MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG bài TOÁN xét TÍNH đơn điệu của hàm số TRONG kỳ THI THPT QUỐC GIA

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết, tốn học có vai trò quan trọng đời sống ngành khoa học Đồng thời mơn tốn mơn học khó có tính liên tục (giáo dục đồng tâm) khơng khéo phương pháp giảng dạy khó tạo hứng thú cho em học tốt say mê học tốn Trong chương trình mơn học bậc Trung học phổ thơng nói chung lớp 12 nói riêng, mơn tốn chiếm số lớn Việc nâng cao hiệu dạy học mơn tốn u cầu xúc nay, giáo viên giảng dạy tơi ln suy nghĩ, tìm tòi học hỏi phải làm để em thích thú với mơn học vừa khó vừa khơ Trong q trình giảng dạy mơn tốn, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy có nhiều vấn đề cần phải giải quyết, học sinh gặp nhiều khó khăn số nội dung chương trình mơn tốn Nhiều học sinh học chủ đề liên quan đến hàm số yếu, có nội dung đồng biến, nghịch biến hàm số Học sinh chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo q trình giải tốn Đặc biệt năm học 2018- 2019, năm học thứ thực thi trắc nghiệm mơn tốn kỳ thi THPT Quốc gia, nhiều nội dung đề thi nằm chương trình lớp 12 với câu hỏi phát huy khả vận dụng kiến thức học sinh Nội dung đồng biến, nghịch biến hàm số nội dung quan trọng đề cập nhiều đề thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018 đề thi minh họa năm 2019 đề thi thử trường THPT toàn quốc với mức độ từ dễ đến khó Từ thực tiễn giảng dạy ơn thi TNTHPT Quốc gia nhiều năm, với kinh nghiệm q trình giảng dạy Tơi tổng hợp, khai thác nhiều chuyên đề hàm số Trong SKKN xin chia sẻ : ‘‘Một số phương pháp giải dạng tốn xét tính đơn điệu hàm số kỳ thi THPT Quốc gia ” Đây nội dung quan trọng, hay chương trình giải tích lớp 12 nên có nhiều tài liệu, sách viết nhiều thầy cô giáo học sinh say sưa nghiên cứu học tập Tuy nhiên việc đưa hướng tiếp cận quy lạ quen toán nhiều sách tham khảo chưa đáp ứng cho người đọc Chính việc đưa sáng kiến kinh nghiệm cần thiết, làm em hiểu sâu toán yêu thích chủ đề tính đơn điệu hàm số giải tích lớp 12 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho người đọc nắm cách tiếp cận toán, quy lạ quen, đồng thời giúp cho học sinh số kiến thức, phương pháp kỹ để học sinh giải tốn, hình thành cho em thói quen tìm tòi tích lũy rèn luyện tư sáng tạo, chuẩn bị tốt đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Tập trung nghiên cứu định nghĩa đồng biến, nghịch biến hàm số, nghiên cứu cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến mối quan hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi đề tài, sử dụng kết hợp phương pháp như: phương pháp thống kê - phân loại; phương pháp phân tích - tổng hợp - đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải số phương pháp khác phương pháp quy lạ quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án câu hỏi trắc nghiệm khách quan 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Vấn đề nghiên cứu dựa sở nội dung giải tích 12 [1] Khi giải tập tốn, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tiết dạy tập chương phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó nhằm phát triển tư cho học sinh trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải Từ học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung đồng biến, nghịch biến hàm số giải tích lớp 12 Trung tâm GDNN - GDTX Lang Chánh, tơi thấy kỹ giải tốn học sinh yếu, đặc biệt tốn thiết lập mối liên hệ tính đơn điệu hàm số y=f(x) đồ thị y=f’(x), toán chứa tham số Do cần phải cho học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng, quy lạ quen, thiết kế trình tự giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh hội kiến thức mới, xây dựng kỹ làm tốn trắc nghiệm khách quan, từ đạt kết cao kiểm tra, đánh giá kỳ thi THPT Quốc gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nội dung đồng biến, nghịch biến hàm số nội dung thiếu đề thi THPT Quốc gia Học sinh thường gặp khó khăn gặp toán chứa tham số toán với yêu cầu đọc hiểu đồ thị Với tình hình để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen tiếp cận toán, khai thác yếu tố đặc trưng tốn để tìm lời giải, học sinh phải làm quen với việc đọc hiểu đồ thị Chính đề tài đưa giúp giáo viên hướng dẫn toán đồng biến, nghịch biến hàm số cho học sinh với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, tự tin giải câu khó đề thi, chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia Vậy với đề tài này, mong muốn đồng nghiệp học sinh ngày vận dụng tốt kiến thức để đưa phương pháp nhằm giải toán đồng biến, nghịch biến hàm số cách xác nhanh Đặc biệt áp dụng phương pháp để làm câu hỏi hình thức trắc nghiệm tính đơn điệu hàm số 2.3 Các phương pháp thực 2.3.1 Một số kiến thức cần nhớ a) Một số nhận xét từ định nghĩa đồng biến, nghịch biến hàm số *) Hàm số đồng biến khoảng (a;b) đồ thị lên từ trái sang phải khoảng y x O a b *) Hàm số nghịch biến khoảng (a;b) đồ thị xuống từ trái sang phải khoảng y O a b x b) Mối quan hệ đồng biến, nghịch biến hàm số dấu đạo hàm *) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm K Nếu f’(x)≥ với ∀x∈ K f’(x)=0 số hữu hạn điểm hàm số đồng biến K Nếu f’(x)≤ với ∀x∈ K f’(x)=0 số hữu hạn điểm hàm số nghịch biến K c) Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số *) Tìm tập xác định *) Tính đạo hàm, tìm nghiệm đạo hàm điểm mà đạo hàm không xác định *) Lập bảng biến thiên *) Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số d) Mối liên hệ đồng biến, nghịch biến hàm số y=f(x) đồ thị hàm số y=f’(x) Hàm số y=f(x) đồng biến khoảng (a;b) đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng Hàm số y=f(x) nghịch biến khoảng (a;b) đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trục hồnh khoảng 2.3.2 Các phương pháp a) Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Trong phương pháp giáo viên cần ôn lại bước tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số; giáo viên cần cho học sinh làm quen với nhiều loại hàm số; giáo viên cần xây dựng ví dụ đa dạng, có ví dụ dạng tự luận, có ví dụ dạng trắc nghiệm để học sinh thấy mối liên hệ tính đơn điệu hàm số dấu đạo hàm phần quan trọng nội dung kỳ thi THPT Quốc gia Ví dụ 1: Hàm số y = A ( −1; +∞ ) x+2 đồng biến khoảng: 1− x B R C ( −∞;1) ( 1; +∞ ) D R \ { 1} HD: y ' = (1 − x) >0 với x∈ R \ {1} Đáp án C Ví dụ 2: Các khoảng đồng biến hàm số y = x − 3x + là: A ( −1;3) B ( −∞; ) ( 2; +∞ ) C (−∞ ;0) ∪ (2;+∞) D ( 0; ) HD: y’=3x2-6x Đáp án B Ví dụ 3: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến R? A y = − x3 + C y = B y = x − x x x+2 D y = x − cos x HD: Đáp án D Trong ví dụ trên, giáo viên việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy tắc xét tính đơn điệu hàm số mà cho học sinh nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến Đó học sinh phải nhận thức hàm số đồng biến, nghịch biến K phải xác định K có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến khoảng, khơng có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến hợp khoảng Ví dụ 4: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định R đạo hàm f’(x)=x(x-1)2(x+2) Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y=g(x)=f(x2-2) HD: g’(x)=2xf’(x2-2)=2x3(x2-2)(x2-3)2 Lập bảng xét dấu g’(x) x y’ −∞ − - − - 0 + - +∞ + + Vậy hàm số y=g(x) đồng biến khoảng (− ;0) ( ;+∞) hàm số y=g(x) nghịch biến khoảng (−∞ ;− ) (0; ) Trong ví dụ trên, giáo viên việc cần làm cho học sinh vận dụng tốt quy tắc xét tính đơn điệu hàm số, cách xét dấu biểu thức mà cho học sinh nắm vững cách tính đạo hàm hàm hợp b) Phương pháp 2: Dựa vào đồ thị hàm số để xác định tính đơn điệu Trong phương pháp này, giáo viên cần làm cho học sinh biết đọc hiểu đồ thị, biết thiết lập mối liên hệ khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số đồ thị Từ học sinh hiểu sâu nhận biết, vận dụng vào toán dễ dàng hơn; học sinh có động lực nghiên cứu, đam mê yêu thích nội dung Ví dụ 5: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hình Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số? y HD: Qua hình ta thấy: đồ thị hàm số lên khoảng (−∞ ;−1) (1;+∞) ; đồ thị xuống khoảng (-1;1) Vậy hàm số đồng biến khoảng (−∞ ;−1) (1;+∞) -1 O x Hàm số nghịc biến khoảng (-1;1) (hình 1) Ví dụ 6: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hình Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A f (c) > f (a) với c f (d ) với d>b B f (a) < f (0) < f (b) D f (a) > f (e) > f (b) với af(-2)>f(- )=f(0) Dựa vào đồ thị hình hàm số y=f(x) ta lập bảng biến thiên hàm số f(x) đoạn [-2;3] (hình 3) x −∞ -2 y’ -1 - + f(-2) - +∞ + f(0) f(3) y f ( x) = f (3) Do f(3)>f(-2)>f(0) nên xMax ∈[ − 2;3 ] Trong ví dụ này, học sinh phải nhận thức đồ thị lên khoảng K ứng với hàm số đồng biến K đồ thị xuống khoảng K ứng với hàm số nghịch biến K Ngồi thơng qua ví dụ giúp học sinh nắm vững định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến K c) Phương pháp 3: Khai thác từ đồ thị hàm số y=f’(x) Thông qua giải pháp này, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ phân tích, quy lạ quen, từ đồ thị hàm số y=f’(x) cho xác định dấu f’(x) thông qua xác định khoảng đồng biế, nghịch biến Trong giải pháp này, giáo viên nên đưa ví dụ từ mức độ đơn gian đến phức tạp để học sinh nhận dạng được, hiểu sâu hơn, tự tin gặp tốn tương tự Ví dụ 8: Cho hàm số f(x) xác định ℜ có đồ thị hàm số f’(x) đường cong hình Mệnh đề đúng? y A Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (-1;1) B Hàm số f(x) đồng biến khoảng (1;2) C Hàm số f(x) đồng biến khoảng (-2;1) -2 O x D Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (0;2) (hình 4) HD: Từ đồ thị hình 4, ta lập bảng xét dấu f’(x) x f’(x) −∞ -2 - 0 + +∞ - + Đáp án D Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ giải toán Cụ thể học sinh phải thực thao tác sau: - Tìm nghiệm f’(x), tức tìm hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y=f’(x) trục hoành - Xác định khoảng mà đồ thị hàm số y=f’(x) nằm phía trục hồnh (f’(x)>0) trục hoành (f’(x)0) đường thẳng y=-4 (g’(x)0) đường thẳng y=2 (g’(x) ⇔ g’(x)>0 ⇔  1 < − x < − < x < Đáp án D Qua ví dụ, giáo viên cần hình thành cho học sinh kỹ giải toán Cụ thể học sinh phải thực thao tác sau: - Tìm g’(x), - Tìm x để g’(x)>0 hay f’(2-x)0) đường thẳng y=x-1 (g’(x)f(0), ∀x ∈ (0; ) hay π sinx 0, ∀t > nên hàm số f(x) đồng t ln biến khoảng (0;+ ∞ ) ⇒ phương trình log3t+2t=2 có nhiều nghiệm Mặt khác t=1 nghiệm nên ta có t=1 Vậy tốn quy xét phương trình cos x − cos x − m = Đáp án C f) Phương pháp 6: Củng cố lại kiến thức, kỹ làm đồng biến, nghịch biến hàm số thông qua buổi thảo luận Giáo viên tổ chức vài buổi thảo luận giáo viên giao nhiệm vụ cho nhóm chuẩn bị trước nhà, nên chia thành nhóm lực học tập nhóm tương đương Nhóm 1: Giải tốn vận dụng quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến Nhóm 2: Giải toán dựa vào đồ thị hàm số để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến Nhóm 3: Giải toán dựa vào đồ thị hàm số y=f’(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến Nhóm 4: Giải tốn có chứa tham số đồng biến, nghịch biến Nhóm 5: Giải toán cách vận dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số Buổi thảo luận tiến hành theo trình tự sau: - Đầu tiên nhóm lên trình bày, phát kết nhóm cho nhóm khác - Tiếp theo, nhóm khác đưa câu hỏi nhóm vừa trình bày, đế xuất cách giải nhóm - Giáo viên nhận xét đưa kết luận cuối cùng, yêu cầu toàn học sinh ghi nhận - Giáo viên trao thưởng cho nhóm hồn thành tốt nhiệm vụ, thưởng điểm cao quà ý nghĩa để khích lệ học sinh - Giáo viên nhận xét học sinh chuẩn bị tiếp thu kiến thức Buổi thảo luận u cấu nhóm đổi cho 2.3.3 Một số tập tham khảo Câu 1: Hàm số y= x3-3x+3 đồng biến 13 A R B (-1;1) C R\{-1;1} D (- ∞ ;-1) (1;+ ∞ ) Câu 2: Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến ? A y=x3-x2-10x+1 B y=-x3+x2-10x+1 C y=x4+x2+2 D y= x+2 x −1 Câu 3: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến (0;+ ∞ ) A y=x3-3x2+2 B y=-x3-3x+1 C y=x4+2x2+2 D y= đồng biến x Câu 4: Hàm số y=xA R x+2 x B (- ∞ ;0) (0;+ ∞ ) C R\{-1;1} D (- ∞ ;-1) (1;+ ∞ ) Câu 5: Hàm số y= − x + x + đồng biến A R B (-1;3) Câu 6: Hàm số y= x đồng biến x +1 A (-1;1) A (-2;0) A m=-3 C (- ∞ ;-1) D (1;+ ∞ ) x + 2x + nghịch biến x +1 C (- ∞ ;-2) B R Câu 8: Hàm số y= D (1;3) B R Câu 7: Hàm số y= C (-1;1) D (-2;-1) (-1;0) x + m +1 nghịch biến khoảng xác định m x −1 B m=-4 C m=0 D m=-2017 Câu 9: Hàm số y= x3+(m-2)x2+(m-2)x+1 đồng biến R giá trị m thỏa mãn A ≤ m ≤ B m>3 C m2 Câu 12: Hàm số y = khi: C m ≠ D m ≥ −2 x+m đồng biến khoảng ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) x +1 14  m < −1 A  B ∀m ∈ R C −1 ≤ m ≤ D −1 < m < m > Câu 13: Tìm tất giá trị m để hàm số y = − x + 3x − mx + nghịch biến R? A m ∈ ( −∞; −2 ) ∪ ( 3; +∞ ) B m ∈ ( −∞; −2] ∪ [ 3; +∞ ) C m ∈ ( −2;3) D m ∈ [3; +∞) Câu 14: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hình vẽ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số? y O x Câu 15: Cho hàm số f(x) xác định ℜ có đồ thị hàm số f’(x) đường cong hình vẽ Mệnh đề đúng? y A Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (-2;0) B Hàm số f(x) đồng biến khoảng (-2;3) C Hàm số f(x) đồng biến khoảng (-2;1) -2 O x D Hàm số f(x) nghịch biến khoảng (0;3) 2.4 Kết thực Kết vận dụng thân: Tôi thực việc áp dụng cách làm nhiều năm với mức độ khác lớp khoá học khác Đề tài thực giảng dạy tham gia dạy lớp 12 Trung tâm GDNN - GDTX Lang Chánh Trong trình học đề tài này, học sinh thực thấy tự tin, tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức bản, nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung thi học kỳ, thi thử THPT Quốc gia, nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt Cụ thể sau: 15 G SL % Lớp 12 (Sỉ số 19) K TB Y SL % SL % SL % 10 52,7 36,8 10,5 Kém SL % 0 Tôi đưa đề tài Hội đồng chấm để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất hình học tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập tốn tích phân nói riêng, việc xây dựng toán riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phương pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học tốn tạo niềm vui hứng thú học tốn Việc chọn trình tự tập phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu thấy toán nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng tốn tơi chọn số tập để học sinh hiểu cách làm để từ làm tập mang tính tương tự dần nâng cao Tuy nhiên, số học sinh không tiến bản, sức ỳ lớn chưa có động cơ, hứng thú học tập Do giải pháp hàng vạn giải pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học tự nghiên cứu Đề tài phát triển xây dựng thành hệ thống đề thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hoàn thiện 3.2 Kiến nghị Đối với trường: 16 Cần bố trí tiết thảo luận để thơng qua học sinh bổ trợ kiến thức Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải tốn Đối với ngành giáo dục: Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên Lang Cháng ngày 22 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN ĐƠN VỊ NGƯỜI THỰC HIỆN Lê Văn Lâm TÀI LIỆU THAM KHẢO 17 [1] SGK giải tích 12_NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục đào tạo [2] Sách BT giải tích 12_ NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục đào tạo [3] Bồi dưỡng giải tích 12 [4] Bộ đề trắc nghiệm luyện thi THPT Quốc gia năm 2017- NXB Giáo dục Việt Nam [5] Đề thi thử THPT quốc gia trường THPT năm 2017 năm 2018 18 ... quy tắc xét tính đơn điệu hàm số, cách xét dấu biểu thức mà cho học sinh nắm vững cách tính đạo hàm hàm hợp b) Phương pháp 2: Dựa vào đồ thị hàm số để xác định tính đơn điệu Trong phương pháp này,... phương pháp nhằm giải toán đồng biến, nghịch biến hàm số cách xác nhanh Đặc biệt áp dụng phương pháp để làm câu hỏi hình thức trắc nghiệm tính đơn điệu hàm số 2.3 Các phương pháp thực 2.3.1 Một. .. hồnh khoảng 2.3.2 Các phương pháp a) Phương pháp 1: Vận dụng quy tắc xét tính đơn điệu hàm số Trong phương pháp giáo viên cần ôn lại bước tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số; giáo viên cần cho