Định hướng giải một số dạng toán khó về hàm số trong kì thi THPT quốc gia

PHẦN MỞ ĐẦU I Bối cảnh đề tài: Trong năm gần đây, thi mơn Tốn kì thi THPT QG chuyển từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm làm phong phú thêm dạng toán, đặc biệt mức độ vận dụng vận dụng cao Qua tham khảo đề thi thử THPT QG nhiều trường nước, đề thi thức Bộ GD&ĐT, tơi nhận thấy nhiều toán mức độ vận dụng, vận dụng cao khai thác qua kiến thức hàm số như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tiệm cận, đồ thị…Với toán này, học sinh thường gặp nhiều khó khăn việc định hướng lời giải, với áp lực mặt thời gian nhiều học sinh có lực học giỏi gặp nhiều khó khăn để đưa phương án II Lý chọn đề tài: Qua nghiên cứu thực tế giảng dạy nhận thấy để nâng cao hiệu dạy học cho học sinh giải dạng toán ta cần thực biện pháp sau: - Phân loại dạng tốn theo số dấu hiệu để giúp em nhận dạng có định hướng lời giải nhanh hơn, xác - Xây dựng hệ thống tập theo dạng phân loại để rèn luyện kỹ giải tốn tốt cho học sinh Chính từ yêu cầu nhận thức đây, chọn đề tài nghiên cứu là: “Định hướng giải số dạng tốn khó hàm số kì thi THPT Quốc gia” III Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu cách giải toán mức độ vận dụng, vận dụng cao hàm số đề thi thử, thi thức THPT QG tài liệu tham khảo để phân loại đề xuất định hướng giải tốn - Xây dựng hệ thống ví dụ, tập phù hợp để rèn luyện kỹ cho học sinh - Đề tài nghiên cứu áp dụng trình giảng dạy cho học sinh giỏi lớp 12 IV Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn, sai lầm học sinh giải toán biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, nhỏ tiệm cận hàm số mức độ vận dụng vận dụng cao - Phân dạng số toán hàm số Nghiên cứu phương pháp giải để từ định hướng hình thành kỹ cho học sinh giải dạng toán - Sáng kiến góp phần nâng cao hiệu dạy học dạng tốn khó hàm số cho học sinh lớp 12 V.Điểm kết nghiên cứu: - Sáng kiến nghiên cứu phân loại số dạng toán mức vận dụng, vận dụng cao hàm số đề thi thử THPT QG - Sáng kiến đề xuất định hướng giải dạng toán phân loại - Sáng kiến xây dựng hệ thống ví dụ để minh họa đồng thời phân tích định hướng để làm rõ cách giải dạng toán - Sáng kiến xây dựng tập tương ứng với dạng để bạn đọc rèn luyện PHẦN NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Trong chương trình THPT, khái niệm hàm số kiến thức hàm số trình bày đầy đủ phù hợp với học sinh THPT Sách giáo khoa Giải tích 12, chương trình bày ứng dụng đạo hàm để nghiên cứu vấn đề hàm số, cụ thể: - Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số Đồng thời nêu quy trình để xét tính đơn điệu hàm số - Khái niệm cực trị, dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, cực tiểu - Khái niệm GTLN, GTNN hàm số phương pháp tìm GTLN, GTNN - Khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang hàm số phương pháp tìm đường tiệm cận - Khảo sát hàm số hàm tương giao hai đồ thị Trên sở kiến thức nêu, sách giáo khoa sách tập Giải tích 12 xây dựng hệ thống tập gồm tự luận trắc nghiệm để khắc sâu, củng cố kiến thức cho học sinh II.Thực trạng vấn đề: Trong kì thi THPT QG, tốn hàm số khai thác nhiều, mức độ Đối với câu hỏi mức độ nhận biết thơng hiểu dạng câu hỏi thường tương tự sách giáo khoa nhiều sách tham khảo Ở mức độ vận dụng vận dụng cao nhiều toán hàm số khai thác dạng tương đối lạ so với SGK Xét số ví dụ sau: Ví dụ (Câu 34, mã đề 104- Đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số dấu f�  x Hàm số , có bảng xét sau: y  f   2x A f  x  �;  3 đồng biến khoảng đây? B  4;5 C  3;4  Ví dụ (Câu 49, mã đề 108- Đề thi THPT QG 2019) Cho hàm số thiên hàm số f ' x D f  x  1;3 ,có bảng biến sau: Số điểm cực trị hàm số y  f  x2  x  A B C D Qua phân tích đề thi THPT QG năm 2018, 2019 nhận thấy vấn đề hàm số khai thác nhiều dạng toán khác Với mong muốn giúp đỡ học sinh chia đồng nghiệp kinh nghiệp giải số dạng toán mức độ vận dụng hàm số, phân chia thành dạng thường gặp định hướng giải dạng toán nêu III.Các biện pháp tiến hành để giải vấn đề Dạng Biết số dấu hiệu hàm số g  x  f  u  x  f ' x , yêu cầu xét tính đơn điệu hàm        Định hướng: Trong dạng tốn ta thường sử dụng cơng thức đạo hàm hàm hợp g x  f u x h x y '( x)  u '( x) f '  u  x   Trên sở dấu hiệu f ' x ta lập bảng xét dấu f' x g '( x) để từ suy tính đơn điệu Dấu hiệu hàm   thường đồ thị f ' x công thức hàm   Ta xét số ví dụ minh họa cho dạng tốn nói trên: f' x Ví dụ Cho hàm số hình vẽ bên dưới: Hàm số A y  f  x  5  �; 3 y  f  x y f�  x  có đồ thị liên tục � Biết hàm số đồng biến khoảng khoảng sau đây? B  5; 2  �1 � �; � C �2 � D  2;� Lời giải Định hướng: Để xét tính đơn điệu hàm số ta tính đạo hàm cơng thức hàm hợp Xét hàm số y  f  x  5 y  f ' x Từ đồ thị Ta có y�  x   x f �  x  5 , suy � � x x � x  (nghiệ m i 3) �2 �2 � x    x  y� � �2 �� x �  x  � � � x   2 � x 3 � �2 �2 x  �2 � x   x 8 � � � � f u  x  Phân tích : Khi lập bảng biến thiên  , phải ý tới nghiệm bội chẵn hay bội lẻ để vẽ xác bảng biến thiên Nhiều học sinh thường mắc sai lầm không ý đến điều Cụ thể: Qua nghiệm đơn bội lẻ đạo hàm đổi dấu, nghiệm bội chẵn đạo hàm số khơng đổi dấu Từ ta có bảng biến thiên hàm số y  f  x  5 Từ suy hàm số đồng biến khoảng   2 :    2;  ; 0; ; 2; �  �1 � � ; �� 0; Mà �2 � , suy chọn phương án C Ví dụ Cho hàm số f  x f�  x    x  1  x  3 Có có đạo hàm � y  f  x  3x  m  10; 20  m giá trị nguyên tham số thuộc đoạn để hàm số đồng biến khoảng A 18  0;2 B 17 C 16 D 20 Lời giải Định hướng: Để tìm điều kiện m, ta phải dựa vào điều kiện đồng biến hàm số y  f  x  3x  m  Ta có , ta cần tính đạo hàm y�  x  f �  x  3x  m    2x  3 f � x  3x  m  Hàm số đồng biến khoảng  0;2  y�  x  �0, x � 0;2  �  x  3 f �  x2  3x  m  �0, x � 0;  x   0, x � 0;  Do x � 0;  Do đó, ta có nên y�  x  �0, x � 0;  � f �  x2  3x  m  �0 x � 0;  x �3 � f� x  �0 � �  f�  x    x  1  x  3 , suy x �1 � Theo đề ta có: � x  3x  m �3 x � 0;  � �2 f� x  x  m �  x � 0; x  3x  m �1 x � 0;      � � � m �max  x  3x  3 m �13 � � m �x  3x  x � 0;  � �  0;2 �� � �� m �1 m �min  x  3x  1 � m � x  x   x � 0; �   � � �  0;2 m � 10;20 m �� Do , nên có 18 giá trị nguyên m thỏa yêu cầu đề Phân tích: Một sai lầm thường gặp tốn học sinh khơng để ý đến giả thiết f  x y' x  có đạo hàm � số nghiệm   hữu hạn nên đặt điều kiện đồng biến y�  x   0, x � 0;2  y  f  x Ví dụ Cho hàm số , dẫn đến sai đáp án có đạo hàm f�  x   x  x  1 x  mx   với x �� g  x   e f  x  0;� ? m Có số nguyên dương để hàm số đồng biến A Ta có C D g�  x   f '( x).e f  x  Hàm số g  x đồng biến khoảng ۳� f�  x�  0, x x2   ۣۣ �m� , x x Ta có: B h  x  x   0;  0;  � x  x  1  ۣ m   0;� x g�  x  �0, x � 0; �  mx   �0, x � 0; � h  x   0; � với h x  x  , x �(0; �) x 9 �2 x  6, x �(0; �) x x nên m�6 m � 1;2;3; 4;5;6 Do m số dương suy Phân tích: Đối với học sinh không thành thạo việc vận dụng bất đẳng thức đại số nên hướng dẫn học sinh dùng đạo hàm lập BBT h x để suy m�6 Trong số tốn khó hơn, yêu cầu ta phải xét tính đơn điệu hàm số   g x  f u x  h x , toán ta thấy h x phương trình   giải được, xét dấu họa cho nhận xét g' x  Ví dụ Cho hàm số g  x  f  x  A y  f  x có f '  x   x  x  1 thường cho để g x Ví dụ sau minh  x  3 Hàm số x 5 đồng biến khoảng khoảng đây? � 3 � � �2; � � � B �  0;  �3  � � � ; 2� � � C � � 3 � � �0; � � � D � Lời giải Ta có: g�  x   f � x   x , suy g�  x   � x  x 1  x  3   x � � x0 x0 � � x0 � �� � �3 � � x2  x  1  x  3  1 �x  x  x   � � 3� � x � Ta có bảng xét dấu g ' x : �3  � � � ; 2� � g ' x  �thì hàm số y  g  x  đồng Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khoảng � biến Ví dụ Cho hàm số Hàm số f  x có bảng xét dấu đạo hàm sau y  f  x    x  3x A  �; 1 đồng biến khoảng đây? B  1; � C  1;0  D  0;  Lời giải Định hướng: Trong số tốn ta khơng giải phương trình xét dấu g' x khoảng Để thực điều ta thường bảng xét dấu khoảng định Ta có: g' x  f ' x để đưa cận xét dấu y' x � y  f  x    x  x � y '  x   f '  x     x  1  � �f '  x     x  1 � x  1 x  1 � � y  f '  x  2  � � �� 3 x2 1 x  � � Xét hàm số �x  h' x  � � h ' x  x 1 x  1 � Xét hàm số , Ta có Định hướng: Ta lập Bảng biến thiên với cận -1, 2, dấu f ' x định sơ dấu chọn phương án x dấu � 1  f ' x  2 h '  x   x2 1 y' x h' x g' x xác khoảng, kết đối chiếu         | �   Không xác định dấu  1;0  Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến khoảng Ví dụ Cho hàm số hình bên Hàm số y  f  x g  x   f  x   x2 A  �; 2  | y f�  x có đạo hàm liên tục � Đồ thị hàm số đồng biến khoảng khoảng sau đây? B  2;  C  2;  D  2;� Định hướng: Đây tốn khó giả thiết cho đồ thị hàm số để xét dấu đồ thị y  f ' x g' x , ta cần vẽ thêm đồ thị hàm số y  h' x y f�  x , hệ trục với đề xét vị trí tương đối hai đồ thị Từ suy bảng biến thiên g x Lời giải Ta có g�  x  f �  x   2x � g �  x  � f �  x   x Số nghiệm phương trình y f�  x g�  x  số giao điểm đồ thị hàm số đường thẳng d : y  x (như hình vẽ bên dưới) Dựa vào đồ thị, suy x  2 � � g�  x   � �x  � x4 �  �; 2 ,  2;4 4;�  2;2 + Trên miền  , Nhận xét:+ Trên miền , đường thẳng d nằm đường y f�  x , đường thẳng d nằm đường y f�  x Lập bảng biến thiên � hàm số g  x  đồng biến  2;   4;� So sánh đáp án Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f ' x y  f  x có đạo hàm liên tục � đồ thị hàm số hình vẽ Đặt g  x  f  x  m   x  m  1  2019 với m tham số thực Gọi S tập giá y  g  x  5;6 Tổng trị nguyên dương m để hàm số đồng biến khoản phần tử S bằng: A C 14 B 11 D 20 Lời giải Định hướng: Từ ví dụ ta thấy tốn cho đồ thị f ' x phương trình g' x  khơng giải ta thường so sánh vị trí tương đối đồ thị, thường đồ thị f ' x Ta có Đặt với đường bậc hai bậc g '  x   f '  x  m    x  m  1 h  x   f '  x    x  1 Từ đồ thị y  f ' x đồ thị y  x  hình vẽ ta suy 1 �x �1 � h  x  �0 � � x �3 � 1 �x  m �1 � m  �x �m  � g '  x   h  x  m  �0 � � �� x  m �3 x �m  � � Ta có Do hàm số y  g  x đồng biến khoảng  m  1; m  1  m  3; � 10 f ( x )4 x Hàm số y   đồng biến khoảng A  �;0  B Bài 1.5 Cho hàm số y = f ( x)  2;0  C  0;� D  2;1 f '( x ) = ( x 3)( x 4)( x 2) ( x - 1), " x �� Hàm số có x 5x3 y = g ( x ) = f ( x) + + x2 - x nghịch biến khoảng đây? ( - �;1) A Bài tập bổ sung dạng Bài 2.1 Cho hàm số y  f  x2  8x  B y  f  x ( 1; 2) C có đạo hàm � 3� � 0; � � � � � � � D ( 3;5) f�  x   x2  x , x �� Hàm số có điểm cực trị? A Bài 2.2 Cho hàm số B f ( x) có C f� ( x) = x ( x - 1) ( x - 2mx +1) D Hỏi có tất số g ( x) = f ( x ) 2018 m ngun khơng vượt q cho hàm số có điểm cực trị? A 2019 Bài 2.3.Cho hàm số B 2016 y = f ( x) có đạo hàm C 2017 f� ( x) = ( x - 1) ( x2 - D 2018 x) với x �� Có g ( x) = f ( x - x + m) m giá trị nguyên dương tham số để hàm số có điểm cực trị ? A 15 Bài 2.4 Cho hàm số B 16 y = f ( x) có đạo hàm C 17 f '( x ) = ( x - x) ( x - x + 3) , " x �� tổng tất giá trị nguyên tham số m để hàm số cực trị A Bài 2.5 Cho hàm số B y  f  x có D 18 f� ( x ) = ( x - 2) g ( x ) = f ( x + m) C ( x2 - x + 3) Tính có điểm D với x �� Có bao y = f ( x - 10 x + m + 9) nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để hàm số có điểm cực trị? A 18 B 17 C 16 D 15 Bài tập bổ sung dạng Bài 3.1 Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm y  f '( x) Hàm y  f '( x) có đồ thị hình vẽ 27 Biết f (0)  f (1)  f (2)  f (4)  f (3) Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f  x đoạn [0; 4] A m  f (4); M  f (2) B m  f (4); M  f (1) C m  f (0); M  f (2) D m  f (1); M  f (2) Bài 3.2 Cho hàm số f  x hình vẽ bên Biết có đạo hàm f�  x Đồ thị hàm số f    f  3  f    f   y f�  x cho m giá trị Tìm giá trị nhỏ f  x  0;5 lớn M đoạn A m  f  0 , M  f  5 C m  f  1 , M  f   B m  f  2 , M  f  0 D m  f  2 , M  f  5 f  x f�  x  Đồ thị hàm số y  f � x  cho Bài 3.3 Cho hàm số có đạo hàm hình f    f  3  f    f   f  x vẽ bên Biết Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn đoạn A  0; 4 f  0 , f  4 B f  2 , f  0 C f  1 , f   D f  2 , f  4 28 Bài 3.4 Cho hàm số f�  x đoạn y  f  x  2;6 có đạo hàm f�  x liên tục � đồ thị hàm số hình vẽ bên Khẳng định sau đùng? max f  x   f  2  max f  x   f   max f  x   f   max f  x   f  1 x� 2;6 x� 2;6  x� 2;6    A B C D x� 2;6 Bài 3.5 Cho hàm số y f�  x y  f  x xác định liên tục �có đồ thị hàm cho hình bên f  2   giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số M  m2 , f    5, f  1  y  f  x 1 Gọi M , m  2;1 Khi A Bài tập bổ sung dạng Bài 4.1 Hàm số y  f  x B 25 C 37 D 34 xác định � có bảng biến thiên hình vẽ sau 29 y  g  x  Với giá trị m đồ thị hàm số đứng Chọn đáp án A  m  Bài 4.2 Cho hàm số B  m �1  f  x  m có tiệm cận C m  f  x   mx3  nx  px  q  m , n , p , q �� D m  có đồ thị hình vẽ Tìm số giá trị mnguyên để số tiệm cận đứng đồ thị hàm số g  x  2019 f  x   8mx  m A 31 B Bài 4.3 Cho hàm số bậc ba x y Đồ thị hàm y  f  x C D 30 có đồ thị hình vẽ bên  x  3 x  x x� �f  x   f  x  � � có đường tiệm cận đứng? B A Bài 4.4 Cho hàm số bậc ba vẽ g  x  Hỏi đồ thị hàm số ngang? C f  x   ax  bx  cx  d  a , b , c , d �� f   x2   D có đồ thị hình có đường tiệm cận đứng tiệm cận 30 A B Bài 4.5 Cho hàm số y  f  x g  x  Hỏi đồ thị hàm số A C D có đồ thị hàm số hình vẽ x  x  1 � �f  x   f  x  � �có tiệm cận đứng? B C D HƯỚNG DẪN PHẦN BÀI TẬP BỔ SUNG Bài tập bổ sung dạng Bài 1.1 Đáp án C � � � y� � �f   x  � x f   x  Ta có x0 � � x0 � � � y� 0� � 1 x  � � x  �1 � �  x2  x�3 � � �   x  1 f�   x2   �   x2  � � 1 x  � Mặt khác ta có Vẽ BBT suy hàm số y  f   x2  nghịch biến khoảng  1;  Bài 1.2 Đáp án C y  g ( x)  f  x  2019  � y�  g� ( x )  x f �  x  2019  Ta có Mặt khác Nên f�  x   x  x  2028   x  2023 y�  g� ( x)  x f �  x2  2019   x. x2  2019  Lập bảng biến thiên suy hàm số  x  3  x  3  x    x   y  g ( x)  f  x  2019  2 đồng biến khoảng  3;0  Bài 1.3 Đáp án B Ta có g�  x    x  1 f �  x2  x  2 31  x  x  2 �0 , x � 1; �  1; �  x  1 f � Hàm số đồng biến � f�  x2  x   �0 x � 1; � , �  x2  x  2 x 2  x � �0 �x  x    m  x  x    5� � , x � 1; �  1 x � 1; � Đặt t  x  x  với t  ,  1 � t  t    t  mt  5 �0 , t  � t  mt  �0 , t  ۳ ۳� m m � 5� � t � � t �, t  4, 47 Do m nguyên âm nên m � 4; 3; 2; 1 Bài 1.4 Đáp án C Tịnh tiến đồ thị hàm số y f�  x y f�  x  1 sang trái đơn vị, ta đồ thị hàm số sau f ( x )4 x Xét hàm số y   Tập xác định D  � y�   f ( x ) x � (2 f � ( x)  4) � ln  ; x  2 � y� 0� f� ( x)  � � x0 � � x 1 � Ta có bảng biến thiên sau Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đồng biến khoảng (0; �) Bài 1.5 Đáp án A 2 2 Ta có g '( x)  f '( x)  x  x  x   f '( x)  ( x  1)( x  2)  ( x  1)( x  2) ( x  x  13) 32 �x  g '( x)  � � x  Lập Bảng xét dấu hàm số g '( x) Suy y  g ( x) � Khi nghịch biến (�;1) Bài tập bổ sung dạng Bài 2.1 Đáp án C Ta có: f�  x   x2  2x  x  x  2 ; y�  x    x  8 f �  x2  8x    x  4  x2  8x   x2  8x  2 � x4 � x0 � � � x8 x4 0 � � �2 � x  43 �� x  8x  � � x2  8x   � x  43 � y� 0 � � Bảng xét dấu y�như sau: Vậy hàm số y  f  x2  8x  có điểm cực trị Bài 2.2 Đáp án C Ta có: g�  x   x f �  x   2x.x  x  1  x4  2mx2  1  x3  x  1  x  2mx  1 � x0 � g�  x   � �x  �1 � x  2mx     � g x Do x  nghiệm bội lẻ x  �1 nghiệm đơn nên để   có điểm cực trị phương trình   phải có nghiệm phân biệt khác khác �1 , hay phương trình t  2mt   phải có nghiệm dương phân biệt khác Kết hợp với điều kiện m ngun, khơng vượt q 2018 suy có 2017 giá trị m Bài 2.3 Đáp án A x   nghiem boi  � � f�  x   �  x  1  x  x   � �x  � x2 � Xét Ta có g�  x    x  4 f �  x2  8x  m ; 33 x4 � �2 x  x  m   nghiem boi  g�  x   �  x  4 f �  x2  8x  m   � � � x  x  m   1 � � x2  8x  m   2 � Yêu cầu toán � g�  x  1, có nghiệm bội lẻ � phương trình     có hai nghiệm phân biệt khác  * C Xét đồ thị   hàm số y  x  x hai đường thẳng d1 : y   m, d : y  m  (như hình vẽ)  * Khi � d1 , d  C  bốn điểm phân biệt cắt �  m  16 � m  16 Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa Bài 2.4 Đáp án C x0 � � f '  x   x  x  1  x  3 ; f '  x   � � x 1 � x3 � Ta có nghiệm bội chẵn) ( x  0, x  nghiệm đơn; x  x0 � � x0 � x2  m  � g '  x   x f '  x  m  ; g '  x   � � � � � x  m 1 �f '  x  m   � � x2  m  � Ta có Do x0 � �2 x  m  1 � � x2   m  2 � � x   m  3 �   có nghiệm ln nghiệm bội chẵn; phương trình  1 ,  3 có nghiệm khơng chung m   m Hàm số g  x m �0 � ��  3 m  � Vì có điểm cực trị � g ' x  có ba nghiệm bội lẻ m m ��� m � 0;1; 2 Vậy tổng giá trị nguyên tham số m 34 Bài 2.5 Đáp án C f�  x    x  2 x  x  3   x    x  1  x  3 Theo đề x5 � �2 x  10 x  m    �  �� x  10 x  m    1 � y�   x  10  f � x  10 x  m      x2  10 x  m   y� x   � � Ta có Ta thấy Hàm số  1   khơng có nghiệm chung y  f  x  10 x  m   có năm điểm cực trị phương trình  1 ,   có hai nghiệm phân biệt khác , suy m  17 Vậy có 16 giá trị nguyên m để hàm số y  f  x  10 x  m   có điểm cực trị Bài tập bổ sung dạng Bài 3.1 Đáp án A Ta có bảng biến thiên [0;4] Dựa vào bảng biến thiên ta có Mặt khác có M  f (2); m  min{ f   ; f   } f (1)  f (2); f (3)  f (2) � f  1  f  3  f   � f    f  1  f  3  Mà f (0)  f (1)  f (2)  f    f  3 � f    f  1  f    f    f    � f    f   Do m  f (4) Bài 3.2 Đáp án D Bảng biến thiên f(x) x f� f �  0;5 0 f  0   � f  5 f  2 35 f  x   f   Dựa vào đồ bảng biến thiên, ta có Vì f  x đồng biến đoạn  2;5  2;5 Và max f  x   max  f   , f     0;5 nên f  3  f   � f    f    f    f  3  f    f   Do f  5  f  0 , max f  x   max  f   , f     f    0;5 Bài 3.3 Đáp án D Dựa vào đồ thị hàm số Và Vì y f�  x max f  x   max  f   , f     0;4 f  x đồng biến  2; 4 lập bảng biến thiên, ta có f  4  f   ,  2;4 nên f  3  f   � f    f    f    f  3  f    f   Do f  x   f   max f  x   max  f   , f     f    0;5 Bài 3.4 Đáp án C Từ đồ thị hàm số y  f ' x ta có bảng biến thiên sau: Ta có f    f  1  �f � x  dx  1 1 f�  x  dx  S  S1  �f � x  dx  � � f    f  1 Bài 3.5 Đáp án A 36 x  1 � � x0 f�  x  � � � x 1 � x2 � Ta có Mặt khác hàm số y f  x hàm số chẵn Ta có bảng biến thiên hàm số Từ hình vẽ đồ thị y f�  x f  x ta có f  x �f � x  dx �f � x  dx  �f    f   � � f  3  f   � f  3  f    � f    f   Suy ra: � Tương tự: 2 �f � x  dx  �f � x  dx Suy ra: Vậy: f  3  f    f    f   � f  3  f    � f    f   f    f  3  f   Mặt khác từ bảng biến thiên hàm số y f  x ta có: f  x   f    4;3 � max f  x   f  4   f    M � M  m  f    f    4;3 Bài tập bổ sung dạng Bài 4.1 Đáp án A f x Xét phương trình      m  �  f  x   m  * * TH1: m  phương trình   vơ nghiệm nên đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng 37 TH2: m  phương trình có tiệm cận đứng  * � f  x   vô nghiệm Nên đồ thị hàm số không �f ( x )  m  * � � TH3: m > phương trình � �f ( x )   m  1  2  1 :  m   1 có nghiệm; m   1 có nghiệm  m  � f  x   m Với   : m  nên vô nghiệm Với Vậy để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  m  Bài 4.2 Đáp án B Từ đồ thị ta có Suy Xét x  1 � � f  x  � � x 1 � x3 � m  f  x   m  x  1  x  1  x  3  mx3  3mx  mx  3m f  x   m  8mx  � m  x3  3x  x  x  1 � � y�  3x  x   � � x3 � Xét hàm số y  x  3x  x  Bảng biến thiên Để đồ thị hàm số g  x f  x   m  8mx  có đường tiệm cận đứng � phương trình có nghiệm phân biệt � phương trình m  x  3x  x  có nghiệm phân biệt Từ bảng biến thiên kết hợp thêm điều kiện m  ta có  m  m � 1; 2; ;8 Do m nguyên nên Vậy có số nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Bài 4.3 Đáp án C 38 Ta thấy phương trình bậc ba f  x  2 có nghiệm phân biệt x1  c  3 , x2  b x  1 với 3  b  1 f  x  Và phương trình bậc ba có nghiệm kép x  3 nghiệm đơn x  a với 1  a  Do lim f  x   � x �� f  x   �   x  3 x y 2 x �0 x �0 lim y  lim x �3 nên khơng tính tổng qt, ta giả sử  x  a   f  x   �   x  c   x  b   x  1   x  3 x  x lim y  lim x �3 x ��  � x� f x  f x     � � Ta có: Khi đó: lim f  x   �  x  1  x  3 x  x  1 x f  x  � �f  x   � �  x  1  x  3 x   � x f  x � �f  x   � �  x  1 x  x  1  �  x  x  3  x  a  � �f  x   � � lim y  lim  x  1  x  3 x  x  1  x f  x   x  c   x  b   x  1  � lim y  lim  x  1  x  3 x  x  1  x f  x   x  c   x  b   x  1  � x �c x �b x �c x �b lim y  lim x �1 x �1  x  3 x  x  1  x f  x   x  c   x  b  x y Vậy đồ thị hàm số 0 lim y x � 1 không tồn  x  3 x  x x� �f  x   f  x  � � có đường tiệm cận đứng x  ; x  3 ; x  c; x b Bài 4.4 Đáp án C 39 f   x2    � f   x2  Từ đồ thị ta có � � x  2 x�6 �� �� 3 x0 4 x  � � � đồ thị hàm số g  x  có ba đường tiệm cận đứng lim f   x   �� lim g  x   � y  x ��� Lại có đường tiệm cận ngang đồ thị x ��� Vậy đồ thị hàm số g  x có bốn đường tiệm cận Bài 4.5 Đáp án A �  1 �x �0 ��2 �f  x   f  x  �0 Hàm số xác định x  1 � � �2  x  1 � �f  x   f  x   �f  x   f  x  � � Xét �f  x   � � � f  x  f  x  �f  x   * Với f  x  Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt x3  x2   x1 Từ điều kiện * Với  1 phương trình f  x   có nghiệm f  1  x  x1 Từ đồ thị hàm số ta thấy phương trình có nghiệm phân biệt x6  x5   x4 Từ điều kiện  1 phương trình f  x  có nghiệm x  x5 x  x4 nghiệm khác x1 Suy phương trình  x  1 � �f  x   f  x  � � có nghiệm phân biệt g  x  Vậy đồ thị hàm số x  x  1 � �f  x   f  x  � �có tiệm cận đứng 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2008), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn, Hàm Số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [2] Đề thi đáp án thức kỳ thi THPT QG năm 2018, 2019 mơn Tốn Bộ GD&ĐT [3] Một số đề thi thử THPT QG trường THPT nước [4] Trần Phương (2012), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn Tốn, Hàm Số, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội [5] Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải, Lê Hữu Trí, Lê Bích Ngọc (2006), Bộ đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng mơn Tốn, Nxb Hà Nội [6] Lê Xuân Sơn, Lê Khánh Hưng (2014), Phương pháp hàm số giải Toán, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội 41 ... đề hàm số khai thác nhiều dạng toán khác Với mong muốn giúp đỡ học sinh chia đồng nghiệp kinh nghiệp giải số dạng toán mức độ vận dụng hàm số, phân chia thành dạng thường gặp định hướng giải dạng. .. số dạng toán mức vận dụng, vận dụng cao hàm số đề thi thử THPT QG - Sáng kiến đề xuất định hướng giải dạng toán phân loại - Sáng kiến xây dựng hệ thống ví dụ để minh họa đồng thời phân tích định. .. tư hình thành kỹ giải tốn y f�  x Dạng Biết hàm số g  x  f  u  x  xét cực trị hàm số g  x  f  u  x   h  x Định hướng: Đối với dạng toán ta thường đạo hàm hàm số g '' x dựa