −2) ➢ Rút gọn z2 Casio (1pb)(1+2b)= Ta z2 = + i điểm N ( 3;1) Tương tự z2 = −1 + 2i điểm P ( −1; ) ➢ Để phát tính chất tam giác MNP ta nên biểu diễn điểm M , N , P hệ trục tọa độ Dễ thấy tam giác MNP vuông cân P đáp án C xác VD4-[Thi thử báo Tốn học Tuổi trẻ lần năm 2017] Trong mặt phẳng Oxy , gọi điểm M , N điểm biểu diễn số phức z1 = − i, z2 = + 2i Gọi G trọng tâm tam giác OMN , với O gốc tọa độ Hỏi G điểm biểu diễn số phức sau 1 A − i B + i C + i D + i 3 GIẢI ➢ Điểm M biểu diễn số phức z1 = − i tọa độ M (1; −1) Điểm N biểu diễn số phức z2 = + 2i tọa độ N ( 3;2) Gốc tọa độ O ( 0;0 ) Trang 270 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 xM + xN + xO yM + y N + yO ; = ; 3 3 Vậy G điểm biểu diễn số phức + i C đáp án xác 3 VD5-[Thi thử THPT Hàm Rồng – Thanh Hóa lần năm 2017] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M điểm biểu diễn số phức z = − 4i , điểm M ' điểm biểu 1+ i z Tính diện tích OMM ' diễn số phức z ' = 15 25 25 15 A SOMM ' = B SOMM ' = C S OMM ' = D S OMM ' = 4 GIẢI ➢ Điểm M biểu diễn số phức z1 = − 4i tọa độ M ( 3; −4) ➢ Tọa độ điểm G Điểm M ' biểu diễn số phức z ' = 1+ i 7 1 z tọa độ N ; − 2 2 a1+bR2$O(3p4b)= Gốc tọa độ O ( 0;0 ) ➢ Để tínhdiện tích tam giác OMM ' ta ứng dụng tích có hướng vecto không gian Ta thêm cao độ cho tọa độ điểm O, M , M ' xong 7 OM ( 3; −4;0 ) , OM ' ; − ;0 S = OM ; OM ' 2 Tính OM ; OM ' w8113=p4=0=q51217P2=p1P2=0=Cq53q57q54= Vậy OM ; OM ' = 12.5 = 25 25 SOMM ' = OM ; OM ' = 2 A đáp án xác VD6-[Đề thi minh họa GD-ĐT lần năm 2017] Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − 16 z + 17 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = iz0 1 A M ; 2 ➢ B M − ; C − ;1 1 D M ;1 4 GIẢI Sử dụng lệnh giải phương trình bậc hai MODE để giải phương trình z − 16 z + 17 = w534=p16=17=== Trang 271 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MÔN TỐN 2017 Vậy phương trình z − 16 z + 17 = có hai nghiệm z = + ➢ Để z0 có phần ảo dương z = − 1 i z = − i 2 i Tính w = z0i w2(2+a1R2$b)b= Vậy phương trình w = − B đáp án xác + 2i Điểm biểu diễn số phức w M − ; II) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z = + i Hãy xác định điểm biểu diễn hình học số phức w = (1 − i ) z A.Điểm M C.Điểm P B.Điểm N D Điểm Q Bài 2-[Thi thử facebook nhóm tốn lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn ( − i ) z = 4z + Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M , N , P, Q hình bên A.Điểm N B.Điểm P C.Điểm M D Điểm Q Bài 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Trang 272 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Trên mặt phẳng tọa độ điểm A, B, C điểm biểu diễn số phức (1 − i )(1 + 2i ) , 4 − + i 5 , −2i Khi tam giác ABC A.Vuông C B.Vuông A C.Vuông cân B D Tam giác Bài 4-Các điểm A, B, C , A ', B ', C ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số : − i, + 3i,3 + i 3i,3 − 2i,3 + 2i có G , G ' trọng tâm tam giác ABC A ' B ' C ' Khẳng định sau A G trùng G ' B Vecto GG ' = (1; −1) C GA = 3GA ' D Tứ giác GAG ' B lập thành hình bình hành LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1-[Thi thử chuyên Khoa học tự nhiên lần năm 2017] Cho số phức z = + i Hãy xác định điểm biểu diễn hình học số phức w = (1 − i ) z A.Điểm M C.Điểm P B.Điểm N D Điểm Q ▪ Tính số phức w = (1 − i ) z máy tính Casio GIẢI (1pb)(2+b)= Vậy tọa độ điểm thỏa mãn số phức w ( 3; −1) Đây tọa độ điểm Q Đáp số xác D Bài 2-[Thi thử facebook nhóm tốn lần năm 2017] Cho số phức z thỏa mãn ( − i ) z = 4z + Hỏi điểm biểu diễn z điểm điểm M , N , P, Q hình bên A.Điểm N B.Điểm P C.Điểm M D Điểm Q Trang 273 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 GIẢI −5 ▪ Cơ lập ( − i ) z − 4z = − ( + i ) z = z = 2+i −5 ▪ Tìm số phức z = 2+i ap5R2+b= Vậy tọa độ điểm thỏa mãn số phức z ( −2;1) Đây tọa độ điểm M Đáp số xác C Bài 3-[Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần năm 2017] Trên mặt phẳng tọa độ điểm A, B, C điểm biểu diễn số phức (1 − i )(1 + 2i ) , 4 − + i 5 , −2i Khi tam giác ABC A.Vuông C B.Vuông A C.Vuông cân B D Tam giác GIẢI ▪ Rút gọn 4 − + i 5 −2 − 4i tọa độ điểm A ( −2; −4) a4Rpa2R5$+a4R5$b= ▪ Rút gọn (1 − i )(1 + 2i ) + i tọa độ điểm B ( 3;1) (1pb)(1+2b)= ▪ Rút gọn −2i = −2i.i = 2i tọa độ điểm C ( 0;2 ) ▪ Để phát tính chất tam giác ABC ta cần biểu diễn hệ trục tọa độ thấy Trang 274 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Dễ thấy tam giác ABC vuông C Đáp số xác A Bài 4-Các điểm A, B, C , A ', B ', C ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số : − i, + 3i,3 + i 3i,3 − 2i,3 + 2i có G , G ' trọng tâm tam giác ABC A ' B ' C ' Khẳng định sau A G trùng G ' B Vecto GG ' = (1; −1) C GA = 3GA ' D Tứ giác GAG ' B lập thành hình bình hành GIẢI ▪ Ta có tọa độ đỉnh A (1; −1) , B ( 2;3) , C ( 3;1) Tọa độ trọng tâm G ( 2;1) xA + xB + xC =2 xG = y = y A + yB + yC = G ▪ Ta có tọa độ đỉnh A ' ( 0;3) , B ' ( 3; −2) , C ' ( 3;2 ) Tọa độ trọng tâm G ( 2;1) xA ' + xB ' + xC ' =2 xG ' = y = y A ' + yB ' + yC ' = G ' Rõ ràng G G ' Đáp số xác A Trang 275 Tài liệu lưu hành nội ... TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Vậy z = Đáp án C D ➢ Thử với a = Sử dụng máy tính Casio tính z : 0+(0p1)b=qcM= Vậy z = Đáp án xác C VD 5-[ Thi thử THPT. .. + 10i C −10i D −9 + 10i GIẢI ➢ Sử dụng máy tính Casio tính z (1+b)dp3(1+2b)d= Trang 261 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 z = −10i... hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – VINACAL HỔ TRỢ GIẢI ĐỀ THI MƠN TỐN 2017 Vậy h = 3V Đáp số xác B = 0.3015 = S ABC 11 Trang 251 Tài liệu lưu hành nội TÓM TẮT KỸ THUẬT SỬ DỤNG CASIO